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高中数学人教A版必修2课件:4.1.1 圆的标准方程



第四章

圆与方程

-1-

4.1 圆的方程

-2-

4.1.1 圆的标准方程

-3-

1.明确圆的基本要素,能用定义推导圆的标准方程. 2.会求圆的标准方程,能够判断点与圆的位置关系.

1

2

1 .圆
基本 要素 标准 方程 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此,确定 一个圆最基本要素是圆心和半径 圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

图示

说明

若点 M(x,y)在圆 C 上,则点 M 的坐标适合方程 (x-a)2+(y-b)2=r2;反之,若点 M(x,y)的坐标适合方程 (x-a)2+(y-b)2=r2,则点 M 在圆 C 上

1

2

名师点拨 1.由圆的标准方程,可直接得到圆心和半径;给出圆心和 半径,也可直接写出圆的标准方程. 2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为 圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作 用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的 大小.

1

2

【做一做1-1】 圆x2+y2=1的圆心坐标为( A.(0,0) B.(1,1) C.(0,1) D.(1,0) 答案:A

)

1

2

【做一做1-2】 圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为(

)

A.1
答案:B

B. 2

C. 2

D. 4

1

2

2.点与圆的位置关系 圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为 C(a,b),半径为 r,点 P(x0,y0),设 d=|PC|= (0 -)2 + (0 -)2 .

位置关系

d与r 图示 的大小

点 P 的坐标的特点

点在圆外 d>r

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

1

2

位置关系

d与r 图示 的大小

点 P 的坐标的特点

点在圆上 d=r

(x0-a)2+(y0-b)2=r2

点在圆内 d<r

(x0-a)2+(y0-b)2<r2

1

2

【做一做2 】 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C的内部,且 d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( ) A.d>2 B.0≤d<2 C.d>4 D.0≤d<4 答案:D

1

2

1.特殊位置的圆的标准方程 剖析:如下表所示.

条件 圆过原点

方程形式 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)

圆心在 x 轴上 (x-a)2+y2=r2(r≠0) 圆心在 y 轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0)

1

2

2.圆不是函数的图象 剖析:根据函数的知识,对于平面直角坐标系中某一曲 线,如果垂直于 x 轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么 这条曲线是函数的图象;否则,不是函数的图象.在平面直角 坐标系中,垂直于 x 轴的直线与圆至多有两个交点,因此圆 不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如,函 数 y=b+ 2 -(-)2 ( > 0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为 r,位于直线 y=b 上方的半圆;函数 y=b? 2 -(- )2 ( > 0) 的图象是以(a,b)为圆心,半径为 r,位于直线 y=b 下方的半圆.

1

2

函数和圆的联系,丰富了函数概念的内涵,又对圆赋予了代数意 义.因此,可以用函数来研究平面几何问题,反过来也可以用平面几 何研究函数问题,这充分揭示了数和形的密切联系,体现了数形结 合的完美统一.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

判断点与圆的位置关系

【例 1】 已知圆 C:(x-5)2+(y-6)2=10,试判断点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆 C 的位置关系. 解:圆心 C(5,6),半径 r= 10. |CM|= |CN|= |CQ|= (6-5)2 + (9-6)2 = 10, (3-5)2 + (3-6)2 = 13 > 10, (5-5)2 + (3-6)2 = 3 < 10.

因此点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心间的距离和圆的 半径的大小关系;也可将该点的坐标代入圆的方程判断.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求 实数a的取值范围. 解:因为点A在圆的内部, 所以(1-a)2+(2+a)2<2a2, 所以2a+5<0,
解得 a<? 2.
5

故实数 a 的取值范围是 < - .
2

5

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

求圆的标准方程

【例2】 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0 上的圆的标准方程. 解法一:(直接法) 由题意,得线段AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,
由 3 + 2-15 = 0, = 7, 解得 = -3. 3 + 10 + 9 = 0,

所以圆心 C 的坐标为(7,-3). 所以 r=|CB|= 72 + (1 + 3)2 = 65.

故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.

题型一

题型二

题型三

题型四

解法二:(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (6- )2 + (5-)2 = 2 , 则有 (0- )2 + (1-)2 = 2 ,

3 + 10 + 9 = 0, 解得 a=7,b=-3,r= 65.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思求圆的标准方程的方法: (1)直接法求圆的标准方程的策略: ①确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和半径,因此用直接法 求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程. ②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式, 有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等. (2)待定系数法,步骤是: ①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径是2; (2)圆心在点(2,-1),且过原点; (3)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2). 解:(1)因为圆心为(0,0),半径为2, 所以圆的标准方程为x2+y2=4. (2)因为圆心为(2,-1),且过原点,

所以圆的半径 r=

22 + (-1)2 = 5,

所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5.

题型一

题型二

题型三

题型四

(3)因为圆心在y轴上,故可设圆心坐标为(0,b), 因为圆的半径为1,且过点(1,2),

所以 (0-1)2 + (-2)2 = 1, 解得b=2,
故圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

圆上的点与一定点的距离的最值

【例 3】 已知 x,y 满足 x2+(y+4)2=4,求 ( + 1)2 + ( + 1)2 的最大值与最小值. 解:由已知得 P(x,y)在圆 x2+(y+4)2=4 上,圆心 C(0,-4), 半径 r=2, 设 A(-1,-1),则|PA|= ( + 1)2 + ( + 1)2 .

因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点 A(-1,-1)在圆外. 而|AC|= (0 + 1)2 + (-4 + 1)2 = 10,

所以 ( + 1)2 + ( + 1)2 的最大值为|AC|+r= 10 + 2, 最小值为|AC|-r= 10 ? 2.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思形如(x-m)2+(y-n)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距 离的平方的最值问题,体现了转化思想.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 已知实数x,y满足(x-2)2+y2=9,求x2+y2的最大值和 最小值. 解:根据题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显 然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相 应取得最大值和最小值. 因为原点(0,0)到圆心C(2,0)的距离为2,半径r=3, 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为2+3=5,最小距离为32=1, 所以x2+y2的最大值为25,最小值为1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:不理解圆的标准方程而致错 【例4】 已知圆C:(x-5)2+(y+1)2=3,则圆C的周长等于 错解:易知圆的半径r=3,则周长等于2πr=6π,故填6π. 错因分析:圆 C 的半径 r≠3,应有 r2=3,r= 3.

.

正解:圆 C 的半径 r= 3, 则周长等于2πr=2 3π. 答案: 2 3π
反思圆 C:(x-a)2+(y-b)2=m(m>0),其中圆 C 的半径 r≠m,应为 r= .



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