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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 理



【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析 几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 理

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程:ax +bx+c =0 (或 ay +by+c=0). (1)若 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式 Δ ,有 ①Δ >0?直线与圆

锥曲线相交; ②Δ =0?直线与圆锥曲线相切; ③Δ <0?直线与圆锥曲线相离. (2)若 a=0,b≠0,即得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 E 相交,且只有一个交 点, ①若 E 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; ②若 E 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k (k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 则 AB= 1+k |x2 -x1|= 1 1+ 2|y2-y1|.
2 2 2

k

【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条与对称轴平 行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直 线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点: 两条切线和两 条与渐近线平行的直线;

1

过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的 直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与抛物线 y =2px 只有一个公共点,则 l 与抛物线相切.( × ) (2)直线 y=kx (k≠0)与双曲线 x -y =1 一定相交.(
2 2 2

× )

(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.( √ )

(5)过点(2,4)的直线与椭圆 +y =1 只有一条切线.( × ) 4 (6)满足“直线 y=ax+2 与双曲线 x -y =4 只有一个公共点”的 a 的值有 4 个.( √ )
2 2

x2

2

1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为________. 9 4 答案 相交 解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭 圆相交. 2.若直线 y=kx 与双曲线 - =1 相交,则 k 的取值范围是________________. 9 4

x2 y2

x2 y2

? 2 2? 答案 ?- , ? ? 3 3?
2 解析 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 9 4 3

x2 y2

? 2 2? 若直线与双曲线相交,数形结合,得 k∈?- , ?. ? 3 3?
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的直线有________条. 答案 3 解析 过(0,1)与抛物线 y =4x 相切的直线有 2 条,过(0,1)与对称轴平行的直线有 1 条,这 3 条直线与抛物线都只有一个公共点. 4.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x =4y 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,则 弦 AB 的长为________. 答案 16 解析 直线 l 的方程为 y= 3x+1,
2 2 2

2

由?

?y= 3x+1 ?x2=4y

得 y -14y+1=0.

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=14, ∴AB=y1+y2+p=14+2=16. 5.(2014·山东)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的焦距为 2c, 右顶点为 A, 抛物线 x =2py(p>0) 的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且 FA=c,则双曲线的渐近线方程为 ________. 答案 y=±x 解析 抛物线的准线 y=- ,焦点 F?0, ?, 2 ? 2? ∴a +? ? =c . ?2?
2 2

x2 y2 a b

2

p

?

p?

?p?2



设抛物线的准线 y=- 交双曲线于 M?x1,- ?,N?x2,- ?两点, 2? ? 2? 2 ?

p

?

p?

?

p?

p y=- , ? ? 2 ∴? x y ? ?a -b =1,
2 2 2 2

x 即 2- 2 =1,解得 x=±a a b
∴2a
2

2

?-p?2 ? 2? ? ?

p2 2+1, 4b
② ③

p2 2+1=2c. 4b
2 2

又∵b =c -a , ∴由①②③,得 2=2.

c2 a

b2 c2 ∴ 2= 2-1=1, a a
解得 =1. ∴双曲线的渐近线方程为 y=±x.

b a

3



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