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选修2-1第二章2.3双曲线定义及其标准方程教学设计w1


浙江省丽水中学教师教学设计
年级 高二
课题内容

科目____

数学

__ _

主备教师____

__

备课组长审核
时间 2009.12.8

2.1.1 双曲线定义及其标准方程(1)

课程标准 考试说明 教学 资源 分析 教材分析 教辅资源 知识与技能 教学 目标 分析

课程标准:基本要求:1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程,掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念. 3.了解双曲线的标准方程,能根据已知条件求出双曲线的标准方程. 发展要求:了解生成双曲线的一些方法. 了解求出双曲线方程的一些基本方法. 考试说明:1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形、标准方程. 双曲线是学生学习了椭圆之后,进一步学习用坐标法研究曲线,运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.从 知识上讲,它是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究双曲线几何性质的基础;从方法上讲,它是我们研究椭圆的延续.因 此本节课有承前启后的作用,是本章重点内容之一. 高中教学质量监控讲义 A 基础训练 多媒体

1.了解双曲线定义、焦点、焦距等基本概念; 2.了解双曲线标准方程的两种形式及其推导过程; 3.会根据条件求双曲线的标准方程. 通过对双曲线概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;通过对双曲线标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程 的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力,并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法. 通过对生活中的双曲线知识及数学实验探究激发学生的学习兴趣和创新意识,培养学生用联系的观点认识问题. 双曲线的定义及双曲线标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程。

过程与方法 情感态度与价 值观

重点 分析 难点 分析

具体细化内容 和确定依据

双曲线标准方程的建立和推导 (1)通过教学情境中具体的学习活动(如动手实验、自主探究、合作交流等) ,引导学生发现并提出数学问题,并在作出合理推导的 基础上,形成双曲线的定义; (2)引导学生寻求双曲线标准方程的研究途径,并通过对解决问题过程的反思,获得求曲线方程的一般方法.

主要教学方法

一.情境设置 (1)复习提问: (1)复习提问: 复习提问 (由一位学生口答,教师利用多媒体投影) 问题 1:椭圆的定义是什么? 问题 2:椭圆的标准方程是怎样的? 教 学 过 程 问题 3:如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么 变化?它的方程又是怎样的呢? (2)探究新知: (2)探究新知: (1)演示:引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象,并利用课件进行双曲线的模拟实验,思考 以下问题。 (2)设问:①|MF1|与|MF2|哪个大? ②点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差怎样表示? ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系? (请学生回答:应小于|F1F2| 且大于零,当常数等于|F1F2| 时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线; 当常数大于|F1F2| 时,无轨迹) 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义: 定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线,这 两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (投影) 概念中几个关键词: “平面内”“距离的差的绝对值”“常数小于 F1 F2 ” 、 、 2.双曲线的标准方程
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个性化设计与改进

现在我们可以用类似 类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程,请学生思考、回忆椭圆标准 类似 方程的推导方法,随即引导学生给出双曲线标准方程的推导(教师使用多媒体演示) (1)建系 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c(c>0) ,则 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,又设 点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<2c). (3)列式 由定义可知,双曲线上点的集合是 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. 即:

( x + c )2 + y 2
(4)化简方程

?

( x ? c )2 + y 2

= 2a ,
y

由一位学生板演,教师巡视。化简,整理得:

M

( x + c )2 + y 2

?

( x ? c )2 + y 2

= ±2a

F1

O

F2

x

移项两边平 方得

两边再平方后整理得

(c

2

? a2 x2 ? a2 y2 = a2 c2 ? a2

)

(

)

cx ? a 2 = ± a

( x ? c )2 + y 2

由双曲线定义知

2 c > 2 a 即 c > a ,∴ c 2 ? a 2 > 0 , 设 c 2 ? a 2 = b 2 ( b > 0 ) 代入上式整理得 x2 y2 ? 2 = 1( a > 0 , b > 0 ) a2 b

这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上, 双曲线的焦点在 轴上,

、F 焦点是 F1(-c,0) F2(c,0) 、 , 、F 思考: 思考: 双曲线的焦点 F1(0,-c) 2(0,c)在 y 轴上的标准方程是什么? 学生得到: 双曲线的标准方程:

y2 x2 ? = 1, (a > b > 0) . a2 b2

注: (1)双曲线的标准方程的特点: ①双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种:

x2 y2 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为: 2 ? 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ); a b
焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为:
2 2 2

y2 x2 ? = 1( a > 0 ,b > 0 ) a2 b2
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② a, b, c 有关系式 c = a + b 成立,且 a > 0, b > 0, c > 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a = b, a < b, a > b
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(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 y 2 项的分母的大 小来确定, 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所
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在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上 三.数学应用

2

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例 1 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0),F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F,F2 的距离之差的绝对 1 值等于 8,求双曲线标准方程 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
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x2 y2 ? = 1( a > 0 , b > 0 ) a 2 b2

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∵ 2a = 8,2c = 10

∴ a = 4, c = 5

∴ b = 5 ? 4 = 16
2 2 2

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所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? =1 9 16

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变式 1:若|PF1|-|PF2|=6 呢?

变式 2:若||PF1|-|PF2||=8 呢?

变式 3:若||PF1|-|PF2||=10 呢?

四.课堂小结: 双曲线的两类标准方程是

x2 y2 y 2 x2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 焦点在 x 轴上, 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 焦 a2 b a b
2 2
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点在 y 轴上, a, b, c 有关系式 c = a + b 成立, a > 0, b > 0, c > 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 且
2

a = b, a < b, a > b

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