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概率统计第1-5章复习(2013-5-18)



复习 1
1. 已知 P ? A ? ? 解

1 1 5 , P ? B ? ? , P ? A ? B ? ? , 求 P ? AB ? , P ? AB ? . 3 6 12 1 1 5 1 P ? AB ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? P ? A ? B ? ? ? ? ? 3 6 12 12 1 1 1 P ? AB ? ? P ? A ? ? P ? AB ? ? ? ? 3 12 4

2. 已知 P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.4, P( AB ) ? 0.5, 求 P( A ? B) 。

5 3.设随机变量 X ~ b( 2, p ), Y ~ b( 4, p ), 并且 P( X ? 1) ? ,求P(Y ? 1) 。 9

19 ,求 P ? X ? 2? 。 27 19 19 1 3 ? 1 ? P ? X ? 0? ? 1 ? ?1 ? p ? ,得 p ? , 解: 由 P ? X ? 1? ? ,? 27 27 3
4.已知随机变量 X ~ b ? 3, p ? ,并且 P ? X ? 1? ?

7 ?1? ? 2? 3?1? ? P ? X ? 2? ? P ? X ? 2? ? P ? X ? 3? ? C ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? 27
2 3

2

3

5.设随机变量 X ~ ? ? ? ? ,并且 P? X ? 3? ? P ? X ? 4? ,求 E ? X ? 。 解 由 P? X ? 3? ? P ? X ? 4? ,得

? 3 e? ?
3!

?

? 4 e? ?
4!

, ? ? ? 4 , E ? X ? ? ? ? 4。

6.设离散型随机变量 X 的可能取值为 -1,0,1,3,相应的概率依次为 求概率 P( X ? 2) 。

1 3 5 7 , , , , 16 16 16 16

7.随机变量 X 与 Y 相互独立,下表中给出了 X 与 Y 的联合分布的部分数值,请将表中其余未 知数值填齐。 Y X

y1

y2

y3

P{X= xi}

x1
1 8 1 6

1 8

x2
P{Y= yj}

8.随机变量 X 与 Y 相互独立,下表中给出了 X 与 Y 的联合分布的部分数值,请将表中其余未 知数值填齐。 X Y

1

2

3

P ?Y ? y j ?

1 2

1 6 1 3 1 2

1 9 2 9 1 3

1 18 1 9 1 6

1 3 2 3

P ? X ? xi ?

9.设随机变量 Y 服从参数 ? ? 的概率。

1 2 的指数分布,求关于 x 的方程 x ? Yx ? 2Y ? 3 ? 0 没有实根 2

10.设随机变量 X 服从 [?1, 4] 上的均匀分布, 求一元二次方程 t 2 ? Xt ? 1 ? 0 有实根的概率。 解 而 X 的概率密度 f ( x) ? ?

?1/ 5, ?1 ? x ? 4, 其它. ? 0,

2 2 因为当 ? ? X ? 4 ? 0 时, t ? Xt ? 1 ? 0 有实根, 故所求的概率为

P{X 2 ? 4 ? 0} ? P{( X ? 2) ? ( X ? ?2)} ? P{X ? 2} ? P{X ? ?2} ,
??
?? 2

f ( x)dx ? ?

?2 ??

f ( x)dx ? ?

4 2

1 2 dx ? 。 5 5

2 11. 设随机变量 X 在 [?3, 5] 上服从均匀分布, 求一元二次方程 t ? 2 Xt ? 1 ? 0 有实根的概率.

12. 设 X1 , X 2 是来自正态总体 N ? 20,16? 的样本,求 E ? X1 ? 2 X 2 ? , D ? X1 ? 2 X 2 ? 。 解

E? X X 20 ? X ? 1 ?2 X 2? ? E 1 ?2 ?E ? 2 ? ? D ? X1 ? 2 X 3 ? ? D ? X1 ? ? 4D ? X 3 ? ? 80

Y ,求 E ?W ? , 13. 设 X , Y , Z 相互独立, X 在 [0, 6] 上服从均匀分布,Y ~ ? ? 2? 。 令W ? X ? 2

D ?W ? 。
解 E ?W ? ? E ? X ? ? 2E ?Y ? ? 3 ? 4 ? ?1 ,

D ? W? ? D D ?Y?3 ?8 ?1。 1 ? X ? ?4 ?
14.设 X , Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且 X~N(-3,1),Y~N(2,1),求随机变 量 Z=X-2Y+7 服从什么分布? 15. 给出协方差和相关系数的定义,并解释独立和不相关之间的关系。

16. 一场精彩的足球赛将要举行,5 个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽 签的方法来解决。5 张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写。将它们放在 一起,洗匀,让 5 个人依次抽取。请你用概率的方法来评判“先抽的人要比后抽的人抽到的机会 大?”这一论断的是否正确。 (需要给出必要步骤) 17. 商店成箱出售玻璃杯,每箱 20 只,其中每箱含 0,1,2 只次品的概率分别为 0.8, 0.1, 0.1, 某顾客选中一箱,从中任选 4 只检查,结果无次品,便买下了这一箱。否则退回,问(1) 顾客买 下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有次品的概率。 18. 设甲箱内有 7 只红球 3 只黑球, 乙箱内有 4 只红球 5 只黑球。 先从甲箱内任取一球放入乙箱, 再从乙箱内任取一球。 (1)求从乙箱内任取的一球为红球的概率; (2)若从乙箱内任取一球为红球,求从甲箱取出的球也是红球的概率。 解:设 A ? 从甲箱取红球 ,B ? 从乙箱取红球 , 由题意知

?

?

?

?

P( A) ? 0.7,
(1) 由全概率公式

P( A )? 0 . 3 , P( B A) ? 0.5,

P( B A )? 0 . 4 ,

P( B) ? P( A) P( B A) ? P( A) P( B A) ? 0.7 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.47
(2) 所求概率为 P( A B), 由条件概率公式,得

P( A B) ?

P( AB) P( A) P( B A) 0.7 ? 0.5 35 。 ? ? ? P( B) P( B) 0.47 47

19. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应,由长期经验知,他们的正品率分别为 0.95,0.90, 0.80,三家产品所占比例为 2 : 3 : 5 ,将他们的产品混合在一起。 (1)从中任取 1 件,此件产品为正品的概率; (2)现取 1 件产品为正品,求它来自甲厂的概率。 20. 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟) X 服从指数为 λ=1/5 的指数分布。 若等待 时间超过 10 分钟,则他离开。假设他一个月内要来银行 5 次, 以 Y 表示一个月内他没有等到服 务而离开窗口的次数。求 Y 的分布律及至少有一次没有等到服务的概率 P{Y≥1}。 21. 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?6 e?2 x ?3 y , x ? 0 , y ? 0 , f ( x , y) ? ? 0 , 其它. ?
(1)判断 X , Y 是否相互独立; (2)求 P ?Y ? X ? 。 解 (1) f X ( x) ? ?

?2e?2 x , x ? 0, ?0, 其他.

?3e?3 y , y ? 0 , fY ( y ) ? ? ?0, 其他.

Q ?x, y, 有

f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y)成立, 所以 X、Y 独立。

(2) P ?Y ? X ? ?
?

y? x

?? f ? x, y ? dxdy ? ?
3 。 5

?

0

dx ? 6 e?2 x ?3 y dy
0

x

? ? 2e?2 x ?1 ? e?3 x ? dx ?
0

22. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?ke ? ( 2 x ? 3 y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 0, 其它 ?
(1)求常数 k 的值; (2)求(X,Y)的分布函数 F(x,y); (3)判断 X 与 Y 是否相互独立; (4)求 P( X ? 2Y ? 1) 。 23. 设随机变量 X 的概率密度为

0 ? x ? 1, ?ax, ? f ? x ? ? ? x ? 1, 1 ? x ? 2, ?0, 其它. ?
(1)求常数 a 的值; 解: (1)由 1 ? (2)求随机变量 X 的数学期望 E ? X ? 。
1 2

?

?

??

f ? x ? dx ? ? axdx ? ? ? x ? 1? dx ?
0 1

1 1 a ? ,? a ?1 2 2

0 ? x ? 1, ?1x, ? ? f ? x ? ? ? x ? 1, 1 ? x ? 2, ?0, 其它. ?
(2) E ? X ? ?
1 2 1 7 3 7 2 2 xf x dx ? x dx ? ? ? ??? ?0 ?1 ? x ? x ? dx ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 。 ?

24. 将两封信随机地投入到三个邮筒中去,X 表示第一个邮筒中信的个数,Y 表示第二个邮筒中 信的个数,求(X,Y)的分布律及边缘分布律,并说明 X 和 Y 是否相互独立? 25. 一民航机场大巴载有 20 位旅客自机场开出,旅客有 10 个车站可以下车,如到达一个车站没 有旅客下车就不停车。以 X 表示停车的次数,求 E(X)。(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立) 26. 设随机变量 X 的概率密度为

? x, ? f ? x ? ? ? 2 ? x, ?0, ?
求 X 的数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) 。

0 ? x ?1 1? x ? 2 其它

复习 2
1. 为防止意外, 在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B , 每种系统单独使用时其有效的概率 ,

系统 A 为 0.92, 系统 B 为 0.93, 在 A 失灵的条件下 B 有效的概率为 0.85. 求: (1) B 失灵的条件 下 A 有效的概率; (2 )发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率. 解 设 A 表示 “ A 系统有效” , B 表示 “ B 系统有效” . 由题设知 P( A) ? 0.92 , P( B) ? 0.93,

P( B | A) ? 0.85, 从而 P( AB) ? P(B | A)P( A) ? 0.85? 0.08 ? 0.068 . P( AB) ? P(B) ? P( AB) ? 0.93 ? 0.068 ? 0.862.
(1)在 B 失灵的条件下 A 有效的概率为

P( A | B) ?

P( AB) P( A) ? P( AB) 0.92 ? 0.862 ? ? 0.829 . ? 0.07 P( B) P( B)

(2)两个报警系统至少有一个有效的概率为

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.92 ? 0.93 ? 0.862 ? 0.988
2. 在电报通讯中不断发出信号 0 和 1, 统计资料表明, 发出 0 和 1 的概率分别为 0.6 和 0.4, 由 于存在干扰, 发出 0 时, 分别以概率 0.7 和 0.1 接收到 0 和 1, 以 0.2 的概率收为模糊信号“ x ” ; 发出 1 时, 分别以概率 0.85 和 0.05 收到 1 和 0, 以概率 0.1 收到模糊信号“ x ”. (1)求收到模糊信号“ x ”的概率; (2)当收到模糊信号“ x ”时, 以译成哪个信号为好?为什么? 解 设 Ai 表示“发出信号 i ” (i ? 0,1) ,

Bi 表示“收到信号 i ” (i ? 0,1, x) . 则 P( Bx | A1 ) ? 0.1.

P( A0 ) ? 0.6 , P( A1 ) ? 0.4 , P( Bx | A0 ) ? 0.2 ,
(1)由全概率公式

P( Bx ) ? P( Bx | A0 ) P( A0 ) ? P( Bx | A1 ) P( A1 )
? 0.2 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.16 .
(2)由贝叶斯公式

P( A0 | Bx ) ?

P( Bx | A0 ) P( A0 ) 0.2 ? 0.6 ? ? 0.75 , P( B x ) 0.16

P( A1 | Bx ) ? 1 ? P( A0 | Bx ) ? 1 ? 0.75 ? 0.25 .
这表明, 当接收到模糊信号“ x ”时, 译为信号 0 为好. 3. 设随机变量 X ~ b(2, p) , Y ~ b(4, p) , 并且已知 P{ X ? 1} ? 解

5 , 求 P{Y ? 1} . 9

X ~ b(2, p) , 且 P{ X ? 1} ?

5 , 而 9

P{X ? 1} ? 1 ? P{X ? 0} ? 1 ? (1 ? p) 2 ,
2 所以 (1 ? p ) ?

1 4 ? 1? , 解得 p ? , 从而 Y ~ b? 4, ? , 故 9 3 ? 3?

65 ? 1? . P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0} ? 1 ? ?1 ? ? ? 81 ? 3?
4.设随机变量 X 的分布函数为

4

x ? ?1, ? c, ? 1 , x ? ?1, ? F ( x) ? ? 8 ?ax ? b, ? 1 ? x ? 1, ? 1, x ? 1, ?
又已知 P{ X ? 1} ?

1 , 试求 a, b, c 的值. 4

解 由 F (??) ? 0 , 得 c ? 0 . 由 F (?1 ? 0) ? F (?1) , 得 b ? a ?

1 . 8
1 . 4

由 P{ X ? 1} ? F (1) ? F (1 ? 0) , 得 1 ? ( a ? b) ? 由以上两式可得 a ?

5 7 ,b? . 16 16

2 5.设随机变量 X 服从 [1, 6] 上的均匀分布, 求一元二次方程 t ? Xt ? 1 ? 0 有实根的概率.

2 2 解 因为当 ? ? X ? 4 ? 0 时, t ? Xt ? 1 ? 0 有实根, 故所求的概率为

P{X 2 ? 4 ? 0} ? P{( X ? 2) ? ( X ? ?2)} ? P{X ? 2} ? P{X ? ?2} ,
而 X 的概率密度

?1 ? , 1 ? x ? 6, f ( x) ? ? 5 ? 其它. ? 0,
从而

P{ X ? 2} ? ?

?? 2

f ( x)dx ? ?

6 2

1 4 dx ? , 5 5

P{X ? ?2} ? ?

?2 ??

f ( x)dx ? 0 ,
4 . 5

2 因此所求概率 P{ X ? 4 ? 0} ?

6. 设 X ~ N (0,1) ,(1)求 P{ X ? 2} ;(2)求 P X ? 2 ;(3)若已知 P{ X ? C} ? 0.025, 求 C . 解 (1) P{X ? 2} ? ?(2) ? 0.9772. (2) P X ? 2 ? P{?2 ? X ? 2} ? ?(2) ? ?(?2)

?

?

?

?

? ?(2) ? [1 ? ?(2)] ? 2?(2) ? 1

? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544 .
(3) 由 P{ X ? C} ? 1 ? P{ X ? C} ? 1 ? ?(C ) ? 0.025, 得

?(C ) ? 1 ? 0.025 ? 0.975 ,
查标准正态分布表得 C ? 1.96 . 7.已知二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?k e ?2 x ?3 y , x ? 0 , y ? 0 , f ( x , y) ? ? 0 , 其它. ?
(1)求常数 k 的值; (3) 求 P?X ? 2Y ? 1?; (5)判断 X 与 Y 是否相互独立; (7)求 E ( X ), D( X ) 。 解 (1)利用概率密度的性质 (2) 求 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y) ; (4)求 X 与 Y 的边缘概率密度; (6)问 X , Y 各服从什么分布?

1? ?
得 k ? 6 , 从而

?? ??

?

?? ??

f ( x , y) dxdy ??

??

0

?

??

0

k e ?2 x ?3 y dxdy ?

k , 6

?6e ?2 x ?3 y , x ? 0 , y ? 0 , f ( x, y ) ? ? 其它. ? 0,
(2)由定义
x y ? ?? ? 6 e ?2u ?3v dvdu, x ? 0, y ? 0, f (u , v)dvdu ? ? 0 0 ? 0, 其它. ?

F ( x , y) ? ?

x ??

?

y ??

?(1 ? e ?2 x ) (1 ? e ?3 y ), x ? 0 , y ? 0 , ?? 0 , 其它. ?
(3) ( X , Y ) 的取值区域如图 3-3 所示, 故

P{ X ? 2Y ? 1} ?

x ? 2 y ?1

??

f ( x , y )dxdy ? ? dx?
0
? 3 2

1

1? x 2 0

6e ?2 x ?3 y dy

? 1 ? 3e ?2 ? 4e

? 0.5135.

8.设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?4 x y, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, f ( x , y) ? ? 其它. ? 0,
试问 X 和 Y 是否相互独立? 解 因为 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度

f X ( x) ? ?


?? ??

f ( x , y) dy ? ? 4xy dy ? 2 x , 0 ? x ? 1 ,
0

1

?2 x, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? 其它. ? 0, ?2 y, 0 ? y ? 1, f Y ( y) ? ? 其它. ? 0,

同理可得

显然, 对任意的实数 x, y , 均有 f ( x , y) ? f X ( x) f Y ( y) , 故 X 与 Y 是相互独立的. 9.已知随机变量 X 和 Y 的联合分布律为

Y

X

?1

0
0.28 0.22

1

1 2

0.07 0.09

0.15 0.19

分别求 U ? X ? Y , V ? XY 的分布律. 解

U ? X ? Y 的可能取值为 0,1,2,3, 且
P{U ? 0} ? P{X ? Y ? 0} ? P{X ? 1, Y ? ?1} ? 0.07 ,
P{U ? 1} ? P{X ? 1, Y ? 0} ? P{X ? 2, Y ? ?1} ? 0.28 ? 0.09 ? 0.37 , P{U ? 2} ? P{X ? 1, Y ? 1} ? P{X ? 2, Y ? 0} ? 0.15 ? 0.22 ? 0.37 , P{U ? 3} ? P{X ? 2, Y ? 1} ? 0.19 .

所以 U ? X ? Y 的分布律为

U ? X ?Y

0
0.07

1

2

3
0.19

pk

0.37

0.37

同理可得 V ? XY 的分布律分别为

V ? XY

?2

?1

0
0.50

1
0.15

2

pk

0.09

0.07

0.19

10.设随机变量 X 具有概率密度

?2 x, 0 ? x ? 1, f ( x) ? ? 其它. ? 0,
随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 相互独立且与 X 有相同的分布, 试求 M ? max(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) 的概 率密度和 P?M ? 0.5?. 解 X 的分布函数为

FX ( x ) ? ?

x

??

x ? 0, ? 0, ? 2 f (t )dt ? ? x , 0 ? x ? 1, ? 1, x ? 1. ?
4

M ? max(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) 的分布函数为 FM ( x) ? ?FX ( x)? , 所以 M 的概率密度为

?8 x 7 , 0 ? x ? 1, f M ( x) ? F ( x) ? 4?FX ( x)? f ( x) ? ? 其它. ? 0,
' M 3

于是

P?M ? 0.5? ? 1 ? P(M ? 0.5) ? 1 ? FM (0.5) ? 1 ? 0.58 ? 0.9 9 6 . 1
?ax 2 ? bx ? c, f ( x) ? ? 0, ? 0 ? x ? 1, 其它.

11.设随机变量 X 的概率密度为

已知 E ( X ) ? 0.5 , D( X ) ? 0.15 , 求常数 a,b,c . 解

?

1 1 a? b?c, 3 2 ?? 1 1 1 1 E ( X ) ? ? xf ( x) dx ? ? x(ax 2 ? bx ? c) dx ? a ? b ? c , ?? 0 4 3 2 ?? 1 1 1 1 E ( X 2 ) ? ? x 2 f ( x) dx ? ? x 2 (ax 2 ? bx ? c) dx ? a ? b ? c , ?? 0 5 4 3
?? ??

f ( x) dx ? ? (ax 2 ? bx ? c) dx ?
0

1



?

?? ??

f ( x) dx ? 1 , E ( X ) ? 0.5 ,
2

E( X 2 ) ? D? X ? ? ?E? X ?? ? 0.4


1 1 a ? b ? c ? 1, 3 2 1 1 1 a ? b ? c ? 0.5 , 4 3 2 1 1 1 a ? b ? c ? 0.4 . 5 4 3 由(1),(2),(3)解得 a ? 12 , b ? ?12 , c ? 3 .

(1) (2) (3)

6.设 X1, X2, …, X10 是来自正态总体 N (0, 0.32) 的样本,求 P ? ? X i2 ? 1.44? 的概率。

? 10

? ?

?i ?1

7. 设 X,Y 相互独立, X ~N[-2,4],Y 服从参数 ? ? 1 的指数分布,求 E(XY),D(X-2Y)。 8. 设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是总体 X ~ N 0, ?

?

2

? 的样本,求

X1 ? X 2
2 2 X3 ? X4

的分布。



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