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2.3.3平面向量的坐标运算



2.3.3平面向量的坐标运算

三维目标 1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向 量的和、差、实数与向量的积的坐标表示 方法。理解并掌握平面向量的坐标运算。 2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全 代数化,平面向量的坐标成了数与形结合 的载体。 3.在解决问题过程中要形成见数思形、以 形助数的思维习惯,以加深理解知识要点, 增强应用意识。

重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:平面坐标运算的应用 课时安排:1课时

问题: 若已知 a =(1 , =( 5 x2, ,1 y), x1, ,3 y) 2) 1) b 如何求 a + b , a- b的坐标呢?

y + ( , y ) x C a + b =(x1 ,4 y1) 2 2 a ( 6, 4) =(x 3 +y j )+(x +y j)
2 =(x1 + x2 )i + ( y1+ y2 ) j 1 b 重点 -4 -3 -2 -1 o 0 1 2 3 4 5 -1

1

i

1

2

i

2

-5

x

猜想: 证明:a + b =( -2 x1+x2 ,y1+y2)
-3 - = ( x1-x2 ,y1-y2) a b -4

平面向量的坐标运算法则

? ? 已知a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?
结论:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差)。

向量的数乘运算
? 若? ? R, a ? ( x1, y1 ), 则

? ? x1i ? y1 ? j) ? a ? ?(? ? ? x1i ? ? y1 j

? ?a ??





? ? a ? (? x1, ? y1 )

结论:实数与向量的积的坐标等于这个 实数乘原来向量的相应坐标

平面向量的坐标运算法则

重点

a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (?x1 , ?y1 )

平面向量坐标运算法则应用
? ? 例 1.已知a ? (2,1), b ? (?3, 4), ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b,3a ? 4b的坐标。
(-1,5) (5,-3)

(-6,19)

探究 : 若已知 点A、B的坐标分别为 ( 1, 3), ( x1, y1) 4, 2y ),如何求 (x AB 的坐标呢? 2, 2)

y 1 , 3 ) ( x , y 4 A( 1 1) AB OB OA 3 (x2 ,y2) (x1,y 1) 2 ( (x2 x1 ,y2 y1) B( 4x , 2y ) 2, 2)

·
1

·

1

-5 -4 -3 -2 -1 o 0 -1

2

3

4

5

x

-2 AB 的坐标可能为 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有 -3 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 。 (x 2-x1 , y2-y1)
-4

(3,-1)

返回

例2
已知A、B两点的坐标,求 AB , BA

的坐标。
⑴ A (3,5) , B (6,9) ; ⑵ A(-3,4) , B(6,3) ⑶ A (0,3) , B (0,5) ; ⑷ A (3,0), B(8,0)

始点A

终点B

AB

( 1, 2 ) ( 2, 3 )
( 3 , -4 ) 终点坐标减 去向量坐标

( 1, 1 )
( -2 , 7 )
终点坐标减 去始点坐标

( 1, 3 )
始点坐标加 上向量坐标

例3.如图,已知 四边形 的四个顶点A、B、C,D的坐标 分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),(2,2)求证四 边形 ABCD是平行四边形

例3.如图,已知 四边形 y 的四个顶点A、B、C,D的坐标 分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),(2,2)求证四 边形 ABCD是平行四边形6
5 4

B A

C

3 2

D
1 2 3 4 5

1

-6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 -1 -2

x

思考1已知

ABCD的三个顶点A、B、C的坐
y
6 5 4

标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),
求顶点D的坐标。 B A

C

3 2

D
1 2 3 4 5

1

-6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 -1 -2

x

思考1已知

ABCD的三个顶点A、B、C的坐

标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),
求顶点D的坐标。
? AB ? (?1,3) ? (?2,1) ? (1, 2) ???? A DC ? (3, 4) ? ( x, y ) ? (3 ? x, 4 ? y ) ??? ? ???? 且 AB ? DC ?(1,2) ? (3 ? x,4 ? y) ? 1 ? 3 ? x 2 ? 4? y
解得 x=2,y=2
解:设点 D的坐标为(x,y) ??? ?
B D O x y C

所以顶点D的坐标为(2,2)

思考1已知

ABCD的三个顶点A、B、C的坐

标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),
求顶点D的坐标。
另解:由平行四边形法则可得 y B ??? ? ??? ? ??? ? BD ? BA ? BC ? (?2 ? (?1),1 ? 3) ? (3 ? (?1), 4 ? 3) A O ? (3, ?1) C D



???? ??? ? ??? ? OD ? OB ? BD ? (?1,3) ? (3, ?1) 所以顶点D的坐标为(2,2) ? (2, 2)

x

思考2:若已知平面上三个点A、B、C 的
坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3, 4),求第四个点的坐标,使这四个点构成一 个平行四边形的四个顶点.

y
6 5 4

D1 C

B D2 A

3 2

D
1 2 3 4 5

D
x

1

-6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 -1 -2

小结回顾
请回顾本堂课的教学过程,你能说说你学了哪些知识吗?

1.平面向量坐标的加.减运算法则

2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则 ?

a ?b

? ? = ( x , y ) + (x , 1 1 2 a ? b? ?

y2)= (x1+x2 , y1+y2)

=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)

? a ? ?( x, y) ? (? x, ? y)
AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )

3.平面向量坐标

若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)


P101 3.7



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