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高中数学课件 3.4基本不等式(1)


a ? b ? ab 2

(a ? 0, b ? 0)

1.预备定理:若a,b∈R,则a + b ≥2ab (当且仅当a = b时,等号成立)
a+b 2.平均值定理:若a,b∈R ,则 ≥ ab 2 (当且仅当a = b时,等号成立)
+

2

2

3. 注意:两个不等式的适用范围不同;

1 问题:a > 0,当a取什么值,a + 的值 a 最小?最小值是多少?
a?b ? ? ab (a, b ? R ) 求最值时, 应用 2 注意验证:一正 、二定 、三相等

例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元,池壁每1m2的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少元?

练习:

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池(平面图如上图)。如果池四 周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造 单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水 池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池的 长和宽,使总造价最低,并求出最底造价。 分析:设污水处理池的长为 x m,总造价为y元, (1)建立 x 的函数 y ;
(2)求y的最值.

解答
解: 设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元,则 y=400· (2x+200/x×2)+248· (2×200/x)+80×200 =800x+259200/x+16000.

259200 ? 16000 ≥ 2 800x ? x
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时,取等号。 答:池长18m,宽100/9 m时, 造价最低为30400元。

练习:

1 1、若x ? 3,函数y ? x ? ,当x为何值时, x ?3
函数有最值,并求其最值。

2、求证:在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是
d2 正方形,这个正方形的面积等于 . 2

a ? b ? 2ab(a, b ? R)
2 2

a?b ? ? ab (a, b ? R ) 2
课后练习:课本P114 习题 3.4 A组 3、4


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