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2.3.1等差数列的前n项和



2.3 等差数列的前 n 项和 【课程分析】等差数列前 n 项和是进一步学习数列、微积分的基础,与数学课程 的其它内容(函数、三角、不等式等)有着密切的联系。重点:等差数列前 n 项和公式的理解、推导、应用及它与二次函数之间的联系。 难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 【学情分析】学生已经学习了等差数列的通项公式和性质等有关内容。 学生经过初高中的数学学习,已具有一定的自主探究能力,从特殊到一般的 类比推理能力,但学生对于倒序求和的思想还初次见到,要着重引导。 【教学目标】 1、理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程, 并理解推导此公式的方法——倒序相加法,记忆公式的两种形式; 2、用方程思想认识等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差 数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另 两个值; 3、会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 【教学过程】 一、双基回眸 科学导入: ★前面,我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,并运用这些 知识解决了许多的实际问题,请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性 质: ① 等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ② 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时, A 叫做 a 与 b 的等差中项。 ③ 等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) ④ an ? am ? (n ? m)d ⑤ 在等差数列中, 若 m + n= p + q 则

am ? an ? a p ? aq

★等差数列在现实生活中比较常见,如: 建筑工地上一堆圆木,从上到下每层的数目分别为 1,2,3,??,10 . 问共有多少根圆木? 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。如何用简便 的方法呢? 当然,若是数少了,即使口算,也能迅速得出 若数多了呢,比如:1+2+3+??+100=? 还能不能迅速算出呢? 在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就 曾经上演了迅速求出 1+2+3+??+100 和的好戏。 同学们或许都听说过这个故事,哪个同学来简洁 地说一说高斯是怎样来计算的?

答:当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案: (1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 (数学王子, 德国数学家高斯 10 岁的时候, 有一次数学教师布特纳要求学 生将前 100 个自然数加起来,即求 1+2+3+……+100 的和。老师刚解释完题目, 高斯就把写有答案的石板交了上去,布特纳连看也没看,心想这个全班最小的学 生准是瞎写了些什么,或者交了白卷,过了很久,其他学生才一个个把石板叠在 上面, 等到布特纳发现只有高斯的石板上写着一个正确的答案而比他大的孩子都 错了的时候,才大吃一惊,因为在这之前,他从未教过学生计算等差数列。那么 高斯是怎样巧妙的算出结果的呢?我们分析,可能是高斯将这 100 个数分成 50 组(1+100)(2+99)(3+98) , , ,…… , (50+51) ,而每组两数之各都等于 101, 因此,1+2+3+……+100=101×50=5050。 ) 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,?,n,?前 100 项的和 的问题。 但这只是前 100 项的和, 我们想知道前 n 项的和怎样求,更想知道有没有一个 公式来表示。这就是我们今天要研究的问题?? 二、 创设情境 合作探究: 【创设情境】 首先,我们根据高斯的算法,来计算一下 1,2,3,…,n,…的前 n 项的 和: (学生分组讨论,展示做法) ●有的同学可能直接按照高斯的算法: (1+n)+( 2+n-1) +(3+n-2)+?? 但 不知道数的个数是偶数还是奇数,不一定能恰好都配成对。 ●有的同学可能根据上面解法存在的问题,对 n 进行分类讨论: n 为偶数:?? n 为奇数:?? ●最后交流出最佳方法: 由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1) 从而初步总结出推导等差数列前 n 项和的一般方法:倒序相加法。 【合作探究】 ●借此东风,引领学生合作交流,推导出等差数列前 n 项和

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
n( n ? 1) 2

可请同学们先根据 1 + 2

+ ? + n-1

+ n ?

来推测一下

n(a1 ? a n ) 2 然后鼓励一下,在让学生分组合作交流,推导出来 …… 用两种方法表示 sn

有的同学肯定会推测出来: s n ?

s n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 1)d ]



把上式的次序反过来又可以写成 sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? [an ? (n ? 1)d ] 由①+②,得 2s n ? (a1 ? a n ) ? (a1 ? a n ) ? ? ? (a1 ? a n ) ??????? ?????? ? ?
n个



= n(a1

? an )
n(a1 ? a n ) 2

由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 s n ? 请同学们把 把 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入 s n ? 得: s n ? na1 ?

n(a1 ? a n ) 中,看能得到什么: 2

n(n ? 1) d 2 【点评】 (1)对于第一个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项 和项数就可以求等差数列前 n 项和了;对于第二个公式,只 要知道等差数列首项、公差和项数就可以求等差数列前 n 项和了。 实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的 公式来解决。 (2)这两个公式除了“数”的本质外,用“形”也可以直观地说 明一下。还可用梯形面积公式来说明等差数列前 项和公式,这里对图 形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式. (3) 除此之外,等差数列还有其他方法(可对基础较好的学生要介 绍) 当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:

= = na1 ? [d ? 2d ? ? ? (n ? 1)d ] ? na1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]d n(n ? 1) d = na1 ? 2 三、互动达标 巩固所学: 【自主达标】 1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn. ⑴ ⑵ 答:学生独立完成: (1)Sn=-88 ; (2) 604.5 * 2. 求集合 M={m| m=2n - 1 .n∈ N ,且 m < 60} 的元素个数,并求这些元 素的和。 答:由 2n – 1 < 60 得: n < 30.5 所以共有 30 项 ,公差为 2 这些元素的和为 30×1 + 15×30×2 = 930。 【互动达标】 (下面的所有问题,都先让学生合作探究、交流一下) 既然数列与实际生活有密切关系,那么,首先来探索一个实际问题: 问题.12000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通” 工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起 用 10 年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用

于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是多少? 【分析】对于应用问题,首先应仔细阅读、审清题意。然后,抽象、提 炼出相关数据,并分析出它们的本质关系,把实际问题转化为相应的数学问 题…… 【解析】根据题意,从 2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加 50 万元.所以,可以建立一个等差数列 年起各年投入的资金,其中 a1 ? 500 , d=50. 那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为 ,表示从 2001

(万元) 答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 【点评】通过此题引领学生逐步按照下列步骤来进行: ⑴先阅读题目; ⑵引导学生提取有用的信息,构件等差数列模型; ⑶写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行 求解。 可能出现的错误(也是数列的实际问题中常见的、典型的错误) 理解错题 : 意,把前 n 项和与最后一项混淆 1 问题.2 已知数列 {an } 的前 n 项为 s n ? n 2 ? n , 求这个数列的通项公式.这个 2 数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【分析】这是一个关于前 n 项和的逆向问题,想一想 s n 与a n 的关系,然后列 出 sn与sn?1 ,看到它们的关系,就会直接得到 an 了。 【解析】根据 可知,当 n>1 时, a n ? s n ? s n ?1 当 n=1 时, 所以数列 的通项公式为 是一个首项为

sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1) 1 1 1 ? n 2 ? n ? [( n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2n ? ① 2 2 2
与 也满足①式. . ,公差为 2 的等差数列。 ,求通项公式的方法;

由此可知,数列

【点评】 (1)引领学生总结出已知前 n 项和 (2)用这种数列的 且还要注意 不一定满足由 .

来确定 的方法对于任何数列都是可行的,而 求出的通项表达式,所以最后要验证首

项 是否满足已求出的

(3) an

?

?

s1 ( n?1) sn ?sn ?1 ( n?1)

【深入探究】结合此例思考课本 45 页“探究” :一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为 其中 p、q、r 为常数,且 p≠0,那么这个数列一 定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 引导分析得出:观察等差数列两个前 n 项和公式 ,和

,公式本身就不含常数项。 所以得到: (1)如果一个数列前 n 项和 sn ? pn2 ? qn ? r 的常数项 r 不为 0, 则这个数列一定不是等差数列. (2)如果一个数列前 n 项和 sn ? pn2 ? qn ? r 中常数项 r 为 0,则这 个数列一定是等差数列. 最后结论:数列 {an } 是等差数列等价于 sn ? An2 ? Bn 问题.3 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这 些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 【分析】 最直接的思路是利用方程思想: 将已知条件代入等差数列前 n 项和的 公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一次方程,由此可以求得 a1 与 d ,从而得 到所求前 n 项和的公式. 【解析】解:由题意知 将它们代入公式 ,

得到 解这个关于 与 d 的方程组,得到 =4,d=6,

所以 【引领学生探讨其他解法】 ——总结出解决数列基本问题的几种常用的思想方 法: 【另法一】 得 所以 ②-①,得 , 所以 代入①得: ②

所以有 【另法二】 由问题.2 的探索知等差数列的前 n 项和可表示为 sn ? An2 ? Bn 利用待定系数法可求出结果(在这里,也可看成是运用了函数思想)



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