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非课改区2010届高三上学期第二次检测(数学理)



黄金试题

高三上学期数学理科测试(2)
[原人教版 命题范围— 函 数 原人教版] 命题范围— 原人教版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分;答题时间 150 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1.若函数 y = f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) = A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是 x ?1
D. (0,1)





C. [0,1) U (1, 4]
0.3

2.设 a = log 1 2, b = log 1 3, c = ( )
3 2

1 2

,则 C.b<c<a D.b<a<c





A.a<b<c

B.a<c<b

3.设 a 为非零实数,函数 y =
[来源:学科网][来源:学#科#网]

1 ? ax 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ? )的反函数是 1 + ax a
B. y = D. y =





A. y = C. y =

1 ? ax 1 ( x ∈ R , 且x ≠ ? ) 1 + ax a

1 + ax 1 ( x ∈ R , 且x ≠ ? ) 1 ? ax a

1+ x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) a (1 ? x)

1? x ( x ∈ R, 且x ≠ ?1) a (1 + x)

4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车 、乙车的 速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定 正确的 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D. t0 时刻后,乙车在甲车前面 5.函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则
[来源:Zxxk.Com]









A. f ( x) 是偶函数

B. f ( x) 是奇函数
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C. f ( x ) = f ( x + 2) 6.函数 y = y 1 O1 x O 1 x O D. f ( x + 3) 是奇函数

e x + e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

( y



1 O 1 x

1

1 1 x

D

2? x 的图像 7.函数 y = log 2 2+ x
A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

A

B

C ( B.关于主线 y = ? x 对称 D.关于直线 y = x 对称
y



8.如图所示,一质点 P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿 曲线运动,速度大小不 变,其在 x 轴上的投 影点 Q ( x, 0) 的运 动速度 V = V (t ) 的图象大 致为 ( )

P ( x, y )

O

Q( x, 0)

x

V(t)

V(t)

V(t)

V(t)

O O
A

t

O

t O

t

t
B
C D

9 .已知 函数 f ( x ) 是 定义在实数 集 R 上的不 恒为零 的偶函 数,且对 任意实 数 x 都有

5 xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是 2 1 A.0 B. C.1 2

( D.



5 2

10.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则





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A. f ( ?25) < f (11) < f (80) C. f (11) < f (80) < f ( ?25) B. f (80) < f (11) < f ( ?25) D. f ( ?25) < f (80) < f (11)

1 11.设集合 M = { ,2,3,4,5,6}, S1 , S 2 , L , S k 都是 M 的含有两个元素的子集,且满足:对
任 意 的 S i = {ai , bi } 、 S j = a j , b j

{

}

( i ≠ j , i, j ∈ { ,2,3, L , k } ) 都 有 1

?a j bj ? ?a b ? ? ? ,则 min ? i , i ? ≠ min ? , ? , ( min{x, y} 表示两个数 x, y 中的较小者) k 的 最 ?bj a j ? ? bi a i ? ? ?
大值是 A.10 12.设函数 f ( x ) = B.11 C.12 D.13 ( )

ax 2 + bx + c (a < 0) 的定义域为 D ,若所有点 ( s, f (t ))( s, t ∈ D ) 构成
( C. ?8 D.不能确定 )

一个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 B. ?4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分 )

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) . 13.方程 2
?x

+ x 2 = 3 的实数解的个数为

. .

14.若 f ( x ) =

1 + a 是奇函数,则 a = 2 ?1
x

15.已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) ,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) , 且在区间[0,2]上是增函数,若 方 程 f ( x ) =m ( m>0 ) 在 区 间 [? 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 + x2 + x3 + x4 = _________.
16.设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V → V , a ∈ V ,记 a 的象为

f (a ) . 若 映 射 f : V → V 满 足 : 对 所 有 a、b ∈ V 及 任 意 实 数 λ , ? 都 有 f (λ a + ? b) = λ f (a ) + ? f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换.现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ∈ V ,则 f ( a + b) = f (a ) + f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ∈ V , 设f ( a ) = a + e ,则 f 是平面 M 上的线性变
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换; ③对 a ∈ V , 设f ( a ) = ? a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ∈ V ,则对任意实数 k 均有 f ( ka ) = kf ( a ) . 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号) 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分) . 17. (12 分) 已知函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象关于原点对称,且 f ( x ) = x 2 + 2 x . (1)求函数 g ( x ) 的解析式; (2)解不等式 g ( x ) ≥ f ( x ) ? x ? 1 ;

[来源:学科 网 ZXXK]

[来源:学科网]

[来源:学科网]

18. (12 分)某蔬菜基地种植番茄,由历年市场行情得 知,从二月一日起的 300 天内,番茄 市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;番茄的种植成本与上市时间的 关系用图(2)的抛物线表示.

(1)写出图 1 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ;图 2 表示的种植成本与时 间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的番茄纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位: 元/102 ,kg,时间单位:天)

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[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

19. (12 分)设函数 f ( x )在 ( ?∞ ,+∞ ) 上满足 f ( 2 ? x ) = f ( 2 + x ), f (7 ? x ) = f (7 + x ) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) = f (3) = 0.
[来源:Z|xx|k.Com]

(1)试判断函数 y = f (x ) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x ) = 0 在闭区间[-2005,200 5]上的根的个数,并证明你的结论.

20. (12 分)已知函数 f ( x ) = x +
2

a ( x ≠ 0, a ∈ R ) x

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围.
[来源:学科网 ZXXK]

21. (12 分) 对于在 [m, 上有意义的两个函数 f x) g n] ( 与 (x) 如果对于任意的 x ∈ [m, n ] , ,
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均有 | f ( x ) ? g ( x ) |≤ 1 ,则称 f(x)与 g(x)在[m,n]上是接近的,否则称 f(x)与 g ( x ) 在 [ m , n ] 上 是 非 接 近 的 . 现 有 两 个 函 数 f ( x) = log a ( x ? 3a ) 与

g ( x) = log a

1 (a > 0, a ≠ 1) ,给定区间[a+2,a+3] . x?a

(1)若 f(x) 与 g(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求 a 的范围; (2)判断 f(x)与 g(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否接近?

22. (14 分)对于函数 f(x) ,若存在 x0 ∈ R ,使得 f ( x0 ) = x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不 动点,已知函数 f ( x ) = ax 2 + (b + 1) x + (b ? 1)( a ≠ 0). (1)当 a = 1, b = ?2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;
[来源:学+科+网 Z+ X+X+K]

(3)在(2)条件下,若 y = f ( x) 图象上的 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点, 且 A、B 两点关于直线 y = kx +

1 2a 2 + 1

对称,求 b 的最小值.

[来源:学科网]

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[来源:Z*xx*k.Com]

参考答案
一、选择题: 1.B; 2.B;由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a < 0,0 < c < 1 ,而 b = log 2 3 > 1 . 3.D;由原函数是 y =

1 ? ax 1 1? y ( x ∈ R, 且x ≠ ? ) ,从中解得 x = ( y ∈ R, 且y ≠ ?1) 1 + ax a a (1 + y )

即原函数的反函数是 x =

1? y ( y ∈ R, 且y ≠ ?1) . a (1 + y )

4.A; 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t0 、t1 时 刻,甲车均在乙车前面. 5. Q f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, f ( ? x + 1) = ? f ( x + 1), f ( ? x ? 1) = ? f ( x ? 1) , D; ∴

∴ 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (?1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T = 2[1 ? (?1)] = 4 的周
期函数. f ( ? x ? 1 + 4) = ? f ( x ? 1 + 4) , f ( ? x + 3) = ? f ( x + 3) , f ( x + 3) 是奇 函 ∴ 即 数. 6 . A; 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e
x ?x

≠ 0 , 其 定 义 域 为 {x | x ≠ 0} , 排 除 C,D, 又 因 为

e x + e? x e2 x + 1 2 y = x ?x = 2x = 1+ 2x ,所以当 x > 0 时函数为减函数. e ?e e ?1 e ?1
7.A;由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x) ,故函数为奇函数,图像 关于原点对称. 8.B;由图可知,当质点 P ( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由正 到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P ( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0, 故 D 错误; 质点 P ( x, y ) 在开始时沿直线运动, 故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数, 因此 C 是错误的. 9.A;令 x = ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) = f ( ? ) = f ( ) ? f ( ) = 0 ;令 x = 0 ,则 f ( 0) = 0 2 2 2 2 2 2 2 2
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由 xf ( x + 1) = (1 + x ) f ( x ) 得 f ( x + 1) =

x +1 f ( x ) ,所以 x

5 3 5 3 5 3 5 2 1 5 f ( ) = 2 f ( ) = f ( ) = ? f ( ) = 0 ? f ( f ( )) = f (0) = 0 . 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
10.D;因为 f (x ) 满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 8) = f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则 f ( ?25) = f ( ?1) , f (80) = f (0) , f (11) = f (3) ,又因为 f (x ) 在 R 上是奇 函 数 ,

f (0) = 0 , 得 f (80) = f (0) = 0 , f (?25) = f (?1) = ? f (1) , 而 由

f ( x ? 4) = ? f ( x) 得 f (11) = f (3) = ? f (?3) = ? f (1 ? 4) = f (1) ,又因为 f (x) 在区间
[0,2]上是增函数,所以 f (1) > f (0) = 0 ,所以 ? f (1) < 0 ,即 f ( ?25) < f (80) < f (11) .
源:学&科&网][来源:学&科&网] [来

11.B; 12.B; | x1 ? x2 |= f max ( x) , 二、填空题: 13. 2; 14.

b 2 ? 4ac 4ac ? b 2 = , | a |= 2 ? a , a = ?4 . a2 4a

1 1 2x ; f (? x) = ? x +a = + a, f (? x) = ? f ( x) 2 2 ?1 1 ? 2x

2x 1 1 2x 1 ? + a = ?( x + a ) ? 2a = ? = 1故a = x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2
15. 因为定义在 R 上的奇函数, -8; 满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 4) = f ( ? x ) ,所以, 由

f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x = 2 对称且 f (0) = 0 ,由 f ( x ? 4) = ? f ( x) 知 f ( x ? 8) = f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函
数,所以 f ( x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间

[? 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根
x1 + x2 = ?12 x3 + x4 = 4
[来源:Z+xx+k.Com]

x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设 x1 < x2 < x3 < x4 由 对 称 性 知

所以 x1 + x2 + x3 + x4 = ?12 + 4 = ?8

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y (x) (m>0) f =m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

1 6.①③④;①:令 λ = ? = 1 ,则 f ( a + b) = f ( a ) + f (b) 故①是真命题,同理,④:令 ;

λ = k , ? = 0 ,则 f (ka) = kf (a ) 故④是真命题, ③:∵ f (a ) = ? a ,则有 f (b) = ?b
f (λa + ?b) = ?(λa + ?b) = λ ? (?a ) + ? ? (?b) = λf (a ) + ?f (b) 是线性变换,
故③是真命题;②:由 f ( a ) = a + e ,则有 f (b) = b + e

f (λa + ?b) = (λa + ?b) + e = λ ? (a + e) + ? ? (b + e) ? e = λf (a ) + ?f (b) ? e
∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 三、解答题: 17.解: (1)设函数 y = f ( x ) 的图象上任意一点 Q ( x0 , y0 ) 关于原点的对称点为 P ( x, y ) ,则

∵点 Q ( x0 , y0 ) 在函数 y = f ( x ) 的图象上
2 2

? x0 + x ? 2 = 0, ? x0 = ? x, ? 即? ? ? y0 + y = 0, ? y0 = ? y. ? 2 ?

∴ ? y = x ? 2 x,即y = ? x + 2 x, 故g ( x ) = ? x + 2 x
2

(2)由 g ( x ) ≥ f ( x ) ? x ? 1 , 可得2 x ? x ? 1 ≤ 0
2
2 2

当 x ≥ 1 时, 2 x ? x + 1 ≤ 0 ,此时不等式无解. 当 x < 1 时, 2 x + x ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1 ≤ x ≤ 因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? . 2

1 . 2

? ?

1? ?

18.解: (1)由图 1 可得市场售价与时间的函数关系为: f(t)= ?

?300 ? t ,0 ≤ t ≤ 200, ?2t ? 300,200 < t ≤ 300;
[来源:Z.xx.k.Com]

由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为: g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,

? 1 2 1 175 ?? 200 t + 2 t + 2 ,0 ≤ t ≤ 200, ? 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 + 7 t ? 1025 ,200 < t ≤ 300. ? 200 2 2 ?
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[来源:学|科|网]

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当 0≤t≤200 时,整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,整理得,h(t)=-

1 (t-350)2+100, 200

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100, 此时 t=50,即从二月一日开始的第 50 天时,上市的番茄纯收益最大.

? f (2 ? x) = f (2 + x) ? f ( x) = f (4 ? x) 19.解: (1)由 ? ?? ? f (4 ? x) = f (14 ? x) ? f (7 ? x) = f (7 + x) ? f ( x) = f (14 ? x)
[来源:学科网]

? f ( x) = f ( x + 10) ,从而知函数 y = f (x) 的周期为 T = 10
又 f (3) = f (1) = 0, 而f (7) ≠ 0 , f (?3) = f (?3 + 10) = f (7) ≠ 0 ,所以 f (?3) ≠ ± f (3)
[来源:Zxxk.Com]

故函数 y = f (x ) 是非奇非偶函数; (2) 又 f (3) = f (1) = 0, f (11) = f (13) = f (?7) = f (?9) = 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y = f (x ) 在[0,2005]上有 402 个解, 在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y = f (x ) 在[-2005,2005]上有 802 个解.
2 20.解: (1)当 a = 0 时, f ( x ) = x 为偶函数 ;
[来源:Zxxk.Com]

当 a ≠ 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x 2 > x1 ≥ 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x12 +

x ? x2 a a 2 ? x2 ? = 1 [x1 x2 (x1 + x2 ) ? a] , x1 x2 x1 x 2

[来源:Z+xx+k.Com]

由 x 2 > x1 ≥ 2 得 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16 , x1 ? x 2 < 0, x1 x 2 > 0 要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数只需 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 , 即 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) ? a > 0 恒成立,则 a ≤ 16 . 21 .解: (1)由题意得

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?a > 0, ? ?a ≠ 1, ? ?a + 2 ? 3a > 0,
解得 0 < a < 1.

(2) | f ( x ) ? g ( x ) |≤ 1 在[a+2,a+3]上恒成立

? ?1 ≤ log a [( x ? 3a )( x ? a )] ≤ 1 在[a+2,a+3]上恒成立
? a ≤ ( x ? 3a )( x ? a ) ≤ 1 在[a+2,a+3]上恒成立, a

令 h( x ) = ( x ? 3a )( x ? a ) ,从而问题转化为求函数 h(x)在[a+2,a+3]上的最值. 因为 h(x)的对称轴为 x = 2a < a + 2, 所以 h(x)在区间[a+2,a+3]上为 增函数,

h( x) min = 4 ? 4a, h( x) max = 9 ? 6a.

? ?0 < a < 1, ? 由题意有 ?4 ? 4a ≥ a, ? 1 ?9 ? 6a ≤ , a ?
综上所述,当 0 < a ≤

解得 0 < a ≤

9 ? 57 . 12

9 ? 57 时,f(x)与 g(x)在区间[a+2,a+3]上是接近的; 12



9 ? 57 < a < 1 时,f(x)与 g(x)在区间[a+2,a+3]上是非接近的. 12

22.解: (1)当 a = 1, b = ?2 时, f ( x ) = x 2 ? x ? 3, 由题意有 x = x 2 ? x ? 3, 解得 x = ?1 或 x = 3, 故当 a = 1, b = ?2 时,f(x)的两个不动点为-1,3. (2)因为 f ( x ) = ax 2 + (b + 1) x + (b ? 1)( a ≠ 0) 恒有两个不动点,所以

x = ax 2 + (b + 1) x + (b ? 1),
即 ax 2 + bx + (b ? 1) = 0 恒有两个相异的实数根, 得 ? = b 2 ? 4ab + 4a > 0(b ∈ R ) 恒成立,于是 ?′ = (4a ) 2 ? 16a < 0, 解得 0 < a < 1, 所以当 b ∈ R, f ( x ) 恒有两个相异的不动点时,a 的取值范围是 0 < a < 1.
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(3)由题意,A、B 两点应在直线 y = x 上.
[来源:学*科*网]

设 A( x1 , x1 ), B ( x2 , x2 ), AB 的中点为 M ( x′, y ′), 因为 A、B 关于直线 y = kx +
2

1 2a 2 + 1

对称,所以 k = ?1.

又因为 x1 , x2 是方程 ax + bx + (b ? 1) = 0 的两根,所以 x′ = y ′ = 由点 M 在直线 y = ? x +

x1 + x2 b =? , 2 2a

1 2a + 1
2

上,得 b = ?

a 2a + 1
2

=?

1 2a + 1 a

.

因为 a > 0, 所以 2a + 故 b 的最小值为 ?

1 2 ≥ 2 2, 当且仅当 a = ∈ (0,1) 时取等号, a 2

2 . 4

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