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10双曲线离心率的值及其取值范围


双曲线离心率的值及其取值范围
【题1】 我们把离心率为 e=

5+1 x2 y 2 2 的双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)称为黄金双曲线.给

a

b

出以下几个说法:

2 ① 双曲线 x -

2 y2 =1 是黄金双曲线; 5 ?1

2 ② 若 b =ac,则该双曲线是黄金双曲线;

③ F1B1A2=90° 如图,若∠ ,则该双曲线是黄金双曲线; ④ MON=90° 如图,若∠ ,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的是( A.① ② C.② ③ D ) B.① ③ D.① ② ③ 5+1 1+ 2 = 5+3 2 5+1 = 2 ,双曲线是黄金双曲线.

b2 e= 1 ? 解析:① = a2
2 2 2

5+1 ② 由 b =ac,可得 c -a =ac,两边同除以 a ,即 e -e-1=0,从而 e= 2 ,双曲线是
2 2

黄金双曲线.
2 2 ③ |F1B1|2=b2+c2,|A2B1|2=b2+a2,|F1A2|2=(a+c)2,注意到∠ F1B1A2=90° ,所以 b +c +

b2+a2=(a+c)2,即 b2=ac,由② 可知双曲线为黄金双曲线.
【题2】 双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的

x2

y2

直线,交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( ) A. 6 5.B B. 3 C. 2 D. 3 3

【题3】 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两

点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 ( ) A. 2 C.2 2.B
【题4】 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近

B. 3 D.3

线的方程为 x-2y=0,则它的离心率为 ( A. 5 B. 5 2 ). C. 3 D .2

1 a 1 解析 由题意知,这条渐近线的斜率为 ,即 = , 2 b 2 c 而 e= = a 答案 A x2 y2 x2 y2 【题5】 曲线10-m+6-m=1(m<6)与曲线5-m+9-m=1(5<m<9)的( A.焦距相等 B.离心率相等 ) b 1+( )2= 1+22= 5,故选 A. a

C.焦点相同 D.以上都不正确 2 2 x y x2 y2 解析: 由10-m+6-m=1(m<6)知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, 由5-m+9-m= 1(5<m<9)知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线. 答案:D x2 y2 4 【题6】 已 知双曲线a2-b2=1 的一条渐近线方程 为 y=3x,则双曲线的离心率为( 5 A.3 4 B.3 5 C.4 3 D.2 )

解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 b 4 c a=3,可得 e=a= 答案:A
【题7】

32+42 5 =3. 3

设△ABC 是等腰三角形,∠ABC=120° ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的 双曲线的离心率为( )

A.

1+ 2 2

B.

1+ 3 2

C.1+ 2

D.1+ 3

【解析】 由题意 2c=|BC|,所以|AC|=2×2c×sin 60° =2 3c,由双曲线的 c 定义,有 2a=|AC|-|BC|=2 3c-2c?a=( 3-1)c,∴e=a= 【答案】 B 1+ 3 1 = 2 . 3-1

【题8】 双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120° ,则双曲线的离

心率为( A. 3 [答案] B B.

) 6 2 C. 6 3 D. 3 3

x2 y2 [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ∵△MF1F2 为等腰三角形,∠F1MF2=120° , b 3 b2 1 ∴∠MF1F2=30° ,∴tan30° = = , 2= , c 3 c 3 c2-a2 a 1 c 3 6 =1-( )2= ,( )2= ,∴e= . c2 c 3 a 2 2
2 【题9】 已知 a、b、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距,且方程 ax +bx+c

=0 无实根,则双曲线离心率的取值范围是( A.1<e< 5-2 C.1<e<3 [答案] D [解析] 由已知 Δ=b2-4ac<0, ∴c2-a2-4ac<0. c c ∴( )2-4( )-1<0,即 e2-4e-1<0. a a ∴2- 5<e<2+ 5. 又 e>1,故 1<e<2+ 5. B.1<e<2 D.1<e<2+ 5

)

【题10】 如图,椭圆 C1,C2 与双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1,e2,e3 与 e4,则 e1,e2,

e3,e4 的大小关系是(

)

A.e2<e1<e3<e4 C.e1<e2<e3<e4 [答案] A

B.e2<e1<e4<e3 D.e1<e2<e4<e3

[解析] 椭圆离心率越大越扁,双曲线离心率越大,开口越广阔. x2 y2 b>0)的两个焦点为 F1、 F2, 【题11】 双曲线a2-b2=1(a>0, 若 P 为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) C.(3,+∞) [答案] B [ 解析 ] 由双曲线的定义得, |PF1| - |PF2| = |PF2| = 2a , |PF1| = 2|PF2| = 4a , ∵|PF1| + B.(1,3] D.[3,+∞) )

|PF2|≥|F1F2|, c ∴6a≥2c, ≤3,故离心率的范围是(1,3],选 B. a
【题12】 已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交

点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有( 1 1 2 A. 2+ 2=4 B.e2 1+e2=4 e1 e2 1 1 C. 2+ 2=2 e1 e2 [答案] C
? ?|PF1|+|PF2|=2a [解析] 设椭圆长半轴长为 a,双曲线实半轴长为 m,则? ?||PF1|-|PF2||=2m ?
2 D.e2 1+e2=2

)

① ②

①2+②2 得:2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2 代入上式得 4c2=2a2+2m2, 1 1 两边同除以 2c2 得 2= 2+ 2,故选 C. e1 e2 x2 y2 x2 y2 2 2 【题13】 已知 a>b>0,e1,e2 分别为圆锥曲线a +b =1 和a2-b2=1 的离心率,则 lge1+lge2 的值( ) B.大于 1 A.大于 0 且小于 1

C.小于 0 [答案] C

D.等于 0

a2-b2 a2+b2 a4-b4 a2 [解析] ∵lge1+lge2=lg +lg =lg <lg 2=0,∴lge1+lge2<0. a a a2 a x2 y2

【题14】 双曲线b2-a2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为(

)

A.2 C. 2 c2 ∴a=b,∴c =2a ,∴a2=2,∴e= 2.
2 2

B. 3 3 D.2

x, 解析 依题意知,双曲线的渐近线方程为 y=±

答案 C x2 y2 x2 y2 2 2 【题15】 已知双曲线a -b =1 和椭圆m2+b2=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么 以 a,b,m 为边长的三角形一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 a2+b2 解析 记 e1= a ,e2= ) B.直角三角形 D.等腰三角形 m2-b2 e2=1,∴ ,又 e1· m

a2+b2· m2-b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =1, 化简得 b (m -a -b )=0, ∵b >0, ∴m -a -b =0, 即 m =a +b , am ∴以 a、b、m 为边长的三角形一定是直角三角形. 答案 B
【题16】 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率

为(

) A. 6 6 C. 2 B. 5

5 D. 2 b 解析 依题可设渐近线的方程为 y=-ax, 代入点(4,-2),得 a=2b.
2 2 c2 a +b 5b2 5 2 ∴e =a2= a2 =4b2=4,

5 又∵e>1,∴e= 2 .

答案 D x2 y2 【题17】 过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的 1 两条渐近线的交点分别为 B,C.若 AB =2 BC ,则双曲线的离心率是 ( ) A. 2 C. 5 a2 B. 3 D. 10

解析:右顶点为 A(a,0),则直线方程为 x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的 ab a2 ab 2a2b 2a2b 交点坐标 B(a+b,a+b),C(a-b,-a-b),则 BC =(a2-b2,-a2-b2), AB = ab ab (-a b,a b). + + 又 2 AB = BC ,∴2a=b,∴e= 5. 答案:C
【题18】 已知 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴

x2

y2

的直线交双曲线于 A , B 两点 . 若△ ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A.1+ 2 C. 2 解析:∵△ABF2 是直角三角形, ∴∠AF2F1=45° , b2 |AF1|=|F1F2|, a =2c.
2 2 2 ∴b =2ac,∴c -a =2ac, 2 ∴e -2e-1=0.

B.1± 2 D. 2± 1

解得 e=1± 2.又 e>1, ∴e=1+ 2. 答案:A
【题19】 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为边作正△MF1F2.

x2

y2

若双曲线恰好平分该三角形的另两边,则双曲线的离心率为 ( ) A.1+ 3 B.4+2 3

C.2 3-2 解析:如图,设 N 为 MF2 的中点,N 在双曲线上, ∴|NF1|-|NF2|=2a. 又|F1N|= 3c,|NF2|=c, ∴ 3c-c=2a, c 2 ∴e=a= 3-1= 3+1. 答案:A

D.2 3+2

【题20】 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近

线 ( A. 5

的 ).







x 5 2



2y



0

















B.

C. 3

D .2

1 a 1 解析 由题意知,这条渐近线的斜率为 ,即 = , 2 b 2 c 而 e= = a 答案 A b 1+( )2= 1+22= 5,故选 A. a


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