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辽宁省锦州市2015届高三一模数学(理)试卷



辽宁省锦州市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={cos0°,sin270°},B={x|x +x=0},则 A∩B 为( A.{0,﹣1} B.{﹣1,1} C.{﹣1}
2 2

) D.{0} )


2. 复数 z 满足 (﹣1+i) z= (1+i), 其中 i 为虚数单位, 则在复平面上复数 z 对应的点位( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知向量 A. (﹣3,0)

= (2, 2) , = (4, 1) , 点 P 在 x 轴上, 则 B. (1,0)

?

取最小值时 P 点坐标是( D. (3,0)

)

C. (2,0)
2

4.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4﹣2a7 +3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b2b8b11 等于( ) A.1 B.2 C .4 D.8 5. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡, 电工师傅每次从中任取一只并不放回, 则在他第 1 次抽到的是螺口灯 泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D.

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)

A.64

B.72

C.80 )

D.112

7.执行右面的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=(

A.2

B.3

C .4

D.5 ,则

8.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,且 =( A. ) B. C. D.

9.若点 P(x,y)满足线性约束条件

,点

,O 为坐标原点,

则 A.0

?

的最大值为(

) B.3 C.﹣6 D.6

10. 已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2

2

=1 (a>0, b>0) 渐近线的距离为



点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D.

11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a2=10,S4=36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2, an+2) (n∈N*)的直线的一个方向向量是( ) A. B. (﹣1,﹣1) C. D. (2, )

12.已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x) , 且 f(x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) , 项和大于 62,则 n 的最小值为( A.6 B.7 ) C .8 D.9
x

,若数列

的前 n

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 的二项展开式中,x 的系数是__________(用数字作答) .
2

14.在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ ABC,△ ACD,△ ADB 的面 积分别为 , , ,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的体积为__________.

15.已知函数

,则 f(x)的定义域为__________.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是__________.

2

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, =(2a,1) , =(2b﹣c,cosC) 且 ∥ . 求: (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)求三角函数式 的取值范围.

18.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, (1)求直线 DF 与平面 ACEF 所成角的正弦值; (2)在线段 AC 上找一点 P,使 与

,AF=1.

所成的角为 60°,试确定点 P 的位置.

19.某市一所高中随机抽取部分 2014-2015 学年高一学生调查其上学路上所需时间(单位: 分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中上学路上所需时间的范围是[0, 100],样本数据分组为[0,20) ,[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100].

(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,若招生 1200 名,请 估计新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的 2014-2015 学年高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学路上所需时间 少于 20 分钟的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率)

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,其左、右焦点分别是 F1,F2,过

点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E,G 两点,且△ EGF2 的周长为 4 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A,B,设 P 为椭圆上一点,且满足 (O 为坐标原点) ,当
x

时,求实数 t 的取值范围.
2

21.设函数 f(x)=ae (x+1) (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x +bx+2,已知它们在 x=0 处有 相同的切线. (Ⅰ)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值; (Ⅲ)若对?x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围.

四、选做题(请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在正△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x +y =4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.
2 2



【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=2|x﹣1|+|x+2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空集合,求实数 m 的取值范围.

辽宁省锦州市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1.已知集合 A={cos0°,sin270°},B={x|x +x=0},则 A∩B 为( ) A.{0,﹣1} B.{﹣1,1} C.{﹣1} D.{0} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:利用特殊角的三角函数值确定出 A 中的元素,求出 B 中方程的解得到 x 的值,确定 出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 2 解答: 解:∵A={cos0°,sin270°}={1,﹣1},B={x|x +x=0}={x|x(x+1)=0}={﹣1,0},

∴A∩B={﹣1}, 故选:C. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. 复数 z 满足 (﹣1+i) z= (1+i), 其中 i 为虚数单位, 则在复平面上复数 z 对应的点位( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2

)

考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件. 专题:计算题. 分析:根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 z 为=1﹣i,故 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,从而得出结论. 解答: 解:∵复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位, ∴z= = = = =1﹣i,
2

故复数 z 对应点的坐标为(1,﹣1) , 故选 D. 点评:本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内 对应点之间的关系,属于基础题.

3. 已知向量

= (2, 2) , = (4, 1) , 点 P 在 x 轴上, 则 B. (1,0) C. (2,0)

?

取最小值时 P 点坐标是( D. (3,0)

)

A. (﹣3,0)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:设出 P 的坐标,利用向量的数量积推出关系式,然后求解最小值,得到 P 点坐标. 解答: 解:设 P(a,0) ,向量 则 ? =(2,2) ,
2

=(4,1) ,
2

=(a﹣2,﹣2)?(a﹣4,﹣1)=a ﹣6a+10=(a﹣3) +1≤1,当 a=3 时,取得最小

值. 所求 P(3,0) . 故选:D. 点评:本题考查平面向量数量积的应用,二次函数的最值的求法,考查计算能力. 4.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4﹣2a7 +3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b2b8b11 等于( ) A.1 B.2 C .4 D.8 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知方程结合等差数列的性质求解 a7,再利用等比数列的性质求解答案. 解答: 解:∵数列{an}是各项不为 0 的等差数列,
2

由 a4﹣2

+3a8=0,得 , ,





,解得:a7=2.

则 b7=a7=2. 又数列{bn}是等比数列, 则 b2b8b11= .

故选:D. 点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了学生的计算能力,是中档题. 5. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡, 电工师傅每次从中任取一只并不放回, 则在他第 1 次抽到的是螺口灯 泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:把本题转化为古典概率来解,他第 2 次抽到时,盒子中还有 2 只螺口灯泡与 7 只卡口 灯泡,根据古典概率计算公式求得他第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率. 解答: 解:在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有 2 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡, 这时,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 = ,

故选 D. 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础 题. 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.64

B.72

C.80

D.112

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为 4,上部为三棱锥(以正方 体上底面为底面) ,高为 3.分别求体积,再相加即可 解答: 解:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为 4,体积为 43=64 上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为 3.体积 × 故该几何体的体积是 64+8=72 故选 B 点评:本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原几何体直观图,考查与锥体积 公式,本题是一个基础题. 7.执行右面的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=( )

A.2

B.3

C .4

D.5

考点:循环结构. 专题:计算题. 分析:先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后 s 的值找出规律, 从而得出所求. 解答: 解:如果输入的 p=0.8,由循环变量 n 初值为 1,那么: 经过第一次循环得到 经过第二次循环得到 S= ,n=2,满足 s<0.8,继续循环, =0.75<0.8,n=3,

第三次循环,S=0.75+0.125=0.875,此时不满足 s<0.8,n=4,退出循环, 此时输出 n=4. 故选:C. 点评:本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,利用循环即可.

8.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,且 =( A. ) B. C. D.

,则

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:先根据导数的运算法则求导,再代入值计算即可. 解答: 解:∵ ∴f′(x)=2f′( ∴f′( 解得 f′( )=2f′( )= )x+cosx, )× , +cos , ,

故选:A 点评:本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.

9.若点 P(x,y)满足线性约束条件

,点

,O 为坐标原点,



? A.0

的最大值为( B.3

) C.﹣6 D.6

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:设 z= ? ,根据数量积的公式计算出 z,作出不等式组对应的平面区域,利用 z

的几何意义,即可得到结论. 解答: 解:设 z= ? ,则 z=3x+ y,即 y=﹣ x+ ,

作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣ x+ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 A 时,

的截距最大,此时 z 最大,



,解得

,即 A(1,

) ,

此时 z=3×1+ 故 ?

=3+3=6,

的最大值为 6,

故选:D.

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据数量积的公式将条件化简,以及利用数形结合是 解决本题的关键.

10. 已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2

2

=1 (a>0, b>0) 渐近线的距离为



点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D.

考点:双曲线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得 b=2a,再利用抛物线的定 义,结合 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,可得 FF1=3,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论. 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0) ,双曲线 C: 条渐近线的方程为 ax﹣by=0, ∵抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2 2

=1(a>0,b>0)的一

=1(a>0,b>0)渐近线的距离为



∴ ∴b=2a ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3, ∴FF1=3

∴c +4=9 ∴ 2 2 2 ∵c =a +b ,b=2a ∴a=1,b=2 ∴双曲线的方程为 故选 B. 点评:本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题. 11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a2=10,S4=36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2, an+2) (n∈N*)的直线的一个方向向量是( ) A. B. (﹣1,﹣1) C. D. (2, )

2

考点:数列与函数的综合. 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分析:由题意求出等差数列的通项公式,得到 P,Q 的坐标,写出向量 向量 共线的坐标即可. 的坐标,找到与

解答: 解:等差数列{an}中,设首项为 a1,公差为 d, 由 S2=10,S4=36,得 ,解得 a1=3,d=4.

∴an=a1+(n﹣1)d=3+4(n﹣1)=4n﹣1. 则 P(n,4n﹣1) ,Q(n+2,4n+7) . ∴过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是(2,8)=﹣4(﹣ ,﹣2) .即为(﹣ , ﹣2) . 故选:A. 点评:本题考查了直线的斜率,考查了等差数列的通项公式,训练了向量的坐标表示,是中 档题. 12.已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x) , 且 f(x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) , 项和大于 62,则 n 的最小值为( A.6 B.7 ) C .8 D.9
x

,若数列

的前 n

考点:简单复合函数的导数;数列的函数特性. 专题:计算题;压轴题.

分析:由 f′(x)g(x)>f(x)g′(x)可得

单调递增,从而可得 a>1,结合

,可求 a.利用等比数列的求和公式可求 ,从而可求 解答: 解:∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x) , ∴f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0, ∴ ,

从而可得 ∵ ∴a=2. 故

单调递增,从而可得 a>1, ,

=2+2 +…+2 =
n+1 *

2

n



∴2 >64,即 n+1>6,n>5,n∈N . ∴n=6. 故选:A. 点评: 本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性, 等比数列的求和公式的求解, 解题的关键是根据已知构造函数 单调递增.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 的二项展开式中,x 的系数是 40(用数字作答) .
2

考点:二项式定理. 专题:计算题. 2 分析:利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 2 求出 x 的系数. 解答: 解: 令 所以 r=2, 2 2 2 所以 x 的系数为(﹣2) C5 =40. 故答案为 40 点评:本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. ,

14.在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ ABC,△ ACD,△ ADB 的面 积分别为 , , ,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的体积为 π.

考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长 方体的对角线就是球的直径,求出长方体的三度,从而求出对角线长,即可求解外接球的体 积. 解答: 解:三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接 球是同一个,长方体的对角线就是球的直径, 设长方体的三度为 a,b,c,则由题意得:ab= ,ac= ,bc= , 解得:a= ,b= ,c=1, 所以球的直径为: = 所以球的半径为 , = π

所以三棱锥 A﹣BCD 的外接球的体积为

故答案为: π 点评:本题考查几何体的外接球的体积,三棱锥转化为长方体,两者的外接球是同一个,以 及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在.

15.已知函数

,则 f(x)的定义域为(1,+∞) .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用换元法先求出函数 f(x)的表达式,根据函数成立的条件进行求解即可. 解答: 解:设 t=x ﹣3,则 x =t+3, 则 f(t)=lg 由
2 2 2

=lg



>0 得 t>1 或 t<﹣3,

∵t=x ﹣3≥﹣3, ∴t>1, 即 f(t)=lg 的定义域为(1,+∞) ,

故函数 f(x)的定义域为(1,+∞) , 故答案为: (1,+∞) 点评:本题主要考查函数的定义域的求解,根据条件先求出函数 f(x)的解析式是解决本 题的关键.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .

2

2

考点:圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:由于圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,由题意可知,只需(x﹣4) +y =1 与直线 y=kx ﹣2 有公共点即可. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4, 0)为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ﹣4k≤0,
2 2 2 2 2 2 2

∴0≤k≤ . ∴k 的最大值是 . 故答案为: . 点评:本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx﹣2 有公 共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, =(2a,1) , =(2b﹣c,cosC) 且 ∥ . 求: (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)求三角函数式 的取值范围.
2 2

考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:计算题. 分析: (I)根据向量平行的充要条件列式:2b﹣c=2acosC,结合正弦定理与两角和的正弦公 式,化简可得 2cosAsinC=sinC,最后用正弦的诱导公式化简整理,可得 cosA= ,从而得到 sinA 的值;

(II)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”,化简整理得 据 A= 围. 解答: 解: (I)∵ ∥ ,∴2acosC=1×(2b﹣c) , 根据正弦定理,得 2sinAcosC=2sinB﹣sinC, 又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴2cosAsinC﹣sinC=0,即 sinC(2cosA﹣1)=0 ∵C 是三角形内角,sinC≠0 ∴2cosA﹣1=0,可得 cosA= ∵A 是三角形内角, ∴A= (II) ,得 sinA= = … 算出 C 的范围,得到 sin(2C﹣

sin(2C﹣

) ,再根

)的取值范围,最终得到原三角函数式的取值范

=2cosC(sinC﹣cosC)+1=sin2C﹣cos2C,

∴ ∵A= ∴2C﹣ ∴﹣1<

=

sin(2C﹣ ) ,

) ,

,得 C∈(0, ∈(﹣ ,

) ,可得﹣ ) ,

<sin(2C﹣

)≤1,

sin(2C﹣

即三角函数式

的取值范围是(﹣1,

].



点评: 本题给出向量平行, 通过列式化简求 A 的大小, 并求关于 B 的三角式的取值范围. 着 重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识,属于中档题. 18.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, (1)求直线 DF 与平面 ACEF 所成角的正弦值; (2)在线段 AC 上找一点 P,使 与 ,AF=1.

所成的角为 60°,试确定点 P 的位置.

考点:直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 专题:计算题;综合题;开放型;转化思想. 分析: (1)以 为正交基底,建立如图空间直角坐标系,写出相关点的坐

标,求面 ACEF 的一个法向量 ,直线 DF 与平面 ACEF 所成角的正弦值,即求 |c0s |; (2)设出点 P 的坐标,求出 与 ,根据向量的数量积的定义求得点

P 的坐标,确定点 P 的位置. 解答: 解: (1)以 则 , 因为 AC⊥BD,AF⊥BD, 所以 又因为 所以 , . 是平面 ACEF 法向量, , 为正交基底,建立如图空间直角坐标系, ,

故直线 DF 与平面 ACEF 所成角正弦值为

(2)设 P(a,a,0)

,则 .

因为

,所以



解得

,故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点.

点评:考查利用空间向量求线面角和异面直线所成的角,注意①线面角与斜线和面的法向 量所成角之间的关系,及异面直线所成角的范围,②用空间向量解立体几何问题的步骤; ①建系,②立体几何问题向量化,③解向量问题,④回归立体几何问题,属中档题.

19.某市一所高中随机抽取部分 2014-2015 学年高一学生调查其上学路上所需时间(单位: 分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中上学路上所需时间的范围是[0, 100],样本数据分组为[0,20) ,[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100].

(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,若招生 1200 名,请 估计新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的 2014-2015 学年高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学路上所需时间 少于 20 分钟的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率) 考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用直方图概率的和为 1,直接求解 x 即可. (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率,然后求解 1200 名新生中有 144 名学生申请 住宿的人数. (Ⅲ)X 的可能取值为 0,1,2,3,4 求出概率,得到分布列,然后求解期望. 解答: (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由直方图可得:20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1. 所以 x=0.0125. … (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003×2×20=0.12, 因为 1200×0.12=144, 所以 1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿.… (Ⅲ)X 的可能取值为 0,1,2,3,4 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为 , , , . 所以 X 的分布列为: X 0 , ,

1

2

3

4

P EX= . (或 )

所以 X 的数学期望为 1.… 点评: 本题考查频率分布直方图, 离散型随机变量的分布列以及期望的求法, 考查计算能力.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,其左、右焦点分别是 F1,F2,过

点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E,G 两点,且△ EGF2 的周长为 4 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A,B,设 P 为椭圆上一点,且满足 (O 为坐标原点) ,当 时,求实数 t 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 根据椭圆的离心率找出 a 与 b 的关系式, 再根据△ EGF2 的周长求出 a 与 b 的值, 即可确定出椭圆 C 方程; (Ⅱ)根据题意得到直线 AB 斜率存在,设出直线 AB 方程,以及 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , P(x,y) ,联立直线 AB 解析式与椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,利用韦达 定理表示出两根之和与两根之积,根据不等式求出 k 的范围,进而确定出 t 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知椭圆的离心率 e= =
2 2 2



∴e =

=

= ,即 a =2b , ,即 4a=4
2

又△ EGF2 的周长为 4 2 2 ∴a =2,b =1. ∴椭圆 C 的方程为



+y =1;

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在,即 t≠0. 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x,y) , 由 ,得(1+2k )x ﹣8k x+8k ﹣2=0,
2 2 2 2

由△ =64k ﹣4(2k +1) (8k ﹣2)>0,得 k < .

4

2

2

2

根据韦达定理得:x1+x2=

,x1x2=





+

=t



∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y) , x= = ,

y=

= [k(x1+x2)﹣4k]=
2 2 2



∵点 P 在椭圆 C 上,∴16k =t (1+2k ) , ∵| ﹣
2

|<

,∴
2

|x1﹣x2|< ,



∴(1+k )[(x1+x2) ﹣4x1x2]<
2

∴(1+k )[
2 2

﹣4?

]<



∴(4k ﹣1) (14k +13)>0, ∴k > , ∴ <k < .
2 2 2 2 2 2

∵16k =t (1+2k ) ,∴t = 又 <1+2k <2,∴ <t =8﹣ ∴﹣2<t<﹣ 或
2 2

=8﹣ <4,



<t<2, )∪( ,2) .

∴实数 t 的取值范围为(﹣2,﹣

点评:此题考查了直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质,以及椭圆的标准方程,熟练掌 握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键. 21.设函数 f(x)=ae (x+1) (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x +bx+2,已知它们在 x=0 处有 相同的切线. (Ⅰ)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值; (Ⅲ)若对?x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)求导函数,利用两函数在 x=0 处有相同的切线,可得 2a=b,f(0)=a=g(0) =2,即可求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求导函数,确定函数的单调性,再分类讨论,即可求出函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣ 3)上的最小值;
x 2

(Ⅲ)令 F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke (x+1)﹣x ﹣4x﹣2,对?x≥﹣2,kf(x)≥g(x) 恒成立,可得当 x≥﹣2,F(x)min≥0,即可求实数 k 的取值范围. x 解答: 解: (Ⅰ) f'(x)=ae (x+2) ,g'(x)=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线. ∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4, ∴f(x)=2e (x+1) ,g(x)=x +4x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ x (Ⅱ) f'(x)=2e (x+2) ,由 f'(x)>0 得 x>﹣2,由 f'(x)<0 得 x<﹣2, ∴f(x)在(﹣2,+∞)单调递增,在(﹣∞,﹣2)单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵t>﹣3,∴t+1>﹣2 ①当﹣3<t<﹣2 时,f(x)在[t,﹣2]单调递减,[﹣2,t+1]单调递增, ∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
x 2

x

2

②当 t≥﹣2 时,f(x)在[t,t+1]单调递增,∴ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅲ)令 F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke (x+1)﹣x ﹣4x﹣2, 由题意当 x≥﹣2,F(x)min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵?x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k﹣2≥0,∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ F'(x)=2ke (x+1)+2ke ﹣2x﹣4=2(x+2) (ke ﹣1) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵x≥﹣2,由 F'(x)>0 得 ∴F(x)在 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ①当 ,即 k>e 时,F(x)在[﹣2,+∞)单调递增, ,不满足 F(x)min≥0.﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当 ,即 k=e 时,由①知,
2 2 x x x

x

2

,∴ 单调递减,在

;由 F'(x)<0 得 单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,满足

F(x)min≥0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当 递增 ,即 1≤k<e 时,F(x)在
2

单调递减,在 ,满足 F(x)min≥0.

单调

综上所述,满足题意的 k 的取值范围为[1,e ].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣ 点评:本题考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数 学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 四、选做题(请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在正△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

2

考点:分析法和综合法. 专题:计算题;证明题. 分析: (I)依题意,可证得△ BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π, 即可证得 A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)取 AE 的中点 G,连接 GD,可证得△ AGD 为正三角形,GA=GE=GD= ,即点 G 是 △ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 解答: (Ⅰ)证明:∵AE= AB, ∴BE= AB, ∵在正△ ABC 中,AD= AC, ∴AD=BE, 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC, 即∠ADF+∠AEF=π,所以 A,E,F,D 四点共圆.… (Ⅱ)解:如图,

取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= , ∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形, ∴GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 .… 点评:本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出 推理能力与分析运算能力的考查,属于难题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ,

(1)写出直线 l 的参数方程; 2 2 (2)设 l 与圆 x +y =4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 考点:直线的参数方程;直线与圆的位置关系;圆的参数方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)利用公式和已知条件直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 化为一般参数方程;
2 2

,写出其极坐标再

(2)由题意将直线

代入 x +y =4,从而求解.

解答: 解: (1)直线的参数方程为

,即



(2)把直线

代入 x +y =4,

2

2



,t1t2=﹣2,

则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2. 点评:此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择 不同的方程进行求解,这也是每年 2015 届高考必的热点问题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=2|x﹣1|+|x+2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空集合,求实数 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:综合题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)化简 f(x)的解析式,结合单调性求出不等式 f(x)≥4 的解集. (Ⅱ) 利用 f(x)的单调性求出 f(x)≥3,由于不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集 合,得|m﹣2|>3,解绝对值不等式求出实数 m 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)f(x) )=

,令﹣x+4=4 或 3x=4,

得 x=0,x= ,所以,不等式 f(x)≥4 的解集是



(Ⅱ)f(x)在(﹣∞,1]上递减,[1,+∞)上递增,所以,f(x)≥f(1)=3, 由于不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集合,所以,|m﹣2|>3, 解之,m<﹣1 或 m>5,即实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,绝对值得意义,判断 f(x)的单调性是解题的关键.



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