9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第七章 不等式、推理与证明 第6课



数学

R B(理)

§7.6 数学归纳法
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

数学归纳法 证明一个与自然数有关的命题,可按以下步骤: (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0 (n0∈N+)时命 题成立; (2)

(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的 所有正整数 n 都成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

C C
1 1 - 2n+1 2n+2

2k

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 求证:(n+1)(n+ 2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 求证:(n+1)(n+ 2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+).

证明时注意等式两边从 n=k 到 n=k+1 时的变化.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 求证:(n+1)(n+ 2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+).

证明 ①当 n=1 时, 等式左边=2, 右边=2,故等式成立;
②假设当 n=k(k∈N+)时等式成立, 即(k+1)(k+2)· ?· (k+k)=2k· 1· 3 · 5· ?· (2k-1), 那么当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1 +2)· ?· (k+1 +k+1)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 求证:(n+1)(n+ 2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+).

= (k+ 2)(k+ 3)· ?· (k+ k)(2k+ 1)(2k +2)

=2k· 1· 3· 5· ?· (2k-1)(2k+1)· 2
=2k+1· 1· 3· 5· ?· (2k-1)(2k+1), 这就是说当 n=k+1 时等式也成立.

由①②可知,对所有 n∈N+等式成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 求证:(n+1)(n+ 2)· ?· (n+n)=2 · 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+).
n

用数学归纳法证明恒等式应注意
(1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时等式成立.
(2)由 n=k 证明 n=k+1 时,弄清左 边增加的项,且明确变形目标.
(3)掌握恒等变形常用的方法:①因 式分解;②添拆项;③配方法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 跟踪训练 1 用数学归纳法证明:对任意的 n∈N+, + 1×3 3×5 1 n +?+ = . ?2n-1??2n+1? 2n+1
1 1 证明 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1 1 右边= = ,左边=右边,所以等式成立. 2×1+1 3

(2)假设当 n=k(k∈N+)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 跟踪训练 1 用数学归纳法证明:对任意的 n∈N+, + 1×3 3×5 1 n +?+ = . ?2n-1??2n+1? 2n+1
k?2k+3?+1 k 1 = + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3?

2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1
所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N+等式都成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

(1)利用题中条件分别确定 a 的 范围,进而求 a;
(2)利用数学归纳法证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

3 由题意,知 f(x)=ax- x2= 2 3 a 2 a2 - (x- ) + . 2 3 6 1 a a2 1 又 f(x)max≤ ,所以 f( )= ≤ . 6 3 6 6 所以 a2≤1. (1)解
1 1 1 又 x∈[ , ]时,f(x)≥ , 4 2 8
? 1 1 ?f?2?≥8, 所以? ?f?1?≥1, ? 4 8
思想方法

?a 3 1 ?2-8≥8, 即? ?a- 3 ≥1, ?4 32 8
练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

解得 a≥1.
又因为 a2≤1,所以 a=1.
(2)证明 用数学归纳法证明:

1 ①当 n=1 时, 0<a1<2, 显然结论成立.

1 1 因为当 x∈(0,2)时,0<f(x)≤6, 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤6<3.

故 n=2 时,原不等式也成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

②假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,不 1 等式 0<ak< 成立. k+ 1 3 2 因为 f(x)=ax- x 的对称轴为直线 2 1 x=3,
1 所以当 x∈(0, ]时,f(x)为增函数. 3 1 1 所 以 由 0<ak< ≤ 3 , 得 k+1 1 0<f(ak)<f( ). k+1
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

1 3 1 于是, 0<ak+1=f(ak)< - · k+1 2 ?k+1?2 1 1 1 + - = - k+2 k+ 2 k+2 k+4 1 < . 2?k+1?2?k+2? k+2

所以当 n=k+1 时, 原不等式也成立.

根据①②,知对任何 n∈N+,不等 1 式 an < 成立. n+1
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 用数学归纳法证明不等式
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax 3 2 1 - x 的最大值不大于 ,又 2 6 1 1 1 当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 (2)设 0<a1< , an+ 1 = f(an), 2 1 n∈N+,证明:an< . n+1

用数学归纳法证明不等式的关键 是由 n=k 时命题成立证 n=k+1 时命题也成立,在归纳假设使用 后可运用比较法、综合法、分析 法、放缩法等来加以证明,充分 应用均值不等式、不等式的性质 等放缩技巧,使问题得以简化.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2
用数学归纳法证明: 对一切大于 1 的自然数,不 2n+1 1 1 1 等式(1+ )(1+ )· ?· (1+ )> 均成立. 3 5 2 2n-1
1 4 5 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+3=3;右边= 2 . ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N+)时不等式成立,即 2k+1 1 1 1 (1+3)(1+5)· ?· (1+ )> 2 . 2k-1

则当 n=k+1 时,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2
用数学归纳法证明: 对一切大于 1 的自然数,不 2n+1 1 1 1 等式(1+ )(1+ )· ?· (1+ )> 均成立. 3 5 2 2n-1
2k+1 2k+2 2k+2 1 1 1 1 (1+3)(1+5)· ?· (1+ )[1+ ]> 2 · = 2k-1 2?k+1?-1 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+4 4k2+8k+3 = > 2 2k+1 2 2k+1 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = = . 2 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立.

由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n an 1 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, 2 n 且 an>0,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n an 1 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, 2 通过计算 a1,a2,a3 寻求规 n 且 an>0,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

律猜想 {an} 的通项公式,然 后用数学归纳法证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n (1)解 当 n=1 时, a1 1 an 1 a2 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, 由已知得 a1= 2 +a -1, 1+2a1-2 1 2 n 且 an>0,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.
=0. ∴a1= 3-1(a1>0).
当 n=2 时,由已知得 a1+a2 a2 1 = + -1, 2 a2

将 a1= 3-1 代入并整理得 a2 2+2 3a2-2=0.
∴a2= 5- 3(a2>0).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n 同理可得 a = 7- 5. 3 an 1 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, 2 n 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N+). 且 an>0,n∈N+.
(2)证明

①由(1)知, 当 n=1,2,3 时,

(1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 通项公式成立. 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.
即 ak= 2k+1- 2k-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

②假设当 n=k(k≥3,k∈N+)时,通 项公式成立,

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华 ak+1 1 【例 3】 已知数列{an}的前 n 由 ak+1=Sk+1-Sk= + 2 ak+1 ak 1 an 1 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, - 2 -a , k 2 n

且 an>0,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并 整理得 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0,

解得:ak+1= 2k+3- 2k+1(an>0).
由①和②,可知对所有 n∈N+,an = 2n+1- 2n-1都成立.

即当 n=k+1 时,通项公式也成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n (1)猜想{a }的通项公式是一个由 n an 1 项和 Sn 满足: Sn= +a -1, 特殊到一般的过程,注意两点: 2 n 且 an>0,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an} 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

①准确计算 a1,a2,a3 发现规律 (必要时可多计算几项); ②证明 ak+1 时,ak+1 的求解过程与 a2、a3 的求解过程相似,注意体会 特殊性与一般性的辩证关系.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列 {an}的前 (2)“归纳—猜想—证明”的模式, an 1 是不完全归纳法与数学归纳法综合 n 项和 Sn 满足:Sn= + 2 an
应用的解题模式,这种方法在解决 探索性问题、存在性问题时起着重

-1,且 an>0,n∈N .

*

(1)求 a1, a 2, a 3, 并猜想 {an} 要作用,它的模式是先由合情推理 的通项公式; (2)证明通项公式的正确性 .
基础知识 题型分类

发现结论,然后经逻辑推理证明结 论的正确性,这种思维方式是推动 数学研究和发展的重要方式.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 3 跟踪训练 3 已知函数 f(x)= x -x,数列{an}满足条件:a1≥1, 3 1 1 1 1 an+1≥f′(an+1),试比较 + + +?+ 与1的 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 大小,并说明理由.
解 ∵f′(x)=x2-1,且 an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1,

∵函数 g(x)=(x+1)2-1 在[1,+∞)上单调递增.
于是由 a1≥1 得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1,

进而 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,

由此猜想:an≥2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 3 跟踪训练 3 已知函数 f(x)= x -x,数列{an}满足条件:a1≥1, 3 1 1 1 1 an+1≥f′(an+1),试比较 + + +?+ 与1的 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 大小,并说明理由.
②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+)时结论成立,即 ak≥2k-1.
当 n=k+1 时,由 g(x)=(x+1)2-1 在区间[1,+∞)上单调递增知 ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,
即 n=k+1 时,结论也成立.

由①②知,对任意 n∈N+,都有 an≥2n-1, 1 1 n 即 1+an≥2 ,∴ ≤ n, 1+an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1n ∴ + + +?+ 1+a1 1+a2 1+a3 1+an ≤2+22+23+?+2n=1-(2) <1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

通过计算 a2,a3,a4 观察规律猜想 an,然后用数学归纳法证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)解

∵a1=1,
2分 4分 6分 8分

a a a ∴a2=f(a1)=f(1)= ;a =f(a2)= ;a =f(a3)= . 1+a 3 2+a 4 3+a a 猜想 an= (n∈N+). ?n-1?+a

(2)证明 ①易知,n=1 时,猜想正确.

a ②假设 n=k 时猜想正确,即 ak= , ?k-1?+a
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

a a· ?k-1?+a a· ak a a 则 ak+1=f(ak)= = = = . a a+ak ?k-1?+a+1 [?k+1?-1]+a a+ ?k-1?+a
这说明,n=k+1 时猜想正确.
a 由①②知,对于任何 n∈N+,都有 an= . ?n-1?+a
基础知识 题型分类 思想方法
11分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

归纳—猜想—证明问题的一般步骤:
第一步:计算数列前几项或特殊情况,观察规律猜测数列的通项或一般 结论;

第二步:验证一般结论对第一个值 n0(n0∈N+)成立.
第三步:假设 n=k(k≥n0)时结论成立,证明当 n=k+1 时结论也成立.

第四步:下结论,由上可知结论对任意 n≥n0,n∈N+成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列6 归纳—猜想—证明问题
ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时,还有 以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注: (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难.

(2)证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了假设条件去证明,造成使用 的不是纯正的数学归纳法.
(3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.
另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧,只有这样,才能 快速正确地解决问题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.数学归纳法的两个步骤相互依存,缺一不可有 一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠; 有二无一,第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用

方 法 与 技 巧

在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要 注意以下两点: (1)归纳假设就是已知条件; (2)在推证 n=k+1 时,必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧 在推证 n=k+1 时,可以通过凑、拆、配项等方 法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要掌握 n=k 与 n=k+1 之间的关系. 在推证时, 分析法、 综合法、反证法等方法都可以应用.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1;

2.推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设,否则 不是数学归纳法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.用数学归纳法证明 2n>2n+1,n 的第一个取值应是( C ) A.1
解析

B. 2

C.3

D.4

∵n=1 时,21=1,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立;

n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立;
n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立.

∴n 的第一个取值应是 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2. 用数学归纳法证明“1+a+a +?+a

2

n+1

1-a = 1-a

n+ 2

(a≠1)”,在验证 n=1 时,左端计算所得的项为 ( C ) A.1 C.1+a+a2
基础知识 题型分类

B.1+a D.1+a+a2+a3
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)· ?· (n+n)=2n· 1· 2· ?· (2n -1)(n∈N+)”时,从“n=k 到 n=k+1”时,左边应增添 的式子是 A.2k+1 B.2k+3 C.2(2k+1) ( C ) D.2(2k+3)

解析 左边应增添的式子等于
?k+2??k+3?· ?· [?k+1?+?k+1?] ?k+1??k+2?· ?· ?k+k?
?k+2??k+3?· ?· ?2k??2k+1??2k+2? = ?k+1??k+2?· ?· ?2k?

=2(2k+1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N+), 某同学用数学归纳法证明的 过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则 当 n = k + 1 时 , ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2 ( D ) < ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 C.归纳假设不正确 B.n=1 验得不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是 数学归纳法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 5.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3, 3 a4,猜想 an 的表达式为 1 A. ?n-1??n+1? 1 C. ?2n-1??2n+1? ( C ) 1 B. 2n?2n+1? 1 D. ?2n+1??2n+2?

1 1 解析 当 n=2 时,3+a2=(2×3)a2, ∴a2= . 3×5
1 1 1 当 n=3 时,3+15+a3=(3×5)a3,∴a3= . 5×7 1 故猜想 an= . ?2n-1??2n+1?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 1 1 6.设 Sn=1+ + + +?+ n,则 Sn+1-Sn= 2 3 4 2
1 1 1 1 + n + n +?+ n n n 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 2 ____________________________.

1 1 1 1 解析 ∵Sn+1=1+2+?+2n+ n +?+ n n, 2 +1 2 +2
1 1 1 1 Sn=1+2+3+4+?+2n,

1 1 1 1 ∴Sn+1-Sn= n + n + n +?+ n . 2 +1 2 +2 2 +3 2 +2n
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, xn+yn 能被 x +y 整除”,当第二步假设 n=2k-1(k∈N+)命题为

2k+1 时,命题亦真. 真时,进而需证 n=________

解析 因为 n 为正奇数, 所以与 2k-1 相邻的下 一个奇数是 2k+1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个
1 (n+1)(n-2) 2 5 ;当 n>4 时,f(n)=_____________(用 n 表示). 数,则 f(4)=___

解析

f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,

f(n)=f(3)+3+4+?+(n-1)=2+3+4+?+(n-1)

1 =2(n+1)(n-2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.用数学归纳法证明下面的等式 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 n-1

· n =(-1)

2

n-1n?n+1?

2

.

证明 (1)当 n=1 时,左边=12=1,
1×?1+1? 右边=(-1) · 2 =1,∴原等式成立.
0

(2)假设 n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,

即有 1 -2 +3 -4 +?+(-1)

2

2

2

2

k-1

· k =(-1)

2

k-1k?k+1?

2

.

那么,当 n=k+1 时,则有
12-22+32-42+?+(-1)k 1· k2+(-1)k(k+1)2


基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.用数学归纳法证明下面的等式 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 n-1

· n =(-1)

2

n-1n?n+1?

2

.

2 k k+1 =(-1) · [-k+2(k+1)] 2 k?k+1??k+2? =(-1) . 2 ∴n=k+1 时,等式也成立,

=(-1)

k-1k?k+1?

+(-1)k· (k+1)2

由(1)(2)知对任意 n∈N+有
1 -2 +3 -4 +?+(-1)
基础知识 题型分类
2 2 2 2 n-1

· n =(-1)

2

n-1n?n+1?

2

.
练出高分

思想方法

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 10.已知数列{an},an≥0,a1=0,a2 + a - 1 = a n+1 n+1 n.

求证:当 n∈N+时,an<an+1.
证明 (1)当 n=1 时,因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的正 根,所以 a1<a2.

(2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,0≤ak<ak+1,
2 则由 a2 - a k+1 k

2 2 =(ak +2+ak+2-1)-(ak+1+ak+1-1)

=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得 ak+1<ak+2,
即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立,
根据(1)和(2),可知 an<an+1 对任何 n∈N+都成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4 2 n + n 1.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左 2

端应在 n=k 的基础上加上 A.k2+1 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 B.(k+1)2

( D )

D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2

解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和,直到 n2.
故 n=k+1 时,最后一项是(k+1)2,而 n=k 时,最后一项是 k2, 应加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.下列代数式(其中 k∈N+)能被 9 整除的是 A.6+6· 7k
解析

( D ) D.3(2+7k)

B.2+7k

-1

C.2(2+7k 1)


(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除.

(2)假设当 k=n(n∈N+)时,命题成立,
即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么当 k=n+1 时有 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.

这就是说,k=n+1 时命题也成立.
由(1)(2)知,命题对 k∈N+成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= an+1(n∈N+),通过 2 2n-1 n -1 2 计算 a1,a2,a3,a4,可猜想 an=________.
1 3 解析 ∵a1=1,∴a2=2a1+1=2,
1 7 1 15 a3=2a2+1=4,a4=2a3+1= 8 .

2n-1 猜想 an= n-1 . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4 5 1 1 1 1 3 1 4.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N+. 2 3 4 n 2 2n

(1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明.
解 (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1);

9 11 当 n=2 时,f(2)=8,g(2)= 8 ,所以 f(2)<g(2); 251 312 当 n=3 时,f(3)=216,g(3)=216,所以 f(3)<g(3).

(2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.
①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4 5 1 1 1 1 3 1 4.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N+. 2 3 4 n 2 2n

(1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明.
②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立,即 1 1 1 1 3 1 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2. 2 3 4 k 2 2k 1 3 1 1 那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+ < - 2+ . ?k+1?3 2 2k ?k+1?3 k+3 -3k-1 1 1 1 1 因为 -[ 2- ]= - 2= <0, 2?k+1?2 2k ?k+1?3 2?k+1?3 2k 2?k+1?3k2
3 1 所以 f(k+1)<2- =g(k+1). 2?k+1?2
由①②可知,对一切 n∈N+,都有 f(n)≤g(n)成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升

3 4 5 1 1 1 a 5. 若不等式 + +?+ > 对一切正整数 n 都成立, 求正 n+ 1 n+ 2 3n+1 24

整数 a 的最大值,并证明结论.
1 1 1 a 解 当 n=1 时, + + > , 1+1 1+2 3+1 24 26 a 即24>24,所以 a<26.
而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明
1 1 1 25 + +?+ >24. n+1 n+2 3n+1

(1)当 n=1 时,已证得不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升

3 4 5 1 1 1 a 5. 若不等式 + +?+ > 对一切正整数 n 都成立, 求正 n+ 1 n+ 2 3n+1 24

整数 a 的最大值,并证明结论.

1 1 1 25 即 + +?+ > . k+1 k+2 3k+1 24
1 1 1 则当 n=k+1 时,有 + +?+ ?k+1?+1 ?k+1?+2 3?k+1?+1

1 1 1 1 1 1 1 = + +?+ + + + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 25 1 1 2 > +[ + - ]. 24 3k+2 3k+4 3?k+1?
6?k+1? 1 1 2 2 因为 + - = - 3k+2 3k+4 3?k+1? ?3k+2??3k+4? 3?k+1?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升

3 4 5 1 1 1 a 5. 若不等式 + +?+ > 对一切正整数 n 都成立, 求正 n+ 1 n+ 2 3n+1 24

整数 a 的最大值,并证明结论.

18?k+1?2-2?9k2+18k+8? 2 = = >0, ?3k+2??3k+4??3k+3? ?3k+2??3k+4??3k+3?
所以当 n=k+1 时不等式也成立.

1 1 1 25 由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 + +?+ > , n+1 n+2 3n+1 24
所以 a 的最大值等于 25.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



相关文档:


更多相关文章:
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式、推理与证明 第6课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式推理与证明 第6课_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】§...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式、推理与证明 第3课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式推理与证明 第3课_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】§...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式、推理与证明 第5课
经过逐步的推理, 定义 最后达到待证结论的方法,是一种从 原因推导到结果的思维...(6)证明不等式 2+ 7< 3+ 6最合适的方法是分析法. 2. 若 a,b,c 为...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第七章 不等式、推理与证明 第4课
(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用. (1)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第七章 不等式、推理与证明
若 a>|b|,则 a2>b2 3.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( ) A.18 B.6 C.2 3 4.不等式 y≥|x|表示的平面区域是( 4 D.2 3...
【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06章不等式与推理证明6.4基本不等式Word版含解析]
【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06章不等式与推理证明6.4基本不等式Word版含解析]_高中教育_教育专区。【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06章不等式...
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 统计案例、不等式、推理与证明 第二节
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 统计案例、不等式推理与证明 第二节...(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为 ( A.(2,3)∪(-3,-2) B....
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第七节
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 统计、统计案例、不等式推理与证明 第七节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业一、选择题 1.如果命题...
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第五节
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 统计、统计案例、不等式推理与证明 第五节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业一、选择题 1.推理“①...
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第一节
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理) 第六章 ...不等式推理与证明 第一节_高三数学_数学_高中...a+b|.] 6.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则...
更多相关标签:
步步高点读机人教版    人教版步步高    水浒传第七章 第6节    水浒传第七章第六小节    门卫老董 续集 第七章    老董征服戴若希第七章    水浒传第七章 第6节嘛    智慧树食品安全第七章    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图