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《坐标系与参数方程》练习题(含详解)


数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?
2 3 3 2

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 3t

( t 为 参 数 ) ,则直线的斜率为(



A. C.

B. ? D. ?

2 3 3 2

2.下列在曲线 ?
1

? x ? s in 2 ? ? y ? c o s ? ? s in ?

(? 为 参 数 ) 上的点是(



A. ( , ? 2 )
2

B. ( ?
2

3 1 , ) 4 2

C. ( 2, 3 )

D. (1, 3 )

3.将参数方程 ?

? x ? 2 ? s in ? ? ? y ? s in ? ?
2

(? 为 参 数 ) 化为普通方程为(



A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? 2 co s ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x 2 ? y 2 ? 0 或 y ? 1 B. x ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 0 或 x ? 1 )
?
3

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 ( ? 1, 3 ) ,则点 M 的极坐标为( A. ( 2 ,
?
3 )

B. ( 2 , ?

?
3

)

C. ( 2 ,

2? 3

)

D. ( 2 , 2 k ? ? )

), ( k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2 sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ?
? x ? 3 ? 4t ? y ? 4 ? 5t

B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

( t 为 参 数 ) 的斜率为______________________。

2.参数方程 ?

?x ? e ? e ?
t t

?t ?t

? y ? 2 (e ? e ?
? x ? 1 ? 3t

( t 为 参 数 ) 的普通方程为__________________。 )

3.已知直线 l1 : ?

? y ? 2 ? 4t

( t 为 参 数 ) 与直线 l 2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A (1, 2 ) ,

1

则 A B ? _______________。
1 ? x ? 2? t ? ? 2 2 2 4.直线 ? ( t 为 参 数 ) 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为______________。 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2

5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P ( x , y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? ? y ? ?5 ? ? 3t

( t 为 参 数 ) 和直线 l 2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P

与 Q (1, ? 5) 的距离。

3.在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。

16

12

数学选修 4-4 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.直线 l 的参数方程为 ? 是( )
?x ? a ? t ?y ? b?t

坐标系与参数方程

( t 为 参 数 ) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P ( a , b ) 之间的距离

2

A. t1

B. 2 t1

C. 2 t1

D.

2 2

t1

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t ( t 为 参 数 ) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?



A.一条直线

B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 2 2 3.直线 ? ( t 为 参 数 ) 和圆 x ? y ? 1 6 交于 A , B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

则 A B 的中点坐标为( A. (3, ? 3) B. ( ? 3 , 3)

) C. ( 3 , ? 3) D. (3, ? 3 ) )
)

4.圆 ? ? 5 cos ? ? 5 3 sin ? 的圆心坐标是( A. ( ? 5 , ?
4? 3 )

B. ( ? 5 ,
t

?
3

)

C. (5 ,

?
3

D. ( ? 5 ,

5? 3

)

5.与参数方程为 ?

?x ? ?

( t 为 参 数 ) 等价的普通方程为(



?y ? 2 1? t ?

A. x ?

2

y

2

?1

B. x ?

2

y

2

? 1( 0 ? x ? 1)

4 y
2

4 y
2

C. x ?

2

? 1( 0 ? y ? 2 )

D. x ?

2

? 1( 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 )

4

4

6.直线 ?

? x ? ?2 ? t ?y ?1? t

( t 为 参 数 ) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦长为(
2 2



A. 9 8

B. 4 0

1 4

C. 8 2

D. 93 ? 4 3

二、填空题
1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t ( t 为 参 数 , t ? 0 ) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
? x ? 3 ? at ? y ? ?1 ? 4t

2.直线 ?

( t 为 参 数 ) 过定点_____________。

3.点 P ( x , y )是椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 1 2 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
3

4.曲线的极坐标方程为 ? ? ta n ? ?

1 cos ?

,则曲线的直角坐标方程为________________。

5.设 y ? tx ( t 为 参 数 ) 则圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?
? x ? c o s ? (s in ? ? c o s ? ) ? y ? s in ? (s in ? ? c o s ? ) (? 为 参 数 ) 表示什么曲线?

2.点 P 在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上,求点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。

16

9

3.已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A , B ,求点 P 到 A , B 两点的距离之积。

数学选修 4-4 [提高训练 C 组]
一、选择题

坐标系与参数方程.

1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(



4

? 2 ?x ? t A. ? 1 ? ? 2 ?y ? t
1

? x ? s in t ? B. ? 1 ?y ? s in t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ?y ? cos t ?

? x ? ta n t ? D. ? 1 ?y ? ta n t ?

2.曲线 ?

? x ? ? 2 ? 5t ? y ? 1 ? 2t
2 1

( t 为 参 数 ) 与坐标轴的交点是(



( A. ( 0 , )、 , 0 ) 5 2

( B. ( 0 , )、 , 0 ) 5 5 9 2 (8 D. ( 0 , )、 , 0 )

1

1

C. (0, ? 4)、 0) (8,
? x ? 1 ? 2t ?y ? 2?t
12 5
9 5

3.直线 ?

( t 为 参 数 ) 被圆 x ? y ? 9 截得的弦长为(
2 2



A. C.

B.
5

12 5 9 5

5 10

D.

4.若点 P (3, m ) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 P F 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 )

? x ? 4t ? y ? 4t

2

( t 为 参 数 ) 上,

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线



6.在极坐标系中与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 C. ? ? 4 s in (? ?
?
3 )



B. ? sin ? ? 2 D. ? ? 4 s in (? ?
?
3 )

二、填空题 1.已知曲线 ?
? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

( t 为 参 数 , p 为 正 常 数 ) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和 t 2 , , 且 t1 ? t 2 ? 0 ,

那么 M N =_______________。

5

2.直线 ?

? x ? ?2 ? ? ?y ? 3? ?

2t 2t

( t 为 参 数 ) 上与点 A ( ? 2, 3) 的距离等于

2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3 s in ? ? 4 c o s ? ? y ? 4 s in ? ? 3 c o s ?

(? 为 参 数 ) ,则此圆的半径为_______________。

4.极坐标方程分别为 ? ? co s ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。
? x ? t cos ? ? y ? t s in ? ? x ? 4 ? 2 cos ? ? y ? 2 s in ?

5.直线 ?

与圆 ?

相切,则 ? ? _______________。

三、解答题
1 t ? ?t x ? (e ? e ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 ( e t ? e ? t ) s in ? ? ? 2

(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 2

, 0 ) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x ? 1 2 y ? 1 交于点 M , N ,
2 2

求 P M ? P N 的值及相应的 ? 的值。

6

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C
k ? y?2 x ?1 ? ? 3t 2t ? ? 3 2
3 4 1 2

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

时, y ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2, 3], y ? [0,1]
? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ?
(2, 2 k? ? 2? 3

x ? y
2

2

? 0, 或 ? cos ? ? x ? 1

), ( k ? Z ) 都是极坐标
2

? cos ? ? 4 sin ? cos ? , cos ? ? 0, 或 ? ? 4 sin ? , 即 ? ? 4 ? sin ?

则? ? k ? ? 二、填空题 1. ?
5 4 k ?

?
2

,或x ? y ? 4y
2 2

y?4 x?3

?

? 5 t 4t

? ?

5 4

2.

x

2

?

y

2

? 1, ( x ? 2 )

4

16

y ? t t ?t ?x ? e ? e x? ? 2e ? y y ? ? 2 ? ? ? (x ? )x? ( ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e?t ?2 ? ? 2
1 2 5 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t ? y ? 2 ? 4t

代入 2 x ? 4y ? 5 t ? 得

,则 B (

, 0 ,而 A ( 1 , 2,得 A B ? ) )

5 2

4. 1 4

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

1 2

?

2 2

,弦长的一半为 2 ? (
2

2 2

)

2

?

14 2



得弦长为 1 4 5. ? ?
?
2 ??

? c o s? c o ?? s

?

s i?n

s? n ? i

0 ,?c o ? ( ,取 ? )? ? 0? ? s?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? s in ?



2 x ? y ? 2 cos ? ? sin ? ? 1 ? ? ? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1

5 sin(? ? ? ) ? 1

7

(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0
? a ? ? ( c o ?s ? ?a ? ?
?x ? 1? t ? ? y ? ?5 ? ? 3t

s?i n? ) ? 1 ?

? ? ? in ( 2 s ?
4

)

1

2 ?1

2.解:将 ?

代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 ,

得 P (1 ? 2 3 ,1) ,而 Q (1, ? 5) ,得 P Q ?
? x ? 4 cos ? ? ? y ? 2 3 s in ? ?
3 s ? n? i ? 3 4 5

(2 3 ) ? 6
2

2

? 4 3

3.解:设椭圆的参数方程为 ?

,d ?

4 c o s ? ? 4 3 s in ? ? 1 2 5

?

4 5

5

c o? ? s

5

2 ? o? ( c s 3

?

?

)

3

当 c o s? ( ?

?
3

?) 时, d m 1

i n

?

4 5

5

,此时所求点为 ( 2 ? 3 ) , 。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 2 ? t1 2 ?
2 t1

坐标系与参数方程

[综合训练 B 组]

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或 x ? ? 2 ,所以表示两条射线
t1 ? t 2 2

3.D

(1 ?

1 2

t) ? (?3 3 ?
2

3 2

t ) ? 1 6 ,得 t ? 8 t ? 8 ? 0 , t1 ? t 2 ? 8 ,
2

2

? 4

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ? ? ?y ? ? ? ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? 2
5 5 3 2
y
2

3

4.A

圆心为 ( , ?
2
y
2

)

5.D

x ? t,
2

?1? t ?1? x ,x ?
2 2

? 1, 而 t ? 0 , 0 ? 1 ? t ? 1, 得 0 ? y ? 2

4

4

8

6.C

? 2 ? x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? 代入 ? ? ? ?y ?1? t 2 ?y ?1? t ? y ? 1 ? 2t ? ? ? 2

( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 得 ( ? 5 ? t ) ? (2 ? t ) ? 25, t ? 7 t ? 2 ? 0
2 2 2 2 2

t1 ? t 2 ?

( t 1 ? t 2 ) ? 4 t1 t 2 ?
2

41 ,弦长为

2 t1 ? t 2 ?

82

二、填空题 1. y ?
x( x ? 2) ( x ? 1)
2

( x ? 1)

1? x ?

1 t

,t ?

1 1? x

, 而 y ? 1? t ,
2

即y ? 1? (
y ?1 x?3 4 a
x
2

1 1? x

) ?
2

x( x ? 2) ( x ? 1)
2

( x ? 1)

2. (3, ? 1)

?

, ? ( y ? 1 )a ? 4x ? 1 2 ? 对于任何 a 都成立,则 x ? 3 ,且 y ? ? 1 0
y
2

3. 22

椭圆为

?

? 1 ,设 P (

6 co s ?

, 2?s i, n

)

6

4

x ? 2y ?

6 cos ? ? 4 sin ? ?
1 c o? s ? s i? n c o?s
2

22 sin(? ? ? ) ?
c o s? ?
2 2

22
2

4. x 2 ? y
4t ? x ? 2 ? ? 1? t 5. ? 2 ? y ? 4t 2 ? 1? t ?

? ? t a n? ?

,?

s?n? , i

c? s ?o

?

s i ? 即?x 2 n y ,

x ? ( tx ) ? 4 tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?
2 2

4t 1? t
2



而y ? tx ,即 y ?

4t

2 2

1? t

4t ? x ? 2 ? ? 1? t ,得 ? 2 ? y ? 4t 2 ? 1? t ?

三、解答题 1.解:显然
y x ? ta n ? ,则

y x

2 2

?1?

1 cos ?
2

, cos ? ?
2

1 y x
2 2

?1
2 ta n ? t a? n
2

x ? c o s ? ? s i?n
2

1 c ?o ? s 2

s?i ? 2 n

2

?c ? s ? o
2

1

1 ?

?

2

? c o s

9

即x ?

1 2

2 ? 1?
2

y x ? 2 y x
2

y 1 1? y x
2 2

?1 y x
2 2

?

x 1?

, x (1 ?

y x

2 2

)?

y x

?1

得x ?

y

?

y x

? 1 ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2

x

2.解:设 P (4 cos ? , 3 sin ? ) ,则 d ?
?
4 5

1 2 c o s ? ? 1 2 s in ? ? 2 4 5

12

2 c o s (? ?

) ? 24

即d ? 当 c o s (? ? 当 c o s (? ?
?
4


12 5 (2 ? 2) 。

) ? ? 1 时, d m a x ? ) ? 1 时, d m in ?

(2 ?

2);

?
4

12 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos t ?x ? 1? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t s in ? ?y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 t ?x ? 1? ? 2 2 代入 2 (2)把直线 ? x ? y ? 4 ?y ? 1? 1 t ? ? 2
3 2 1 2

得 (1 ?

t ) ? (1 ?
2

t ) ? 4 , t ? ( 3 ? 1) t ? 2 ? 0
2 2

t1t 2 ? ? 2 ,则点 P 到 A , B 两点的距离之积为 2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B
xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制

坐标系与参数方程

[提高训练 C 组]

当 x ? 0 时, t ? 当 y ? 0 时, t ?

2 5 1 2

,而 y ? 1 ? 2 t ,即 y ?

1 5

,得与 y 轴的交点为 ( 0 , ) ;
5 1 2

1

,而 x ? ? 2 ? 5 t ,即 x ?

,得与 x 轴的交点为 (

1 2

, 0 )

10

3.B

? x ? 1? ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ? ? ?y ? 2?t ?y ? 1? ? ?
2 2 2

5t ? 5t ?

2 5 1 5
2 2

,把直线 ?

? x ? 1 ? 2t ?y ? 2?t

代入

x ? y ? 9 得 (1 ? 2 t ) ? (2 ? t ) ? 9, 5 t ? 8 t ? 4 ? 0
8 5 16 5 12 5
12 5

t1 ? t 2 ?

( t1 ? t 2 ) ? 4 t1 t 2 ?
2

(?

) ?
2

?

,弦长为 5 t1 ? t 2 ?

5

4.C 5.D 6.A

抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ? 1 , P F 为 P (3, m ) 到准线 x ? ? 1 的距离,即为 4
? c o s 2? ? 0 , c o s 2? ? 0 , ? ? k ? ?
2

?
4

,为两条相交直线
2

? ? 4 sin ? 的普通方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 , ? cos ? ? 2 的普通方程为 x ? 2

圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切 二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 M N 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p 1 t ?
1 2 2 2
2

t ?2

p 2

1

t

2. ( ? 3, 4 ) ,或 ( ? 1, 2 )
n ?x ? 3 s i? ?

(?

2t ) ? (
2

2t ) ? (
2

2) ,t ?
2 2

,t ? ?

3. 5

由?

4 c o s ?

n ? y ? 4 s i? ?
1

3 c o s ?

得 x 2 ? y 2 ? 25

4.
?
6

2 2

圆心分别为 (
5? 6

1 , 0和( 0 , ) 2 2

)

5.

,或

直线为 y ? x t a n ,圆为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时, ? 易知倾斜角为
?
6

,或

5? 6

三、解答题 1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且 y ? 0 ;
s 当 t ? 0 时, c o ? ? x 1 2 (e ? e
t ?t

, s?i n ? )
2

y 1 2 (e ? e
t ?t

)

而 x ? y ? 1 ,即
2 2

x 1 4
t

2

?
?t

y 1 4
t

?1
?t

(e ? e

)

2

(e ? e

)

2

11

(2)当 ? ? k ? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? 当? ? k ? ?
?
2

1 2

(e ? e
t

?t

) ,即 x ? 1, 且 y ? 0 ;
t ?t

, k ? Z 时, x ? 0 , y ? ?

1 2

(e ? e

) ,即 x ? 0 ;

2x 2x 2y ? t ? t ?t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? s in ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?et ? e ?t ? 2 y ? 2e?t ? 2 x ? 2 y ? ? s in ? cos ? s in ? ? ?

得 2e ? 2e
t

?t

? (

2x cos ?
2 2

?

2y s in ?

)(

2x cos ?

?

2y s in ?

)



x

2 2

cos ?

?

y

s in ?

?1。

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? ( t 为 参 数 ) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t s in ? ?
(1 ? s in ? ) t ? ( 1 0 c o s ? ) t ?
2 2

3 2

? 0

3

则 P M ? P N ? t1 t 2 ?

2 2 1 ? s in ?

所以当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ?

?
2

, P M ? P N 的最小值为

3 4

,此时 ? ?

?
2



12


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《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
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