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2013届上海市五校联合教学调研数学试卷(理)



2013 届上海市五校联合教学调研数学试卷(理)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 )
解 19 题 12 分 20 题 14 分

座位号
答 题 总分 21 题 14 分 22 题 16 分 23 题 18 分 150 分

考场号

题号
应得分 实得分


填空题 1~14 56 分

选择题 14~18 20 分

一、填空题(56 分)

考试学号

1. 函数 y ?

4 ? x2 的定义域为 x ?1

.

2.若 ? 为第二象限的角, sin ? ?

3 ,则 cot 2? ? 5

.

班级学号

3.若 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 4. 函数 y ? x ? 4x, ? x ? ?2? 的反函数为
2

S6 ? S3



.

5.已知方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 (a ? R) 有实数根 b ,则复数 a ? bi ? ______. 6. 已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1, 则

1 1 ? 的最小值为 x y

.

7.已知条件“ p : x ? 1 ? 2 ” ;条件“ q : x ? a ” p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 ,

姓名

取值范围是
x 9



8.若 (1 ? 2 ) 展开式的第 3 项为 288 ,则 lim?

1 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ________. n ?? x x x ? ?
??? ???? ?

9. 在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________.

班级

2 10. 函 数 f ? x ? ? log 0.3 x ? ax ? a 在 ??,1 ? 3 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?

? ?

?



.

11.若关于 x 的不等式

1 ? 2 1? lg ?1 ? x 2 ? ? lg ? ax ? b ? ? 0 的解集为 ? ? , ? , 则满足条件的所有 2 ? 3 2?
对.
A F E D B C

学校

实数对 ? a, b ? 共有

12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一 块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同

的植物可供选择,则有

种栽种方案. .

13. 函数 y ? 2 3x ? 2 ? 5 ? 6 x 的值域为

14.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f ? 0? ? 2012 ,且对任意 x ? R ,满足

f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 3? 2x , f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 63? 2x , 则 f ? 2012? =
二、选择题(20 分) 15.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

.

?
2

)的图象如下图所示,为了 )

得到 g ( x) ? cos 2 x 的图像,则只要将 f ( x ) 的图像 ????????? ( (A)向右平移

? ? 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 6 12 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 6 12
y 1

O

x

(15 题图) 16. 如上图, 已知函数 f ( x ) ?

(16 题图 )

ax ? b 的图像关于 y 轴对称, a, b, c 满足???? ( 则 x2 ? c
C. b ? a ? c D. b ? c ? a



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

17.删去正整数数列 1, 2,3,??, 中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2012 项是 A.2055 ???????????????????????????( B.2056
2 2 2



C.2057
2 2 2

D.2058

18. 设 a, b, c, x, y, z, 是正数,且 a ? b ? c ? 10, x ? y ? z ? 40, ax ? by ? cz ? 20, 则

a?b?c ? x? y?z
1 4
B.

?????????????????????????(



A.

1 3

C.

1 2

D,

3 4

三、解答题 19.(本题满分 12 分)

在?ABC 中, A ? B ? C,且 A ? 2C,b ? 4,a 2 ? c 2 ?

64 ,求 a、c的值. 5

20.(本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 y ?

f ( x) 在 I 上是减函数,则称 x b b “弱增函数” .已知 f ( x) ? x2 ? (cot ? ?1) x ? b ( ?、 是常数, ? 0 ). y ? f ( x) 在 I 上是

(1)若 f ( x ) 是偶函数,求 ? 、b 应满足的条件; (2)当 cot ? ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是否是“弱增函数” ,请说明理由. 1]

21.(本小题满分 14 分) 某西部小城 2011 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量 的 6% , 并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境, 要求该城市汽车保有量不超过 60 万 量,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

22. (本题满分 16 分,第⑴小题 10 分,第⑵小题 6 分) ⑴ 已 知 集 合 P ? ?x |

? ?

1 ? ? x ? 2 ? , 函 数 f ? x ? ? log 2 ? ax 2 ? 2 x ? 2 ? 的 定 义 域 为 Q, 若 2 ?

P ? Q, 求实数 a 的取值范围;
⑵ 已 知 集 合 P ? ?x |

? ?

1 ? ? x ? 2 ? , 函 数 f ? x ? ? log 2 ? ax 2 ? 2 x ? 2 ? 的 定 义 域 为 Q, 若 2 ?

P ? Q ? ?, 求实数 a 的取值范围.

23.(本题满分 18 分,第⑴小题 4 分,第⑵小题 8 分,第⑶小题 6 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q, ? n ? N*, p ? 0? . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数

m , bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.
(Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由.

2013 届上海市五校联合教学调研数学试卷(理)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 )
解 19 题 12 分 20 题 14 分 答 题 总分 21 题 14 分 22 题 16 分 23 题 18 分 150 分

座位号

考场号

题号
应得分 实得分

填空题 1~14 56 分

选择题 15~18 20 分

说明:本卷为答题纸,填空题和选择题的解答请填在与题号对应的空格中,每道解答题都 有规定的方框,所有该题的解答过程必须写在方框内,框外部分一律不给予评分.

考试学号

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分.)

1. 4.

; 2. ; 5. ; 8. ; 11. ; 14.

; 3. ; 6. ; 9. ; 12. .

; ; ; ;

班级学号

7. 10. 13.

二、选择题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 题号 答案

15

16

17

18

姓名

三、解答题: 19.(本题 12 分)

学校

班级

20.(本题 14 分)

21.(本题 14 分)

22. (本题 16 分)

23.(本题 18 分)

装 订 线 外 请 不 要 答 题

2013 届上海市五校联合教学调研数学试卷答案
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 )
解 19 题 12 分 20 题 14 分

座位号
答 题 总分 21 题 14 分 22 题 16 分 23 题 18 分 150 分

考场号

题号
应得分 实得分

填空题 1~14 56 分

选择题 14~18 20 分

一、填空题(56 分)

考试学号

1. 函数 y ?

4 ? x2 的定义域为 x ?1

. [?2,1) ? (1, 2]

2.若 ? 为第二象限的角, sin ? ?

3 ,则 cot 2? ? 5

. ?

7 24
. ?7

班级学号

3.若 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 4. 函数 y ? x ? 4x, ? x ? ?2? 的反函数为
2

S6 ? S3

. y ? 2 ? x ? 4, ? x ? 12 ?

2 5.已知方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 (a ? R) 有实数根 b ,则复数 a ? bi ? ______. 2 ? 2i

6. 已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1, 则

1 1 ? 的最小值为 x y

. 3? 2 2

7. 已知条件“ p : x ? 1 ? 2 ” ;条件“ q : x ? a ” p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 ,

姓名

取值范围是
x 9

. ?1, ?? ?

8.若 (1 ? 2 ) 展开式的第 3 项为 288 ,则 lim?
n ??

1 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ________.2 x ? ?x x
??? ???? ?

9.(理)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________.-16

班级

2 10. (理)函数 f ? x ? ? log 0.3 x ? ax ? a 在 ??,1 ? 3 上单调递增,则实数 a 的取值范

?

? ?

?

围为

.2?2 3 ? a ? 2

11. (理) 若关于 x 的不等式 所有实数对 ? a, b ? 共有

1 ? 2 1? lg ?1 ? x 2 ? ? lg ? ax ? b ? ? 0 的解集为 ? ? , ? , 则满足条件的 2 ? 3 2?
对. 3

12.(理)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同 一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的 植物可供选择,则有 种栽种方案.732
A F E D B C

13. (理)函数 y ? 2 3x ? 2 ? 5 ? 6 x 的值域为

.

y ? ?3,3 3 ? ? ?
14 . 理 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 若 f (0) ? 2012 , 且 对 任 意 x ? R , 满 足 (

f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 3? 2x , f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 63? 2x , 则 f ? 2012? =
22012 ? 2011 二、选择题(20 分)
15 . 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( 其中 A ? 0,| ? |?

.

?
2

) 的 图象 如 下图 所示 ,为 了得到 ( )D

g ( x) ? cos 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像
(A)向右平移

? ? 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 6 12 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 6 12
y 1

O

x

(15 题图) 16. 如上图,已知函数 f ( x ) ?

(16 题图 )

ax ? b 的图像关于 y 轴对称,则 a, b, c 满足 ( x2 ? c
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

)D

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

17.删去正整数数列 1, 2,3,??, 中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2012 项是( )C A.2055 B.2056 C.2057 D.2058 18.(理) a, b, c, x, y, z, 是正数, a2 ? b2 ? c2 ? 10, x2 ? y 2 ? z 2 ? 40, ax ? by ? cz ? 20, 设 且 则

a?b?c ? x? y?z
1 4
B.

????????????????????????? (

)C

A.

1 3

C.

1 2

D,

3 4

(文) a, b, x, y, 是正数, a2 ? b2 ? 10, x2 ? y 2 ? 40, ax ? by ? 20, 则 设 且

a?b ( ? C ) x? y

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D,

3 4

三、解答题 19.(本题满分 12 分)

在?ABC 中, A ? B ? C,且 A ? 2C,b ? 4,a 2 ? c 2 ?
2 2 解: ? A ? 2C,b ? 4,a ? c ?

64 ,求 a、c的值. 5

64 , 5
.???????3 分

?

a c a c a ? , ? ,cos C ? 2 sin A sin C 2 sin C cos C sin C c

又 cosC ?

36 36 64 2 a2 ? b2 ? c2 c , c ? c2 ? , ?a ? , 5 5 5 2ab

解得 c

?

16 或c ? 4 .???????6 分 5
16 (c ? 4舍去). ??????9 分 5

由 A ? B ? C,知 a ? b ? c,于是, c ?
2 2 ∴a ? c ?

24 64 ,a ? . ???????????????11 分 5 5 24 16 所以 a ? 、c ? .?????????????????12 分 5 5

20.(本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 y ?

f ( x) 在 I 上是减函数,则称 x 2 b b “弱增函数” .已知 f ( x) ? x ? (cot ? ?1) x ? b ( ?、 是常数, ? 0 ). y ? f ( x) 在 I 上是

(1)若 f ( x ) 是偶函数,求 ? 、b 应满足的条件; (2)当 cot ? ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是否是“弱增函数” ,请说明理由. 1]

解:(1)若 f ( x ) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,?????2 分 即 x2 ? (cot ? ?1) x ? b ? x2 ? (cot ? ? 1) x ? b 对任意 x ? R 恒成立,

, ∴ cot ? ? 1 b ? 0 ,?????4 分
∴若 f ( x ) 是偶函数,则 ? ? k? ?

?
4

(k ? Z ),b ? 0 ,?????6 分

(2)当 cot ? ? 1 时, f ( x) ? x2 ? (cot ? ?1) x ? b 的对称轴是 x ? ? ∴ f ( x ) 在 (0, 上是增函数 ?????8 分 1]

cot ? ? 1 ?0 2

f ( x) b ? x ? ? (cot ? ? 1) , x x ①当 b ? 1 ,即 b ? 1 时,设 0 ? x1 ? x2 ? 1, ( x ? x )( x x ? b) b b 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ x1 ? ? (cot ? ? 1)] ? [ x2 ? ? (cot ? ? 1)] ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2
考察函数 g ( x) ? ∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1 ? b ,

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? b) ?0 x1 x2 即 g ( x) 在 (0, 上单调递减, f ( x ) 在 (0, 上是“弱增函数” ;?????12 分 1] 1]
∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 当 0 ? b ? 1 ,即 0 ? b ? 1 时, g (b) ? g (1) ? 1 ? b ? (cot ? ? 1) , 即 g ( x) 在 (0, 上不是单调函数,∴ f ( x ) 在 (0, 上不是“弱增函数”. ???13 分 1] 1] 综上所述, b ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是“弱增函数” ; 1]

0 ? b ? 1 时, f ( x) 在 (0,1] 上不是“弱增函数”?????14 分
21.(本小题满分 14 分) 某西部小城 2011 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的

6 % ,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万
量,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解: 2011 年末汽车保有量为 b1 万辆, 设 以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆, ?, 每年新增汽车 x 万辆,则 b1 ? 30, b2 ? b1 ? 0.94 ? x, ?????2 分 对于 n ? 1, 有 bn?1 ? bn ? 0.94 ? x

? bn?1 ? 0.942 ? ?1 ? 0.94? x,
??

? bn ?1 ? b1 ? 0.94n ? x ?1 ? 0.94 ? 0.942 ? ? ? 0.94n ?1 ?

? b1 ? 0.94n ?
?
当 30 ?

1 ? 0.94n x 0.06

x x ? ? n ? ? 30 ? ? ? 0.94 ?????6 分 0.06 ? 0.06 ?

x ? 0, 即 x ? 1.8 时, bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ?????8 分 0.06 x ? 0, 即 x ? 1.8 时, 当 30 ? 0.06

? x x ? x ? n ?1 ? lim bn ? lim ? ? ? 30 ? , ?????10 分 ? ? 0.94 ? ? n?? n?? 0.06 0.06 ? ? ? ? 0.06
并且数列 ?bn ? 逐项增加,可以任意靠近

x . ?????12 分 0.06

因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn ? 60, n ? N *, 则

x ? 60, 即 x ? 3.6 (万辆) 0.06

综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. ?????14 分

22. (本题满分 16 分,第⑴小题 10 分,第⑵小题 6 分) (理)⑴已知集合 P ? ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2 ? , 函数 f ? x ? ? log 2 ? ax 2 ? 2 x ? 2 ? 的定义域为 Q, 若 2 ?

P ? Q, 求实数 a 的取值范围;
⑵ 已 知 集 合 P ? ?x |

? ?

1 ? ? x ? 2 ? , 函 数 f ? x ? ? log 2 ? ax 2 ? 2 x ? 2 ? 的 定 义 域 为 Q, 若 2 ?

P ? Q ? ?, 求实数 a 的取值范围;
2 解:⑴由已知 Q ? x | ax ? 2 x ? 2 ? 0 ,

?

?

2 若 P ? Q, ,则说明不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? ? , 2 ? 上恒成立,?????2 分 2

?1 ?

? ?

即不等式 a ? 令u ?

2 2 ?1 ? ? 2 在 x ? ? , 2 ? 上恒成立,?????4 分 x x ?2 ?

2 2 ? , 则只需 a ? umax 即可。?????6 分 x x2

又u ?

2 2 ?1 1? 1 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? . x x ? x 2? 2
?1 ? 1 ?1 ? ? 1? 1

2

当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , 从而 u ? ? ?4, ? , umax ? , ?????8 分 x ?2 ? 2? 2 ?2 ? ?

1 ? a ? . ?????10 分 2
⑵若 P ? Q ? ?, 则说明在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使不等式 ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0 成立,?????12 分 2 即在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使 a ? ? 2 成立,即只需 a ? umin 即可。???14 分 x x ?2 ? 由⑴知, umin ? ?4, ? a ? ?4. ?????16 分 22. (本题满分 16 分,第⑴小题 10 分,第⑵小题 6 分) (文)⑴已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? 3, 当 x?? ?2, 2? 时, f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的
2

?1 ? ?

? ?

?1

2

2

取值范围. ⑵已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? 3, 当至少有一个 x?? ?2, 2? 时, f ? x ? ? m 成立, 使 求实数 m
2

的取值范围. 解:⑴设 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最小值为 g ? m? , 则满足 g ? m? ? m 的 m 即为所求。?????2 分 配方得 f ? x ? ? ? x ?

? ?

m? m2 , ? x ? 2? . ? ? 3? 2? 4

2

①当 ?2 ? ?

m2 m ? 2, 即 ?4 ? m ? 4 时, g ? m ? ? 3 ? , 2 4

由3?

m2 ? m, 解得 ?6 ? m ? 2, 所以 ?4 ? m ? 2. ?????4 分 4
m ? 2, 即 m ? ?4 时, g ? m? ? f ? 2? ? 7 ? 2m, 2

②当 ?

由 7 ? 2m ? m, 解得 m ? ?7, 所以 ?7 ? m ? ?4. ?????6 分

m ? ?2, 即 m ? 4 时, g ? m? ? f ? ?2? ? 7 ? 2m, 2 7 由 7 ? 2m ? m, 解得 m ? , 此与 m ? 4 矛盾,故此种情况不存在。?????8 分 3
③ 当? 综上所述,得 ?7 ? m ? 2. ?????10 分 ⑵设 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最大值为 h ? m ? , 则满足 h ? m? ? m 的 m 即为所求。?????12 分 配方得 f ? x ? ? ? x ? ①当 ?

? ?

m? m2 , ? x ? 2? . ? ? 3? 2? 4

2

m ? 0, 即 m ? 0 时, h ? m? ? f ? 2? ? 7 ? 2m, 2

由 7 ? 2m ? m, 解得 m ? ?7, 所以 m ? 0. ?????14 分

m ? 0, 即 m ? 0 时, h ? m? ? f ? ?2? ? 7 ? 2m, 2 7 由 7 ? 2m ? m, 解得 m ? , 所以 m ? 0. ?????15 分 3 综上所述, m 的取值范围为 R. ?????16 分
②当 ? 23.(本题满分 18 分,第⑴小题 4 分,第⑵小题 8 分,第⑶小题 6 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m,

bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.
(Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ) (理)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 m 项和公式; (文)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ) (理) 是否存在 p 和 q, 使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在, p 和 q 的取值范围; 求 如果不存在,请说明理由. (文)若 p ?

1 , 是否存在 q, 使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 q 的取值范围;如 3
1 1 20 1 1 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? .?????2 分 2 3 3 2 3

果不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 .?????4 分 2 3

(Ⅱ) (理)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

* 根据 bm 的定义可知:当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;?????6 分 * 当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .?????8 分

?

?

?

?

当 m 为偶数时,设 m ? 2t ?t ? N *? ∴ Sm ? b1 ? b2 ??? b2t ? ?b1 ? b3 ? ?? b2t ?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2t ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? t ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? t ? 1? ? ? ?

?

t ? t ? 1? t ? t ? 3? 2 ? ? t ? 2t 2 2 m2 ?m 4
?????10 分
2

?

当 m 为奇数时,Sm ? Sm?1 ? bm

? m ?1? ?
4

? ? m ? 1? ?

m ? 1 m2 1 ? ? m ? ?????12 分 2 4 4

? m2 ? 4 ?m ? ? Sm ? ? 2 ?m ? m ? 1 ? 4 ? 4

m ? 2k k?N* m ? 2k ? 1
m?q . p

(Ⅲ) (理)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ? ∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,?????14 分 p

即 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. ?????15 分 当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾!?????16 分 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

… … … … … … … … … 密 封 线 … … … … … … … … … …

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? .?????18 分 3 3 3

(Ⅱ) (文)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

* 根据 bm 的定义可知:当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;?????6 分 * 当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .?????8 分

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m2 ? 2m .?????12 分 2 2
1 n?q ? m
,得 n ? 3 ? m ? q ? ????14 分

(Ⅲ) (文)假设存在 q 满足条件,由不等式 3

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ?1 ? 3? m ? q ? ? 3m ? 2, ?????16 分
解得 ?

2 1 ? q ? ? .?????18 分 3 3 2 1 ?q?? . 3 3
w

∴ 存在 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;q 的取值范围是 ?



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