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高考数学公式总结



高考数学常用公式汇总
一、 函数
n

1、 若集合 A 中有 n (n ∈ N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有非空真子集 的个数是 2 ? 2 。注:减一个真子集,减一个空集二次函数 y = ax + bx + c 的图象的对称
n 2

轴方程是 x = ?

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? ? 2 a , 4a 2a ?

? ? ? ?

二、 三角函数 1、 以角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 α 的终边上任取一个 异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r ,则 sin α =

y x y ,cos α = ,tan α = , r r x

ctan α =

x r r ,sec α = ,csc α = 。 y x y a 2 + b 2 sin(θ + ? )
2

提斜 a sin θ + b cos θ =

( tg? =
2

b ) a

, 2、同角三角函数的关系中,平方关系是: sin α + cos α = 1 , 倒数关系是: tan α ? cot α = 1 , 相除关系是: tan α =

sin α , cos α 3π ? α ) = ? cos α , 2

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变, 符号看象限 奇变偶不变,符号看象限。如: sin( 奇变偶不变

15π cot( ? α ) = tan α , tan(3π ? α ) = ? tan α 。 2

4、 函数 y = A sin(ωx + ? ) + B (其中A > 0,ω > 0) 的最大值是 A + B ,最小值是 B ? A ,周 期是 T =



ω

,频率是 f =

1 ,相位是 ωx + ? ,初相是 ? ; T

5、 三角函数的单调区间:

π π? ? y = sin x 的 递 增 区 间 是 ?2kπ ? ,kπ + ? 2 2 2? ?

(k ∈ Z ) , 递 减 区 间 是

π 3π ? ? 2 2 ?2kπ + 2 ,kπ + 2 ? (k ∈ Z ) ; y = cos x 的递增区间是 [2kπ ? π,kπ ] (k ∈ Z ) ,递减区间是 ? ?

[2kπ,kπ + π ] (k ∈ Z ) , 2
1

6、 sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 1 m tan α ? tan β

7、二倍角公式是:sin2 α = 2 sin α ? cos α cos2 α = cos 8、 sin α =
2
2

α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α
cos 2 α = 1 + cos 2α 。 2

tan2 α =

2 tan α 1 ? tan 2 α

1 ? cos 2α 2

9、特殊角的三角函数值:

α
sin α

0

π
6 1 2
3 2 3 3 3

π
4

π
3

π
2
1

π
0

3π 2
?1

0

2 2
2 2
1

3 2
1 2 3 3 3

cos α

1

0

?1

0

tan α

0

不存在

0

不存在

cot α

不存在

1

0

不存在

0

10、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) : S ⊿=

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

1 1 1 1 底*高= ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 2
2 2 2

11、由余弦定理第一形式, b = a + c ? 2ac cos B 由余弦定理第二形式,cosB=

a 2 + c2 ? b2 2ac
cos(A + B) = -cosC tan(A + B) = -tanC

12、在△ABC 中, A < B ? sin A < sin B ,… 13、在△ABC 中: sin(A + B) = sinC

三、

不等式 均值定理:正数 a,b 则 a + b ≥ 2 ab

2

四、

数列

1、等差数列的通项公式是 a n = a1 + ( n ? 1) d , S n = 2、等比数列的通项公式是 a n = a1 q
n ?1

n(a1 + a n ) 2



? na1 (q = 1) ? n 前 n 项和公式是: S n = ? a1 (1 ? q ) (q ≠ 1) ? 1? q ?
3、若 m、n、p、q∈N,且 m + n = p + q ,那么: 当数列 {a n } 是等差数列时,有 a m + a n = a p + a q ; 当数列 {a n } 是等比数列时,有 a m ? a n = a p ? a q 。 五、 排列组合 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点? 加法分类,类类加;乘法分步,步步乘。 加法分类,类类加;乘法分步,步步乘

n! A m ;组合数公式是: C n = n 2、排列数公式是: A = n( n ? 1) L ( n ? m + 1) = (n ? m)! m!
m n

m

组合数性质: C n = C n 六、 解析几何

m

n?m

m m m C n + C n ?1 = C n +1

1、 AB = x B ? x A 2、 数轴上两点间距离公式: AB = x B ? x A 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: P1 P2 = 4、 若点 P 分有向线段 P1 P2 成定比λ,则λ=

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2

P1 P PP2

5、 若点 P1 ( x1 , y1 ),P2 ( x 2 , y 2 ),P ( x, y ) ,点 P 分有向线段 P1 P2 成定比λ,则:

x=

x1 + λx 2 1+ λ

y=

y1 + λy 2 1+ λ
的 重 心 G 的 坐 标 是

若 A( x1 , y1 ),B ( x 2 , y 2 ),C ( x 3 , y 3 ) , 则 △ ABC

? x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ? , ? ?。 3 3 ? ?
6、 求直线斜率的定义式为 k= tan α ,两点式为 k=
3

y 2 ? y1 。 x 2 ? x1

7、直线方程的几种形式: 点斜式: 斜截式: 点斜式: y ? y 0 = k ( x ? x0 ) , 斜截式: y = kx + b 两点式:

y ? y1 x ? x1 x y = , 截距式: + = 1 y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

一般式: Ax + By + C = 0 直线 l1:y = k1 x + b1,l 2:y = k 2 x + b2 , 则从直线 l1 到直线 l 2 的角θ满足:tan θ =

k 2 ? k1 1 + k1 k 2

直线 l1 与 l 2 的夹角θ满足: tan θ =

k 2 ? k1 1 + k1 k 2 Ax0 + By 0 + C A2 + B 2 C1 ? C 2 A2 + B 2

8、 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l:Ax + By + C = 0 的距离: d =

10、两条平行直线 l1:Ax + By + C1 = 0,l 2:Ax + By + C 2 = 0 距离是 d = 11、圆的标准方程是: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2

圆的一般方程是: x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0)
2 2 2 2

12、圆 x + y = r 的以P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线方程是 x 0 x + y 0 y = r 此点在曲线上
2 2 2 2

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ>0,Δ=0,Δ<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、小于半径,等价 于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是: y 2 = 2 px,y 2 = ?2 px, 2 = 2 py,x 2 = ?2 py。 x 16、抛物线 y 2 = 2 px 的焦点坐标是: ?

p ?p ? ,? ,准线方程是: x = ? 。 0 2 ?2 ?

过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 2 p 。

x2 y2 y2 x2 17、椭圆标准方程的两种形式是: 2 + 2 = 1 和 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 。 a b a b

4

18、椭圆

x2 y2 a2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的焦点坐标是 (± c,) ,准线方程是 x = ± 0 ,离心率是 c a2 b

e=

c 2 2 2 ,其中 c = a ? b 。 a x2 y2 y2 x2 ? 2 = 1 和 2 ? 2 = 1 (a > 0,b > 0) 。 a2 b a b

19、双曲线标准方程的两种形式是:

20、双曲线

x2 y2 a2 c ? 2 = 1 的焦点坐标是 (± c,) ,准线方程是 x = ± 0 ,离心率是 e = , 2 c a a b x2 y2 ? 2 = 0 。其中 c 2 = a 2 + b 2 。 2 a b

渐近线方程是

x2 y2 x2 y2 21、与双曲线 2 ? 2 = 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) 。 a b a b
22 、 若 直 线 y = kx + b 与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 弦 长 为

AB = (1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ;
七、 参数方程

1、圆心在点 C ( a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是: ?

? x = a + r cos α ? y = b + r sin α

(α是参数) 。

2、横椭圆的参数方程是: ?

? x = a cos α ? y = b sin α

(α是参数)

八、 简易逻辑 1. 可以判断真假的语句叫做命题. 2. 3. 逻辑连接词有“或”“且”和“非”. 、 4. 5. p、q 形式的复合命题的真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P且q 真 假 假 假 P或q 真 真 真 假

5

6. 命题的四种形式及其相互关系

原命题 若p则q 互 互 否

互 互 为 逆 逆



逆命题 若q则p 互 否

否 否 否命题 逆否命题 否 否 若﹃p则﹃q 若﹃q则﹃p 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假. 九、 平面向量

1.运算性质: a + b = b + a, a + b + c = a + b + c , a + 0 = 0 + a = a 2.坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) ,则
→ → →

( )

( )

a ± b = ( x1 ± x 2 , y1 ± y 2 )



设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , ,则

AB = ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) .
3.实数与向量的积的运算律:



λ ? ? a ? = (λ? ) a , (λ + ? ) a = λ a + ? a , λ ? a + b ? = λ a + λ b ? ? ? ?
? ? ? ?
设 a = ( x, y ) ,则λ a = λ ( x, y ) = (λx, λy ) , 4.平面向量的数量积: 定义: a ? b = a ? b cos θ 0 0 ≤ θ ≤ 180 0
→ → → →























→ →





(

)

→ →

0? a = 0 .注意向量夹角可为钝角 注意向量夹角可为钝角


运算律: a ? b = b ? a , ? λ a ? ? b = a ? ? λ b ? = λ ? a ? b ?

? ?



? ?





? ?



? ?

?→ ?

? ?

?→ →? → → → → → ? a + b ? ? c = a? c + b ? c ? ?
坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 )
→ → → →

,则

a ? b = x1 x 2 + y1 y 2
6

5.重要定理、公式: (1) 平面向量的基本定理 如果 e1 实数


和 e2



是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对
→ → →



λ1 , λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2


(2) 两个向量平行的充要条件

a// b ? a = λ b (λ ∈ R )
→ → → → → →









a// b ? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0



(3) 两个非零向量垂直的充要条件

a ⊥ b ? a? b = 0

a ⊥ b ? x1 x 2 + y1 y 2 = 0
→ →

(4) 线段的定比分点坐标公式 设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P1 P = λ PP2 ,则

? ?x = ? ? ?y = ? ?

x1 + λx 2 1+ λ y1 + λy 2 1+ λ

x1 + x 2 ? ?x = 2 ? 中点坐标公式 ? ? y = y1 + y 2 ? 2 ?

(5) 平移公式 如果点 P(x,y)按向量 a = (h, k )


平移至 P′(x′,y′) ,则

? x ' = x + h, ? ? ' ? y = y + k. ?

新=旧+旧

十、 概率 (1)若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件 A、B 为相互独立事件,则 P(A·B)=P(A) ·P(B) (3)若事件 A、B 为对立事件,则 p A = 1 ? P ( A) (4)如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事恰好发生 K 次的概率
k Pn (K ) = C n p k (1 ? p ) n?k

()

十一、文科导数 文科导数 (1)函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f ( x ) 在点 P( x 0 ,f( x 0 ) )处的切线 的斜率. (2)几个重要函数的导数
n ① C = 0 ,(C 为常数)② x
'

( ) = nx (n ∈ Q )
'

n ?1

7

(3)导数应用 ①使 f
'

(x ) >0 的区间为增区间,使 f ' (x ) <0 的区间为减区间.

②函数 f ( x ) 求极值的步骤: ... ⅰ.求导数 f ⅱ.求方程 f
'

(x ) (x ) =0 的根 x1 , x2 ,L , xn

'

ⅲ.研究单调性判断极大或极小值 ③闭区间求最值 ⅰ. 求极值 ⅱ.求端点函数值,比大小

8



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