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浙江省杭州第二中学学高二数学下学期期中试题-课件



杭州二中 2015 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 空间中,与向量 a ? (3,0, 4) 同向共线的单位向量 e 为( A. e ? (1, 0,1)
? 3 4 C. e ? ( ,0, ) 5 5 2. 函数 y ? 2

x ? cos x ,则 y ? 等于(
? ? ?
?


?

B. e ? (1, 0,1) 或 e ? (?1,0, ?1)
? 3 4 ? 3 4 D. e ? ( ,0, ) 或 e ? (? ,0, ? ) 5 5 5 5

) C. 2 ? sin x D. 2 x ? sin x

A. 2 ? cos x

B. 2 ? sin x

3. “函数 y ? x 3 ? 3ax 在 x ? 1 处的切线的斜率为 6”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay =0 互相垂直”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 一个四面体中如果有三条棱两两垂直, 且垂足不是同一点, 这三条棱就象中国武术中的兵器——三节棍, 所以,我们常把这类四面体称为“三节棍体”, 三节棍体 ABCD 四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别 为 A(0,0,0) 、B(0,4,0) 、C(4,4,0) 、D(0,0,2) ,则此三节棍体外接球的表面积是( ) A. 36? B. 24? C. 18? D. 12? 5. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O ,下列条件中能确保点 M 与点 A, B, C 共面的是
???? ? ??? ? ??? ? ???? A. OM ? OA ? OB ? OC ???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? C. OM ? OA ? OB ? OC 2 3





B. OM ? 2OA ? OB ? OC
???? ?

???? ?

??? ? ??? ? ????

D. OM ? OA ? OB ? OC

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? 6 3 2
F

D

6. 已知空间四面体 D ? ABC 的每条边都等于 1, 点 E , F 分别是 AB , AD 的 中点,则 FE ? DC 等于( A. C.
1 4
??? ? ????

) B. ? D. ?
1 4
A E B C

3 4

3 4

7. 若点 M 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上的点,则点 M 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距离为( A.2 B. 5 C. 2 D. 3



8. 在下列三个说法中:①已知 A、B、C、D 是空间的任意四点,则 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 .②若{ a, b, c } 为空间的一组基底,则{ a ? b, b ? c, c ? a }也构成空间的一组基底.③ | (a ? b) | ?c ?| a | ? | b | ? | c | .其中正确说 法的个数是( A.3 ) B.2 C.1 D.0

9. 路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 2 m/s 的速率在地平面上,从路灯在地平面上射影点 C
-1-

开始沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率 v 为( A.
7 m/s 20

) D.
1 m/s 2

B.

7 m/s 24

C.

7 m/s 22

10. 已知函数 f ( x) ? (a sin x ? b cos x) ? e? x 在 x ?

?
6

处有极值,则函数 y ? a sin x ? b cos x 的图象可能是(



二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 设 A(3,4,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0)则 AB 中点 M 到点 C 距离为
4 12. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ( a ? R )在 x ? ? 处取得极值,则 a 的值为 3

. . .

13. 若 a ? (1, ?, 2) , b ? (2, ?1,1) , a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 ? 的值为

?

?

?

?

14. 如 图 , 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 P 处 的 切 线 方 程 是 y ? ? x ? 8 , 则 f ( 5 )? f ? ( 5=) .

15. 已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 .则 于任意实数 t1 , t 2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是
? ? ?

?

?

?

? ?

? ?



.

16. 若不等式 x3 - 2loga x ? 0 在 x ? (0,

2 ] 恒成立,则实数 a 的最小值为 2



17. 如图,棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 ? 上, 三条棱 AB、 AC、 AD 都在平面 ? 的同侧.若顶点 B,C 到平面 ? 的距离分别为 1,
2 .建立如图所示的空间直角坐标系,设平面 ? 的一个法向量

为 ( x0 , y0 , z0 ) ,若 x0 =1 则 y0 = 平面 ? 的距离是 .

, z0 =

,且顶点 D 到

杭州二中 2015 学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
-2-

目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上. 11. 13. 15. 17. , , 12. 14. 16.

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 10 分) 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , O 是 AC 与 BD 的交点, E 是 B1B 上一 点,且 B1 E ?

1 . (Ⅰ)求证: B1 D ? 平面 D1 AC ; 2
A1

D1 B1 E

C1

(Ⅱ)求异面直线 D1O 与 A1 D 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线 D1O 与平面 AEC 所成角的正弦值.

D A O B

C

19. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过原点,且在 x ? 1 处取得极值, (1)若 y ? f ( x) 在原点处的切线 的斜率为 ?3 ,求 f ( x) 的解析式和极值;

-3-

3 (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得的是极小值,问是否存在实数 m, n, t ?[1, ] 使得 f (m) ? f (n) ? f (t ) 成立,若存在, 2 求实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

P
20. (本题满分 11 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,直线 PA ? 平 面 ABC , 且 ?ABC ? 90? , 又点 Q ,M ,N 分别是线段 PB ,AB ,
BC 的中点,且点 K 是线段 MN 上的动点. (1)证明:直线 QK / / 平面 PAC ;

Q A M K B N C -4-

(2)若 PA ? AB ? BC ,求二面角 Q ? AN ? M 的平面角的余弦值.

21. (本题满分 11 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 2 1 x ? ( a ? R且a ? 0) . 2 2

-5-

(2 )是否存在实数 a ,使得对任意的 x ? ?1, ??? ,都有 f ( x) ? 0 ?若 存在,求 a 的取值范围;若不存在, 请说明理由.

高二数学参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.

14 ; 12.

1 ; 13. 1 或-17; 14.2; 2

15.12;

16.

1 ; 4

17.

2, 6, 6

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 8 分)解:(Ⅰ)如图,以 D 为原点建立空间直 角坐标系 D ? xyz . 则 D(0,0,0) , C (0, 2,0) , A(2, 0, 0) , B1 (2, 2, 2) , D1 (0,0, 2) ∴ AD1 ? (?2,0, 2) , AC ? (?2,2,0) , B1D ? (?2, ?2, ?2) .

???? ?

??? ?

???? ?

? AD1 ? B1D ? 4 ? 0 ? 4 ? 0 , AC ? B1D ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 ,又 AC 与 AD1 交于 A 点
???? ? ???? ? ???? ? ??? ? AD1 ? B1D , AC ? B1D ,∴ B1D ? 平面 D1 AC .
(Ⅱ)设 A1 D 与 D1O 所成的角为 ? . D1 (0,0, 2) , O(1,1, 0) ,

???? ? ???? ?

??? ? ???? ?

???? ? A1 (2,0, 2) . ∴ A1D ? (?2,0, ?2) ,

???? ? ???? ? ???? ? | A1D ? D1O | 2 3 ? ? ? . DO ? (1,1, ?2) . ∴ cos? ? ???? 1 6 | A1D | ? | D1O | 2 2 ? 6
所求异面直线 A1 D 与 D1O 所成角的余弦值为

3 6

(Ⅲ)设平面 AEC 与直线 D1O 所成的角为 ? .设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ??? ? 3 3 3 E (2, 2, ) , C (0, 2,0) , A(2, 0, 0) , AE ? (0, 2, ) , EC ? (?2, 0, ? ) . 2 2 2

-6-

3 ? ??? ? x ? ? z ? n ? AE ? 0 ? ? 3 3 3 3 ? 4 ?? ,令 z ? 1 ,则 x ? ? , y ? ? ,? n ? ( ? , ? ,1) . ? ? ??? 4 4 4 4 ? ?n ? EC ? 0 ? y ? ? 3 z ? ? 4

???? ? ???? ? | n ? D1O | 7 51 ???? ? ? . ? sin ? ?| cos ? n, D1O ?|? 51 | n | ? | D1O |
所求平 面 AEC 与直线 D1O 所成角的正弦值为

7 51 . 51

19.(本题满分 12 分)解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b

? f (0) ? 0 ?c ? 0 ? ? 由题可得 ? f ' (1) ? 0 ? ?3 ? 2a ? b ? 0 ,解得 a ? 0, b ? ?3, c ? 0 ? f ' (0) ? ?3 ?b ? ?3 ? ?

? f ( x) ? x 3 ? 3x 且 f ( x) 的极大值为 f (?1) ? 2 ,极小值为 f (1) ? ?2
(2)由题 ?

?c ? 0 ? b ? ?2a ? 3 ?3 ? 2a ? b ? 0

? f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (2a ? 3) x, f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3)
因为 f ( x) 在 x ? 1 处取得的是极小值,则可得 ?

2a ? 3 ? 1 ? a ? ?3 3

且 f ( x) 在 ?1, ? 上单调递增,要想存在实数 m, n, t ? ?1, ? 使得 f (m) ? f (n) ? f (t ) 成立,则只需 2 2

? 3? ? ?

? 3? ? ?

23 3 3 9 23 2 f (1) ? f ( ) , 2(?2 ? a ) ? ? a ? ? a ? ? ,? a ? ? . 2 4 8 10 10
20. (本题满分 10 分)解:以 B 为原点,以 BC、 BA 所在直线为 x 轴 y 轴建空间直角坐标系,设

PA ? AB ? BC ? 2
则 A(0,2,0) ,M(0,1,0) ,N(1,0,0) ,p(0,2,2),Q(0,1,1),

???? AQ =(0,-1,1),

???? AN ? (1, ?2,0)

? ???? ? ? ?n ? AQ ? 0 ? y ? z ?? 记 n ? ( x, y, z)为平面AQN的一个法向量 ,则 ? ?? ? ???? ?x ? 2 y ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ? 取 y ? z ? 1则x ? 2 n ? (2,1,1) ?? ? ?? m?n 1 6 ? 又平面 ANM 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,所以 cos ? = ?? ? ? ,即为所求. 2 6 m?n 2 ?1?1
21. (本题满分 12 分)
-7-



a?0
时,令 f '( x) ? 0 得 x ?

a 或 x ? ? a (舍).

函数 f ( x) , f '( x) 随 x 的变化如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, a )
+ ↗

a
0 极大值

( a , ??)
?


所以 f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) . 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) ;

f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) .
① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减. 所以 f ( x) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ,即对任意的 x ? [1, ??) ,都 有 f ( x) ? 0 .

-8-



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