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第二章 基本初等函数(Ⅰ) §2.3 幂函数



§ 2.3

幂函数

1.幂函数的概念 一般地,形如 y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 幂函数的特征: (1)以幂的底为自变量,指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数); (2)xα 前的系数为 1,项数只有 1 项. 要注意幂函数与指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)的区别,这里

底数 a 为常数,指数为变 量.

2.五个具体幂函数的图象与性质 1 当 α=1,2,3, ,-1 时,在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示. 2 结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下: (1)在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1); (2)如果 α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数; (3)如果 α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x 从右边趋向 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴;当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴; 1 (4)当 α=1,3,-1 时,幂函数为奇函数;当 α=2 时,幂函数为偶函数;当 α= 时,幂 2 函数既不是奇函数也不是偶函数. 说明: 对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双, 大 竖小横”这一记忆的口诀.即 α>0(α≠1)时的图象是抛物线型,α>1 时的图象是竖直抛物线 型,0<α<1 时的图象是横卧抛物线型,α<0 时的图象是双曲线型

题型一 理解幂函数的图象与性质 下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数 α 取 1,3, 时,幂函数 y=xα 是增函数 2 D.当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 - 解析 当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=x 1 的图象不通过原点,故选项 A 不正确;因为 所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可 - 能出现在第四象限,故选项 B 不正确;而当 α=-1 时,y=x 1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)

上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案 C

题型二

幂函数定义及性质的应用

1 已知幂函数 f(x)=(t3-t+1)x (7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增 5 函数,求实数 t 的值. p 分析 关于幂函数 y=xα (α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设 (|p|、|q|互质),当 q 为偶数 q p p 时,p 必为奇数,y=x 是非奇非偶函数;当 q 是奇数时,y=x 的奇偶性与 p 的值相对应. q q 3 解 ∵f(x)是幂函数,∴t -t+1=1, ∴t=-1,1 或 0. 7 当 t=0 时,f(x)=x 是奇函数; 5 2 当 t=-1 时,f(x)=x 是偶函数; 5 8 2 8 当 t=1 时,f(x)=x 是偶函数,且 和 都大于 0, 5 5 5 在(0,+∞)上为增函数. 8 2 故 t=1 且 f(x)=x 或 t=-1 且 f(x)=x . 5 5 点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件 t∈Z 给予足够的重视.

题型三 幂函数的图象 如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象,则( )

A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 解析 在(0,1)内取同一值 x0,作直线 x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如 图,0<m<1,n<-1.

答案 B 点评 在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,图象越靠近 x 轴;在区间(1,+∞)上,幂函 数的指数越大,图象越远离 x 轴.

1 已知 x2>x ,求 x 的取值范围. 3 1 1 2 错解 由于 x ≥0,x ∈R,则由 x2>x ,可得 x∈R. 3 3 错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其是 y=xα 在 α>1 和 0<α<1 两种情况下图象的分布. 正解

1

作出函数 y=x2 和 y= x 3 的图象(如右图所示),易得 x<0 或 x>1.

幂函数在高考中几进几出, 在课改实验区是高考的一个考点. 主要考查五种具体幂函数 的图象和性质,以客观题形式出现,属于试卷中的容易题. 1 ? ? (山东高考)设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α ? ? 值为( )

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 解析 根据幂函数的定义和性质易得 x=1,3 时,定义域为 R 且为奇函数. 答案 A

1 1.在函数 y= 2,y=2x2,y=x2+x,y=1 (x≠0)中幂函数的个数为( ) x A.1 B.0 C.2 D.3 答案 C 解析 依据幂函数的定义判定,应选 C. 1 2.幂函数 f(x)的图象过点?4,2?,那么 f(8)的值为( ) ? ? 2 1 A.2 6 B.64 C. D. 4 64 答案 C 1 1 1 1 解析 设 f(x)=xα (α 为常数),将?4,2?点代入得 =4α,∴α=- ,f(x)=x- ,∴f(8) ? ? 2 2 2 1 2 =8- = . 2 4 3.如果幂函数 y=(m2-3m+3)· 2-m-2 的图象,不过原点,则 m 的取值是( xm )

A.-1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 C.m=2 D.m=1 答案 B 解析 据幂函数的定义,知 m2-3m+3=1, 所以 m=1,m=2.又图象不过原点, 所以 m2-m-2≤0,经验证,m=1,m=2 均适合. 4.下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是( ) A.y=2x B.y=x2 - C.y=x 2 D.y=logax (a>0,且 a≠1) 答案 B 解析 根据函数图象,选 B. 5.若幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, 2),则 f(25)的值是________. 答案 5 解析 设 y=xα,∵点(2, 2)在 y=xα 的图象上, 1 1 1 ∴ 2=2α,∴α= ,∴f(x)=x .故 f(25)=25 =5. 2 2 2 α 6.幂函数 y=x (α∈R)的图象一定不经过第________象限. 答案 四 5 2 1 3 2 2 1 7 . 把 下 列 各 数 2 , ?3? - , ?-3? 3 , ?5? 0 , ?2? , 按 由 小 到 大 的 排 列 顺 序 为 ? ? ? ?3 3 ? ? 3 ? ? __________________. 2 5 1 1 3 2 2 答案 ?-3?3<?3?- <?5?0<?2? <2 . ? ? ? ? 3 ? ? ? ?3 3 1 8.已知幂函数 f(x)=x- ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________. 2 答案 3<a<5 1 1 解析 f(x)=x- = (x>0), 由图象知 x∈(0, +∞)时为减函数, f(a+1)<f(10-2a), 又 2 x

?a+1>0, ? ∴?10-2a>0, ?a+1>10-2a. ?

?a>-1, ? 得?a<5, ?a>3. ?

∴3<a<5.

9.在图中,只画出了函数图象的一半,请你画出它们的另一半,并说出画法的依据.



对于①y=x-1 为奇函数, 其图象关于原点对称, 可画出另一半, 如图(1); 对于②y=-x3
4

为奇函数,其图象关于原点对称,可画出另一半,如图(2);对于③④y=x2+1 和 y=-x 都为 偶函数,其图象都关于 y 轴对称,可画出另一半,如图(3)(4).

10.已知 f(x)=(m2+2m)· 2+m-1,m 是何值时,f(x)是 xm (1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 解 (1)若 f(x)为正比例函数,则 ? 2 ?m +m-1=1 ? 2 ,∴m=1. ?m +2m≠0 ? (2)若 f(x)为反比例函数,则 ? 2 ?m +m-1=-1 ? 2 ,∴m=-1. ?m +2m≠0 ? (3)若 f(x)为二次函数,则 ? 2 ?m +m-1=2 -1± 13 ? 2 ,∴m= . 2 ?m +2m≠0 ? (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1,∴m=-1± 2。

学习目标 1.掌握幂函数的概念. 1 2.熟悉 α=1,2,3, ,-1 时幂函数 y=xα 的图象与性质. 2 3.能利用幂函数的性质来解决一些实际问题. 预习自测 1.一般地,幂函数的表达式为 y=xα;其特征是以幂的底数为自变量,指数为常数. 2.幂函数的图象 1 - y=x y=x2 y=x3 y=x y=x 1 2 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
1

在同一坐标系中,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x 2 ,y=x 填写上表.

-1

的图象如图.结合图象,

答 如图所示 y=x 定义域 y=x2 y=x3
1

y=x 2 R R R [0,+∞)

y=x ?1 (-∞,0)∪ (0,+∞)

R 值域

[0,+∞)

R

[0,+∞)

(-∞,0)∪ (0,+∞)

奇 奇偶性 单调性 增





非奇非偶



[0,+∞)↑ (-∞,0]↓ (0,0), (1,1) (0,0), (1,1)





(0,+∞)↓ (-∞,0)↓ (1,1)

定点

(0,0), (1,1)

(0,0), (1,1)

一、理解幂函数的概念 例 1 函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数, 求 f(x)的解析式. 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出 m,再由单调性确定 m. 解 根据幂函数定义得 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数; - 当 m=-1 时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故 f(x)=x3. 点评 幂函数 y=xα (α∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数

α 为常数(也可以为 0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本例来 说,还要根据单调性验根,以免增根. 1 变式迁移 1 已知 y=(m2+2m-2)x 2 +2n-3 是幂函数,求 m,n 的值. m -1

?m +2m-2=1 ? 2 解 由题意得?m -1≠0 ?2n-3=0 ? ?m=-3 ? 解得? 3 , ? ?n=2
3 所以 m=-3,n= . 2

2



二、幂函数单调性的应用 例 2 比较下列各组数的大小 1 7 5 5 7 (1) 3- 与 3.1- ;(2)-8- 与-?9? . ? ?8 2 2 8 分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性, 当不便利用单调性时, 可用 0 与 1 去比 较,这种方法叫“搭桥”法. 5 解 (1)函数 y=x- 在(0,+∞)上为减函数, 2 5 5 又 3<3.1,所以 3- >3.1- . 2 2 1?7 1 7 1 7 7 7 1 1 (2)-8- =-?8? ,函数 y=x 在(0,+∞)上为增函数,又 > ,则?8? >?9? , ? 8 ? ?8 ? ? 8 8 8 8 9 1 7 7 从而-8- <-?9? . ? ?8 8 点评 比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用“搭 桥”法进行分组,常数 0 和 1 是常用的参数. 变式迁移 2 比较下列各组数的大小: 2 2 π 2 (1)?-3?- 与?-6?- ; ? ? 3 ? ? 3 2 3 2 (2)4.1 ,(-1.9) 与 3.8- . 5 5 3 2? 2 ?2? 2 ? π? 2 ?π? 2 解 (1)?-3?- =?3?- ,?-6?- =?6?- , ? 3 3 3 3 2 2 π ∵函数 y=x- 在(0,+∞)上为减函数,又∵ > , 3 3 6 2? 2 ?2? 2 ?π? 2 ? π? 2 ∴?-3?- =?3?- <?6?- =?-6?- . ? 3 3 3 3 2 2 2 2 3 (2)(4.1) >1 =1,0<3.8- <1- =1,(-1.9) <0, 5 5 3 3 5 3 2 2 所以(-1.9) <3.8- <(4.1) . 5 3 5

三、幂函数性质的综合应用

(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随 x m m 的增大而减小,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的范围. 3 3 解 ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴3m-9<0,解得 m<3, 又 m∈N*,∴m=1,2. 又函数图象关于 y 轴对称, ∴3m-9 为偶数,故 m=1, 1 1 ∴有(a+1)- <(3-2a)- . 3 3 1 又∵y=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均递减, 3 ∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a, 2 3 解得 <a< 或 a<-1. 3 2 点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时,一定要考虑幂函数的定义.(2)幂函数 y=xα, 由于 α 的值不同,单调性和奇偶性也就不同. 变式迁移 3 已知幂函数 y=xm2-2m-3 (m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关 于 y 轴对称,求 m 的值,且画出它的图象. 解 由已知,得 m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3. 又∵m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3, - 当 m=0 或 m=2 时,y=x 3 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不符合题意. 当 m=-1 或 m=3 时,有 y=x0,其图象如图①所示. - 当 m=1 时,y=x 4,其图象如图②所示.

例 3 已知幂函数 y=x3m

-9

1.本节的幂函数不同于其他几种初等函数,虽然形式只有一种:y=xα,但随 α 值的不 同所产生的多种幂函数,在性质、图象方面有一些差异,所以幂函数知识比较繁琐,须把握 规律,加强理解和记忆. 2.幂函数 y=xα 与指数函数 y=ax (a>0,a≠1)在形式上有相近的地方,但有本质的不 同. (1)幂函数的自变量是底数,指数函数的自变量是指数. (2)指数函数是整个定义域上的单调函数,但幂函数却不一定. (3)有些幂函数有奇偶性,但所有的指数函数都不具有奇偶性.

一、选择题 1.下列命题: ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ②幂函数的图象不可能在第四象限; ③n=0 时,y=xn 的图象是一条直线; ④幂函数 y=xn,当 n>0 时,是增函数; ⑤幂函数 y=xn,当 n<0 时,在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小.

其中正确的是( ) A.①和④ B.④和⑤ C.②和③ D.②和⑤ 答案 D 2.下列函数中,不是幂函数的是( ) -1 x A.y=2 B.y=x C.y= x D.y=x2 答案 A 1 1 1 ? ? 3.设 α∈?-2,-1,-2,3,2,1,2,3?,则使 f(x)=xα 为奇函数且在(0,+∞)内单 ? ? 调递减的 α 值的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 4.当 x∈(1,+∞)时,下列函数图象恒在直线 y=x 下方的偶函数是( ) 1 -2 -1 2 A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 答案 B 5.如果幂函数 y=(m2-3m+3)· 2-m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是( xm ) A.-1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 C.m=2 D.m=1 答案 B ? 2 ?m -3m+3=1 解析 由已知? 2 ? ?m -m-2≤0 ∴m=1 或 m=2. 二、填空题 1 6 . 若 幂 函 数 y = f(x) 的 图 象 经 过 点 ?9,3? , 则 f(25) = ? ? ________________________________________________________________________. 1 答案 5 1 1 解析 设 f(x)=xα,则 9α= ,α=- . 3 2 1 1 ∴f(25)=25- = . 2 5 7.设幂函数 y=xα 的图象经过点(8,4),则函数 y=xα 的值域是______________. 答案 [0,+∞) 2 2 解析 由 4=8α,得 α= ,∴y=x ≥0. 3 3 8.

如图所示是幂函数 y=xα 在第一象限内的图象,已知α 取±2,± 四个值,则相应于 曲线 C1,C2,C3,C4 的α 依次为 . 1 1 答案 2, ,- ,-2 2 2 三、解答题 1 9.已知点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点?-2,4?在幂函数 g(x)的图象上,问当 x ? ? 为何值时,

(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x). 解 设 f(x)=xα,由题意得:2=( 2)2?α=2, ∴f(x)=x2.

同理可求:g(x)=x-2,在同一坐标系内作出 y=f(x)与 y=g(x)的图象,如图所示. 由图象可知: (1)当 x>1 或 x<-1 时, f(x)>g(x). (2)当 x=±1 时,f(x)=g(x). (3)当-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<g(x). 10.已知函数 y=(a2-3a+2)xa2-5a+5 (a 为常数). (1)a 为何值时此函数为幂函数? (2)a 为何值时此函数为正比例函数? (3)a 为何值时此函数为反比例函数? 解 (1)由题意,得 a2-3a+2=1, 即 a2-3a+1=0. 3± 5 3± 5 解得 a= ,即 a= 时,此函数为幂函数; 2 2 ?a2-5a+5=1, ? (2)由题意,得? 2 ? ?a -3a+2≠0. 解得 a=4,即 a=4 时,此函数为正比例函数; ?a2-5a+5=-1, ? (3)由题意,得? 2 ? ?a -3a+2≠0. 解得 a=3,即 a=3 时,此函数为反比例函数.



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