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2017届人教A版 函数奇偶性的判断 考点集训



函数奇偶性的判断 1. (1)(2013· 广东, 2)定义域为 R 的四个函数 y=x3, y=2x, y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 (2)(2014· 课标Ⅰ,5)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( ) )

A.f(x)g(x)

是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 【解析】 (1)(定义法)根据奇、 偶函数的定义可知, y=2x 为非奇非偶函数, y=x2+1 为偶函数,y=x3 与 y=2sin x 为奇函数,故选 C. (2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于 A:令 h(x)=f(x)· g(x),则 h(-x)=f(- x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数,A 错; 对于 B:令 h(x)=|f(x)|g(x),则 h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x) =h(x),∴h(x)是偶函数,B 错; 对于 C:令 h(x)=f(x)|g(x)|,则 h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是 奇函数,C 正确; 对于 D:令 h(x)=|f(x)g(x)|,则 h(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)| =h(x),∴h(x)为偶函数,D 错. 【答案】 【点拨】 (1)C (2)C

解题(1)(2)的关键是利用奇偶函数的定义判断.

判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地,对于较简单的函数解析式,可通过定义直接作出判断;对于较复杂 的解析式,可先对其进行化简,再利用定义进行判断. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

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(2)图象法

(3)性质法 设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面 结论: f(x) 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 g(x) 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 f(x)+g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)-g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数

所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性. 2. (2014· 重庆,4)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x D.f(x)=2x+2-x )

C.f(x)=2x-2-x 【答案】 D

因为 f(x)=2x+2-x,所以 f(-x)=2-x+2x=f(x).又 f(x)=2x

+2-x 的定义域为 R,故 f(x)=2x+2-x 为偶函数.易证 A,B 选项中的函数既不 是奇函数也不是偶函数,而 C 选项中的函数为奇函数. 3. (1)(2013· 湖南,4)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2
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)

D.1

(2)(2014· 湖南,15)若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a=________. (3)(2013· 江苏,11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2- 4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 【 解析 】 (1) 由函数的奇偶性可得 f( - 1) =- f(1) , g( - 1) = g(1) ,则

?-f(1)+g(1)=2, ? 联立解得 g(1)=3. ?f(1)+g(1)=4, (2)函数 f(x)=ln(e3x+1)+ax 为偶函数,故 f(-x)=f(x),即 ln(e-3x+1)-ax= 1+e3x 1+e3x 2ax ln(e +1)+ax,化简得 ln 3x 6x=2ax=ln e ,即 3x 6x=e2ax,整理得 e3x+1 e +e e +e
3x

3 =e2ax+3x(e3x+1),所以 2ax+3x=0,解得 a=-2. (3)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=x2+4x. 又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x(x<0),

?x -4x,x>0, ∴f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0.
①当 x>0 时,由 f(x)>x 得 x2-4x>x,解得 x>5; ②当 x=0 时,f(x)>x 无解; ③当 x<0 时,由 f(x)>x 得-x2-4x>x,解得-5<x<0. 综上得不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 【答案】 (1)B (2)- 3 2 (3)(-5,0)∪(5,+∞)

2

【点拨】 解题(1)的方法是根据函数的奇偶性列出关于 f(1)和 g(1)的方程组 求 g(1);题(2)是利用函数的奇偶性、对数函数、对数式与指数式的运算,结合方 程思想和转化思想求参数的值;解题(3)的关键是求出 f(x)的解析式,然后分段解 不等式. 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

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(1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利 用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由 系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 4.. (1)(2011· 湖北, 3)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x) =ex,则 g(x)=( A.ex-e-x ) 1 B.2(ex+e-x)

1 1 C.2(e-x-ex) D.2(ex-e-x) (2)(2011· 广东, 12)设函数 f(x)=x3cos x+1, 若 f(a)=11, 则 f(-a)=________. (1)【答案】 D x∈R 时,f(x)+g(x)=ex,①

用-x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)=e-x, 又 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 所以 f(x)-g(x)=e-x,② ex-e-x 由①②可解得 g(x)= 2 .故选 D. (2)【解析】 方法一:∵a3cos a+1=11,

∴a3cos a=10. ∴f(-a)=(-a)3cos(-a)+1 =-a3cosa+1=-10+1=-9. 方法二(换元法):令 φ(x)=x3cos x,很明显φ(x)是奇函数, ∴f(x)=φ(x)+1, ∴f(a)=φ(a)+1, ∴f(-a)=φ(-a)+1,
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∴f(a)+f(-a)=φ(a)+φ(-a)+2, ∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)+11=2,f(-a)=-9. 【答案】 -9

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