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【解析】【2013潍坊市一模】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试 理科数学



20 1 3 年高考模拟考试



学(理工农医类)

2013.3

本试卷共 4 页,分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时 间 120 分钟.

第 1 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 只

3?i 的共轭复数 z ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

【答案】B

z?

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

x 2.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ?

?

?

(A) ?1, 2 ? 【答案】D

(B) ?1, 2?

(C)[1,2)

(D) (1,2]

A ? ? x | 2 x ? 4? ? {x x ? 2} , 由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 , 即 B ? { x x? 1}, 所 以
,所以选 D. A ? B ? { x 1 ? x ? 2} 3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A (B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要条件

当 ? / / ? 时,由 l ? 平面 ? 得, l ? ? ,又直线 m ∥平面 ? ,所以 l ? m 。若

l ? m ,则推不出 ? / / ? ,所以“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的充分不必要条件,选 A.
4.设随机变量 X ~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p , ,则 P(2<X<4)= ( A)

1 ?p 2
因 为

( B)l—p

(C)l-2p

(D)

1 ?p 2

【答案】C

P(

?X

4 ? )

P

?X, (

?2 所

p以 )

P(2<X<4)=

-1-

1 ? P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? 1 ? 2 p ,选 C.
5.设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x2 g ( x) 的部分图象可以 为.

【答案】C

y ' ? cos x ,即 g ( x) ? cos x ,所以 y ? x2 g ( x) ? x2 cos x ,为偶函数,图象关
于 y 轴对称,所以排除 A,B.当 y ? x cos x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?
2

?
2

? k? , k ? Z ,即函数过原

点,所以选 C.

6.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C) n ≤7 (D) n ≤8 【答案】C 本 程 序 计 算 的 是 S ? 2 ? 2 ??? 2 ?
2 n

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 , 由 1? 2

2n?1 ? 2 ?

2,得4 n?1 ? 256 ,解得 n ? 7 。此时 n ? 1 ? 8 ,不满足条件,输出,所以①应 5 2

为 n ? 7 ,选 C. 7.若不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对任意的 x ? R 恒成恒成立,则实数 k 的取值范围 (A) (-2,4) 【答案】B (B) (0,2) (C) [2,4] (D) [0,2]

-2-

因为 x ? 2 ? x ? 3 的最小值是 1,所以要使不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对任 意的 x ? R 恒成恒成立,则有 1 ? k ? 1 ,即 ?1 ? k ? 1 ? 1,所以 0 ? k ? 2 ,即实数 k 的取值 范围 (0, 2) ,选 B. 8.某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排 成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那 么不同排法种数为 (A)360 (B)520 (C)600 (D)720 【答案】C
1 2 4 若 甲 乙 只 有 一 个 参 加 , 则 有 C2C 5 A 4 ? 480 . 若 甲 、 乙 同 时 参 加 , 则 有 2 C52 A2 A32 ? 120 ,所以共有 600 种排法,选 C.

9. 定义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 , 若函数 f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则将 f ( x ) 的图象向右平移

? 3

个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 (A) x ? 【答案】A 由定义可知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 右平移

?
6

(B) x ?

?
4

(C) x ?

?
2

(D) x ? ?

?
6

) ,将 f ( x) 的图象向

? ? ? 5? 5? ? ) , 2x ? ? ? k? , k ? Z 个单位得到 y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? 由 3 6 6 6 2 3 2? k? 2? ? ? ? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,对称轴为 x ? ? ? ,选 A. 得对称轴为 x ? 3 2 3 2 6 ? 1 0.已知 ? , ? ? (0, ) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是 2 1 3 3 3 2 (A) (B) (C) (D) 4 4 2 4
【答案】B 由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

tan ? ? tan ? 3 tan ? ? 4 tan ? ,得 tan? ? , 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan2 ?

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 tan ? ? 0 。所以 tan ? ?

3 1 ? 4 tan ? tan ?

? 2

3 1 ? 4 tan ? tan ?

?

3 , 4

当且仅当 所以选 B.

1 ? 4 tan ? , ta 即 n tan ?

2

? ? ,tan ? ?

1 4

1 3 时, 取等号, 所以 tan ? 的最大值是 , 2 4

-3-

1 1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲 线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? (A) 2 2 【答案】B 抛物线的焦点为 ( (B)3 (C) 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5

2 AF ,则 A 点的横坐标为
(D)4

p p , 0) ,准线为 x ? ? 。双曲线的右焦点为 (3, 0),所以 2 2

p ? 3 , p ? 6 , y 2 ? 6x 。 F 做准线的垂线, 即 即 过 垂足为 M,则 AK ? 2 AF ? 2 AM , 2
即 KM ? AM ,设 A( x, y) ,则 y ? x ? 3 代入 y 2 ? 6 x ,解得 x ? 3 。选 B. 1 2.已知 f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3), g ( x) ? 2? x ? 2 ,同时满足以下两个条件: ① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 (A) ( ?4, ) (C) (?4, ?1) ? (?1,0) 【答案】C 解:由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 ,要使对于任意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立,则

1 2

1 , 0) 2 1 1 (D) (?4, ?2) ? (? , ) 2 2
(B) (??, ?4) ? (?

x ? ?1 时, f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3) ? 0 恒成立, a ? 0 , 故 且两根 ?2a 与 a ? 3 均比 ?1
大,得 ?4 ? a ? 0 ①. 因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 只要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即可,所以 a ? ?

1 或 a ? ?2 ②,由①、②求交,得 2 1 1 ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2) ? (? , 0) ,选 C. 2 2

第Ⅱ卷

(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 1 6 分. 1 3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 2 b2




曲线的离心率等于

-4-

【答案】 5

b 1 x 。直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? 。因为 a 2 b b 1 2 2 2 2 y ? x 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直, 所以 ? (? ) ? ?1 , b ? 2a 。 即 所以 c ? a ? b ? 5a , a a 2
双曲线的渐近线为 y ? ? 即 e2 ? 5, e ? 5 。 1 4.已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线长均为 2, 则球为 O 的表面积为 8? 【答案】 。

圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球 半径为 2 ,所以球的表面积为 4? ? ( 2)2 ? 8? 。 1 5.在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、b, 则使得函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b2 有零点的概率 为 【答案】 。

1 4
函数有零点,则 ? ? a ? 4b ? 0 ,即 (a ? 2b)(a ? 2b) ? 0 。又 ?
2 2

?0 ? a ? 4 , ?0 ? b ? 4

做出对应的平面区域为 积为

,当 a ? 4 时, b ? 2 ,即三角形 OBC 的面

1 4 1 ? 4 ? 2 ? 4 ,所以由几何概型可知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b2 有零点的概率为 ? 。 2 4? 4 4
10cm, 项,则

1 6. 现有一根 n 节的竹竿, 自上而下每节的长度依次构成等差数列, 最上面一节长为 最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中 n= 。 【答案】16

设 对 应 的 数 列 为 {an } , 公 差 为 d ,(d ? 0) 。 由 题 意 知 a1 ? 10 ,

an ? an?1 ? an?2 ? 114 ,a62 ? a1an 。由 an ? an?1 ? an?2 ? 114 得 3an?1 ? 114 ,解得 an?1 ? 38 ,
即 (a1 ? 5d ) ? a1 (an?1 ? d ) , 即 ( 1 ?0 d 5? )
2
2

, 8 ? d 0 ( 3解 得 d ? 2 , 所 以 1 )

an?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 。

-5-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的

两个相邻对称中心的距离为

? ? ,且过点 ( ,1) . 3 2

(I) 函数 f ( x ) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

1 8. (本小题满分 12 分) 某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:①每人最多答 4 个小题;②答题过程中, 若答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得 1 0 分,答错得 0 分.甲、乙两人 参加了此次竞答活动,且相互之间没有影响.已知甲答对每个题的概率为 的概为

1 ,乙答对每个题 3

2 . 3

( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率.

1 9. (本小题满分 1 2 分) 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC, AD =6,BC =4,AB =2,点 E,F 分别在 BC,AD 上, 且 E 为 BC 中点,EF∥AB。现将四边形 ABEF 沿 EF
? 折起,使二面角 A ? EF ? D 等于 60 .

( I )设这 P 为 AD 的中点,求证:CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) o, ‘

已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵, 数阵中每 一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构成等差数列 ?bn ? , Sn 是 ?bn ? 的 前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

-6-

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; ( Ⅱ ) 设 Tn ?

1 1 1 ? , 当 m?? ?1, ? 时 , 对 任 意 n ? N , 不 等 式 ? ? ??? ? 1 Sn?1 Sn ? 2 S2 n

8 t 2 ? 2mt ? ? Tn 恒成立,求 t 的取值范围. 3
21. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N

x2 y 2 6 的右侧) ,且 MN ? 3 椭圆 D: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON ,且过点 ( 2, ) a b 2
( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立?给出你的判断并说明理由.

22. (本小题满分 14 分)

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图象 2
设函数 f ( x) ? 上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

-7-

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -



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