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三角函数的诱导公式公开课


1.3

三角函数的诱导公式 第一课时

复习

1.任意角α 的正弦、余弦、正切的定义

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

y

P(x,y)

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角函数 之间的关系是什么?
公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?

应用:你能求sin750°和sin(-690°) sin585°的值吗?

反思:利用公式一,可将 任意角的三角函数值,转化 为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以 查表计算,而对于900~3600 范围内的三角函数值,如何 转化为锐角的三角函数值, 是我们需要研究和解决的问 题.

1.3

三角函数的诱导公式

问题一

如图角α的终边与单位圆交于点P,用三 角函数的定义 求角π+α的正弦函数值?
y
P(-0.6, 0.8)

α
O

x

探究一:对于任意给定的一个角α ,角 π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

π+α 的终边

设角α 的终边与单位圆交于点P(x, y),则角π +α 的终边与单位圆的交点 坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边

sin(π +α )=-y cos(π +α )=-x
y tan(π +α )= x x
Q(-x,-y) π+α 的终边

P(x,y)
o

对比sinα ,cosα ,tanα 的值,π + α 的三角函数与α 的三角函数有什么关 sin( π + α )=-y 系? sin ? ? y cos(π +α )=-x

tan ? ?

cos? ? y x
x

( x ? 0)

y tan(π +α )= x

公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? tan ?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ?

自主探究(二):-α ,π -α 的诱导公式:

思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何?
y α 的终边

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

思考3:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边

y

P(x,y)
o

P(x, -y)
-α 的终边

x

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式三:

思考4:利用π -α =π +(-α ),结 合公式二、三,你能得到什么结论?
sin( ? ? ? ) ? sin ?

公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考5:如何根据三角函数定义推导公式 四?
α 的终边 y

π -α 的终边 P(-x,y)
x

P(x,y)
o

-α 的终边

公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

公式二:
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

tan( ? ? ? ) ? tan ? ( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?

公式三:
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式四:
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗

小结:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π + α ,-α ,π-α的三角函数与α的三角 函数之间的关系
2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数 值,前面加上一个把α看成锐角时原函 数值的符号.

及时巩固

例1 求下列三角函数值:
(1)cos225
?

11? (2)sin 3
(4)cos(-2040 )
?

16? (3)sin() 3

例2 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?

总结.利用诱导公式一~四,可以求 任意角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数
负化正

任意正角的 三角函数
大 化 小

锐角的三角 函数

化到锐

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

谢谢大家


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