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2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第9单元第47讲 空间几何体的表面积和体积



会计算球、柱、锥台的表面积 和 体 积 ( 不 要 求 记 忆 公 式 ).

1 .棱 长 为 a的 正 方 体 的 外 接 球 的 体 积 为 ?   A. ? a 3 C. 2 3 4
3

?

B. ? a 6
3

1

3

>?a

D.

3 2

?a

3

解析: 正方体的对角线长 ? 外接球的直径, 即2R ? 3 a, 所 以 R ? 4 3 3 2 所以体积V ? a,
3

? ?(

3 2

a) ?

3 2

? a , 故 选 D.
3

  2 0 1 1 ? 温 州 第 一 次 适 应 性 测 试 )某 几 何 体 的 2 .( 三 视 图 如 图 所 示 , 均 是 直 角 边 长 为 1的 等 腰 直角三角形,则此几何体的体积是 A. C. 1 3 1 9 D. B. 1 6 1 12

?

?

解析: 根据所给三视图,可以判定几 何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥, 其体积为V ? 故 选 B. 1 3 ? 1 2 ?1? 1? 1 ? 1 6 ,

3下 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 根 据 图 中 数据,可得该几何体的表面积是 A .? 9 C .1 ? 1 B. ? 10 D .2 ? 1

?

?

解 析 : 该 几 何 体 是 由 一 个 半 径 为1, 高 为 3的 圆 柱 和 一 个 半 径 为1的 球 组 合 而 成 . 其 中 , S 圆 柱 ? 2 S 底 ? S 侧 ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ? 8? , S 球 ? 4? . 故 该 几 何 体 的 表 面 积 为1 2 ? .

4 .若 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 圆 心 角 为 1 2 0 ?, 半 径 为 l的 扇 形 , 则 这 个 圆 锥 的 表 面 积 是   .

解 析 : 设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r, 则 2 ? r ? 所以r ? l l
2

2? 3

l,

, S表 ? ? ? ( ) ? ? ? ? l ? l . 3 3 3 9
2

l

4?

5 .下 图 中 的 三 个 直 角 三 角 形 是 一 个 体 积 为 2 0 cm 的 几 何 体 的 三 视 图 , 则 h ?
3

cm .

解析: 由三视图可知, 几何体是一个三棱锥, 底面为两直角边分别为 5 cm 、 cm 的 直 角 三 角 形 , 6 则V ? 1 3 ? 1 2 ? 5 ? 6 ? h ? 2 0,

所 以 h ? 4 cm .

1. 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 的 侧 面 展 开 图 及 侧 面 积 公 式

2. 空 间 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 公 式
名称几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 表面积 S表面积=S侧+2S底 S表面积=S侧+S底 S表面积=S侧+S上+S下 体积 V=①________

V=②________

V=③__________



S=4?R2

V=④__________

3 .过 球 心 的 平 面 截 球 所 得 的 截 面 是 一 个 圆 , 称为球的大圆,不过球心的平面截球所得 的平面也是圆,称为球的小圆.球的小圆 圆心与球心连接的线段与小圆面垂直, 该 线 段 长 为 d , 与 小 圆 半 径 r、 球 半 径 R 之 间 满 足 ⑤ __________ .

【要点指南】 ① S 底 ? h; ② ③ ④ 1 3 4 3 1 3 S 底 h; S ? S );
2 2

h(S上 ? S下 ?
3 2

? R ;⑤R ? d ? r

题型一 空间几何体的表面积、体积

例 1 .(2 0 10 ? 安 徽 卷 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 , 该 几 何 体 的 表 面 积 是 (    ) A .7 2 3 C .9 2 2 B .6 0 3 D .80 2

分析: 解决空间几何体的三视图、面积和 体积计算问题的关键因素是“图”,根据 “ 图- ” 找 到 空 间 几 何 体 中 的 几 何 元 素 之 间 的 关系,想象出这个空间几何体的真实形状, 然后通过推理论证和相关的计算找到我们所 需要的几何体,根据相关公式进行计算.

解析: 该几何体的直观图如图所示, 则所求表面积为 S 表 ? 2 (1 0 ? 8 ? 1 0 ? 2 ? 8 ? 2 )
-

? 2 (6 ? 8 ? 8 ? 2 ) ? 3 6 0, 故 选 B.

评 析 :对 于 复 杂 的 空 间 几 何 体 的 组 合 体 的 表面积或体积都可以分开来考虑,将组合 体分解成若干部分,分别计算其表面积、 体积,然后根据组合体的结构,将整个 的体积、表面积转化为这些“部分体积” 或“部分表面积的和或差”.

素 材 1:2 0 1 0 ? 浙 江 卷 ) 若 某 几 何 体 的 三 视 图 ( ( 单 位 : cm ) 如 图 所 示 , 则 此 几 何 体 的 体 积 是  .

解析: 由三视图知该几何体为正四棱台 和长方体的组合体, 故 V ? V正 四 棱 台 ? V长 方 体 ? 1 3 ? 1 4 4 cm .
3

(1 6 ? 6 4 ?

16 ? 64 ) ? 3 ? 4 ? 4 ? 2

所 以 该 几 何 体 的 体 积 是 1 4 4 cm .

3

题型二

割补法与等积变换法

例 2 .如 图 所 示 , A B C D 是 边 长 为 3的 正 方 形 , E F // A B , E F ? 3 2 2, 则 该 多 面 体 的 体 积 为 (     ) A. 9 2 C. 6 D. 15 2 B. 5 , E F 与 面 A B C D的 距 离 为

分析:

将几何体
恰当分割

求分割后的 几何体体积

得答案

解 析 : 方 法 1: 可 利 用 排 除 法 来 解 决 , 棱 锥 E ? A B C D 的 体 积 V1 ? 1 3 ? 3 ? 2 ? 6,
2

而 此 多 面 体 的 体 积 V ? V1, 故 选 D .

解 析 : 方 法 2: 如 图 所 示 , 连 接 E B 、 E C . 四 棱 锥 E ? A B C D的 体 积 为 V E ? ABCD ? 1 3 ? 3 ? 2 ? 6.
2

由 于 A B ? 2 E F , E F // A B , 所 以 S ? EAB ? 2 S ? BEF . 所 以 V F ? BEC ? 1 2 VC ? EFB ? 1 2 VC ? ABE ? V E ? ABC ? 3 2 ? 15 2 3 2 . ,

所 以 V EF ? ABCD ? V E ? ABCD ? V F ? BEC ? 6 ?

解 析 : 方 法 3: 如 图 所 示 , 设 G 、 H 分 别 为 A B 、 C D 的 中 点 , 则 E G // F B , E H // F C , G H // B C , 得 三 棱 柱 E G H ? F B C, 得 V E ? AGHD ? ? 1 3 ? 3? 3 2 1 2 V E ?GBCH 1 3 S AGHD ? 2

? 2 ? 3.

V E G H ? F B C ? 3V B ? E G H ? 3 ? ? 3 2 V E ? AGHD ? 3 2 ?3? 9 2 .

所 以 V EF ? ABCD ? V E ? AGHD ? V EGH ? FBC ?

15 2

.

评 析 :解 决 不 规 则 几 何 体 的 问 题 应 注 意 应用以下方法: 1 ?几 何 体 的 “ 分 割 ” 依 据 已 知 几 何 体 的 特 征 , 将 其分割成若干个易于求体积的几何体,进而求解. 2 ?几 何 体 的 补 形 ” 有 时 为 了 计 算 方 便 , 可 将 几 何 体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等. 3 ?几 何 体 的 等 积 变 形 如 三 棱 锥 任 何 一 个 面 都 可 作 为底面.

素 材 2 .如 图 是 一 个 以 A1 B1 C 1为 底面的直三棱柱被一平面所 截得到的几何体, 截 面 为 A B C, 已 知 A1 B1 ? B1 C 1 ? 2, ? A1 B1 C 1 ? 9 0 ?, A A1 ? 4, B B1 ? 3, C C 1 ? 2, 求 该 几 何 体 的 体 积 及 截 面 A B C的 面 积 .

解 析 : 方 法 1: 过 C 作 平 行 于 A1 B1 C 1的 截 面 A 2 B 2 C , 交 A A1、 B B1 于 A 2 、 B 2 . 由 直 三 棱 柱 性 质 可 知 B 2 C ? 平 面 A B B 2 A 2, 则 V ? V 柱 A1 B1 C 1 ? A 2 B C ? A B B 2 A 2 ? 1 2 ?2?2?2 ? 1 3 ? 1 2

?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 6 .

解 析 : 方 法 2: 延 长 B B1、 C C 1 到 B 3、 C 3, 使 得 B 3 B1 ? C 3 C 1 ? A A1 . 则 V ? V柱 A B C
1 1 1?

A B3C 3

? V锥 A? BB C
3

3C

?

1 2

? 2? 2? 4 ?

1 3

?

1 2

?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 6 .
2 ? ? 4 ? 3? ?
2 2

在 ? A B C中 , A B ? BC ? AC ?
2 2

5,

2 ? ?3 ? 2 ? ?
2

5,
2

? 2 2 ? ? ? 4 ? 2 ? ? 2. 1 2 ?2 3? ? 5? ? ? 3? ?
2 2

则 S ?ABC ?

6.

评 析 :处 理 不 规 则 几 何 体 的 体 积 时 , 或将其分割成柱、锥、台或将其补 体为柱、锥、台,然后计算其体积.

题型三

有关组合体问题

例 3 .有 一 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 径 为 6? 5 内 接 一 个 高 为 x的 圆 柱 . , 圆 心 角 为 ?的 扇 形 , 在 这 个 圆 锥 中

?1 ? 求 圆 锥 的 体 积 ; ? 2 ? 当 x为 何 值 时 , 圆 柱 的 侧 面 积 最 大 ?

分析: 由圆锥的侧面展开图,圆心角与半径的 关系可求圆锥的母线长,底面半径和高.内接圆 柱 的 侧 面 积 是 高 x的 函 数 , 再 用 代 数 方 法 求 最 值 .

解析:

? 1 ? 因 为 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 半 径 为 5,
6? 5 1 3

所 以 圆 锥 的 母 线 长 为 5 .设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r, 则 2? r ? 5 ? 故体积V ? , 所 以 r ? 3, 则 圆 锥 的 高 为 4,
2

? r ? 4 ? 1 2? .

解析:

?2?右 图 为 轴 截 面 图 ,

这个图为等腰三角形中内接一 个 矩 形 . 设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 y, 则 3? y 3 ? x 4 ,得y ? 3? 3 4 3 4 ? x) x x.

圆 柱 的 侧 面 积 S ? x ? ? 2 ? (3 ? ? 3 2

? ?4x ? x

2

?

?

3 2

2 ? ?4 ? ? x ? 2? ?

?

(0< x< 4 ). 当 x ? 2时 , S ? x ? 有 最 大 值 6 ? . 所 以 当 圆 柱 的 高 为 2时 , 有 最 大 侧 面 积 6 ? .

评 析 :旋 转 体 的 接 、 切 问 题 常 考 虑 其相应轴截面内的接、切情况,实 际是把空间图形平面化.

素 材 3 .如 图 , 在 等 腰 梯 形 A B C D 中 , A B ? 2 D C ? 2, ? D A B ? 6 0 ?, E 为 A B 的 中 点 . 将 ? A D E 与 ? B E C 分 别 沿 E D、 E C 向 上 折 起 , 使 A、 B 重 合 于 点 P, 则 三 棱 锥 P ? D C E 的外接球的体积为? A. 4 3? 27 C. 6? 8 D. B. 6? 2 6? 24

?

解析: 由已知条件知,平面图形中 A E ? E B ? B C ? C D ? D A ? D E ? E C ? 1, 所以折叠后得到一个正四面体. 方 法 1: 作 A F ? 平 面 D E C , 垂 足 为 F, F 即 为 ? D E C的 中 心 . 取 E C的 中 点 G, 连 接 D G、 A G, 过 球 心 O 作 O H ? 平 面 A E C , 则 垂 足 H 为 ? A E C的 中 心 ,

解 析 : 所 以 外 接 球 半 径 可 利 用 ? O H A∽ ? G F A 求 得 . 因 为 AG ? 3 2 , AF ? 1? ? 3 3 AG ? AH AF ? ?
2

6 3 3

, 3 3 ? 6 6 4 .

AH ?

3 3

?

, 所 以 OA ?

?

2 3

所以外接球体积为

4 3

? ?OA ?
3

4 3

? ?(

6 4

) ?
3

6 8

?.

解 析 : 方 法 2: 如 图 , 把 正 四面体放在正方体中,显然, 正四面体的外接球就是正方 体的外接球. 因为正方体棱长为 2R ? 3? 2 2 所以体积为 4 3 2 2 ,所以R ? 6 4 , 6 8 ,所以外接球直径

? ?(

6 4

) ?
3

? .故 选 C .

备选例题

( 2 0 1 0 ? 上 海 八 校 联 考 )已 知 一 个 球

的 球 心 O 到 过 球 面 上 A、 B 、 C 三 点 的 截 面 的 距 离 等 于 此 球 半 径 的 一 半 , 若 A B ? B C ? C A ? 3, 则 球 的 体 积 为 __________ .

解 析 : 如 图 , 可 得 O ? ABC为 正 三 棱 锥 , O A ? O B ? O C ? R, O O 1 ? A B ? B C ? C A ? 3, 所 以 O1 A ? 3. R 2 ,

在 R t ? O O 1 A中 , O1 A ? O O ? O A ,
2 2

即3 ?

R

2

? R , 所 以 R ? 2, V ?
2

4 3

?R ?
3

3 2? 3

.

4

1. 对 于 基 本 概 念 和 能 用 公 式 直 接 求 出 棱 柱 、 棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合 它们的结构特点与平面几何知识来解决. 2. 要 注 意 将 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 . 3. 当 给 出 的 几 何 体 比 较 复 杂 , 有 关 的 计 算 公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂, 但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采 用 “ 割 ” 、补 ”的 技 巧 , 化 复 杂 几 何 体 为 简 “ 单 几 何 体 ( 柱 、 锥 、 台 ), 或 化 离 散 为 集 中 , 给解题提供便利.

?1 ? 几 何 体 的 “ 分 割 ”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求, 分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.

?2?几 何 体 的

补形 与分割一样,有时为了计算方

便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方 体、正方体等,另外补台成锥是常见的解决台体 侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们在有 些情况下,可以将台体补成锥体研究体积.

?3?有 关 柱 、 锥 、 台 、 球 的 面 积 和 体 积 的 计 算 , 应
以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角形、 直角梯形求有关的几何元素.

设 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ( 尺 寸 的 长 度 单 位 为 m ), 则 该 几 何 体 的 体 积 为 __________ m .
3

错 解 : 该 几 何 体 为 三 棱 锥 , 底 面 是 腰 为 4, 底 为 3的 等 腰 三 角 形 , 高 为 2 . 所以V ? 1 3 ?2? 1 2 ? 3? 55 2 ? 55 2

?m

3

?.

错解分析: 把正视图看成三棱锥的一个面造成 误解.三视图中的每一个视图都是整个几何体 在某一屏幕上的投影,不一定是某个面留下的 投影.这类问题不能孤立的分析某一视图.

正解: 由三视图可知原几何体是一个三棱锥, 由“长对正,宽相等,高齐平”的原则可知 三 棱 锥 的 高 为 2, 底 面 三 角 形 的 底 边 长 为 4, 高 为 3, 则 所 求 棱 锥 的 体 积 为 V ? 1 3 ? 1 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? 4.



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