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正、余弦函数图象和性质1



正弦、 正弦、余弦函数的图象

X

想一想?

复习回顾: α、 α、 α 的几何意义。 sin cos tan

y
1

P

T
1

正弦线MP 正弦线 余弦线OM 余弦线 正切线AT 正切线AT

o

M A

x

注意: 注意:三角 函数线是有 函数线是有 向线段! 向线段!

三角问题 三角问题

几何问题 几何问题

正弦函数y=sinx

x∈[0,2π]的图象 ∈ π

问题:作图的一般步骤是什么? 问题:作图的一般步骤是什么?如何作正弦函数 的图象? 的图象?
步骤:列表,描点, 步骤:列表,描点,连线 途径: 途径:利用单位圆中正弦线作图象 y
B
1

连线: 连线:用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来

O1

A O
-1

π
3

2π 3

π

4π 3

5π 3



x

y=sinx x∈[0,2π] ∈ π

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z π ∈
f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

y=sinx x∈R ∈

正弦函数y=sinx
y 1
π
2

x∈R的图象 ∈

?

o -1

π
2

π

3π 2



x

y=sinx x∈[0,2π] ∈ π y=sinx x∈R ∈

y
1

正弦曲 线
π 2π 3π 4π 5π

-4π

-3π

-2π



o
-1



x

正弦函数的简图
如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)? 如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)? 正弦函数的图象
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π

五点画图法
( 2π ,0) ( 2π ,0)

( π ,0)

( ,1) ( 2π ,0) 2 (0,0) π -1 ( π ,0) (3π ,-1) ( ,1) ( 2π ,0) 3π 2 (0,0) π π3π ( π ,0)2 3,1) (2 ( 2π ,0) ( 2 ,1) ( π ,0) ( 2 ,1)π ( 3 ,1) ( 2π ,0) (0,0) π 2( 3,1) π (0,0) ( π ,0) ( 2π ,0) 2 3π π ( 2 ,1) (0,0) 3π ( 2 ,-1) ( 2π ,0) (π ,1) ( π ,0) (2 (0,0) 3π ( ,-1),-1) 2 2 ( 2π ,0) ( π ,0) ( 2 ,-1) ( 2 ,1) (0,0) 五点法: 五点法:

?

π

2

π

π

( π ,0) ( π ,0)

3π 2



x

x
sinx

0 0

π
2

π 0

3π 2

1

-1

2π 0

余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2

正弦曲 线
π
形状一样 位置不同

余弦函数的图象 余弦函数的图象

y
余弦函数的五点
(0,1) 1
π (o ,0) 2 -1
3π ( ,0) 2

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线
5π 6π

-4π

-3π

-2π



π

( π ,-1)

x

正弦函数图象的应用
例1 画出函数y=1+sinx,x∈[0, 2π]的简图: 画出函数 , ∈ π 的简图: 的简图
π
2

x
sinx 1+sinx
y 2 1
?

0 0 1

π 0 1

3π 2

1 2

-1 0

2π 步骤: 步骤: 0 1.列表 列表 1 2.描点 2.描点 3.连线 连线

y=1+sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2

π
2

o -1

π

3π 2



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

余弦函数图象的应用
画出函数y= 的简图: 例2 画出函数 - cosx,x∈[0, 2π]的简图: , ∈ π 的简图
π
2

x
cosx - cosx
y 1
π
2

0 1 -1

π -1 1

3π 2

2π 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2

?

o -1

π

3π 2



x

y= - cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π

在同一坐标系内, 练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x∈[0, 2π] 和 y= , ∈ π cosx,x∈[ ? , ∈ π2 0 -1
π
π
2

,

3π 2

]的简图: 的简图: 的简图 22π 0 1


x
cosx sinx

?0

π
2

π

0 2 0 1

3π 2π

1 0

-1 0

π y 向左平移 个单位长度 2 2
1 y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
?

π
2

o -1

π
2

π
3π ] 2 2

3π 2



x

y= cosx,x∈[? π , , ∈

1. 正弦曲线、余弦曲线的联系和区别 正弦曲线、


形状完全一样,位置有所不同。 形状完全一样,位置有所不同。



2.五点作图法:与x轴的交点,最高点, 五点作图法: 轴的交点, 五点作图法 轴的交点 最高点, π 3π 最低点, 五个值。 最低点,即x取 0 , , π , 取 , 2 π 五个值。
y 1

2

2

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π

?

π
2

o

π
2

π

3π 2



x

-1

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

作业: 作业:P64 T 1、T3 、

谢 谢 大家



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