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高中数学选修4-4第二讲——参数方程课件ppt



第二讲:参数方程

曲线的参数方程

一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投 放时机呢? 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始 投放物资?
如图,建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量, 投放点 y表示物资

距地面的高度,

由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动,
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。



救援点

物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量?这些变量之间有 y 什么关系? t时刻,水平位移为 500 2/2, y=500-gt x=100t,离地面高度y,即: ? x ? 100t , ? ? 1 2 y ? 500 ? gt . ? ? 2 o 物资落地时,应有y=0, x 即500-gt2/2=0,解得,t≈10.10s, 得x≈10.10m;
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资,可以使其准确落在指定位置。

参数方程的概念: 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一 点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), ? ? y ? g (t ).

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上, 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁,可以是一个有物理意义 或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数。

例1:

(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。 解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所 以M1在曲线上.
? 5 ? 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到 ?4 ? 2t 2 ? 1 ?
?6 ? 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以?a ? 2t 2 ? 1 ?

?x ? 3t 已知曲线C的参数方程是 ? y ? 2 t 2 ? 1 (为参数) ?

这个方程无解,所以点M2不在曲线C上.

解得t=2, a=9 所以,a=9.

练习:一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资(不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是 多少?(精确到1m)

x=100t=1000,

t=10,

y=gt2/2=10×102/2=500m.

练习

?x ? 1 ? t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 ? y ? 4t ? 3(t为参数) ?

A(1,4); B (25/16, 0)

C(1, -3)

D(±25/16, 0)

? x ? sin? (?为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程? ? y ? cos?

A(2,7); B(1/3, 2/3) 3

C(1/2, 1/2)

D(1,0)

? x ? 1 ? 2t 已知曲线C的参数方程是? y ? at 2 (t为参数,a ? R)点M(5,4) ?

该曲线上. (1)求常数a; (2)求曲线C的普通方程

(1)由题意可知: 1+2t=5,at2=4;a=1,t=2;

x ?1 ( 2 )t ? 2

代入第二个方程得: y=(x-1)2/4

4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程.
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得
? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

5、由方程x ? y ? 4tx ? 2ty ? 5t ? 4 ? 0( t为
2 2 2

参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线

? x ? sin 2? 5下列在曲线 ? y ? cos? ? sin ? (?为参数) ? 3 1 1 ( , ? 2) ( ? , ) C (2, 3) A 2 B 4 2

上的点是 ( B )
D (1, 3)

参数方程求法: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .

圆的参数方程

圆周运动中,当物 体绕定轴作匀速运动 时,物体上的各个点 都作匀速圆周运动,
怎样刻画运动中点 的位置呢?

y

M(x, y) r

?
o

M0

x

如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是M(x, y),
那么θ=ωt. 设|OM|=r,那么由三角函数定义,有
x y cos ?t ? ,sin ?t ? r r



? x ? r cos ?t (t为参数) ? ? y ? r sin ?t

这就是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有
? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?

圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. ? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) , 半径为r 的圆的参数方程 ? x ? a ? r cos? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin?
b
v O

P r ?y x

a

x

一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数, 另外,要注明参数及参数的取值范围。

例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
? x ? ?1 ? cos? ∴参数方程为 ? ? y ? 3 ? sin?

(θ为参数)

3 2 练习: 判断点A( 2,0), B( 2 ,? ), C (1,3)是否在曲线 2 ? x ? 2 cos? (?为参数,0 ? ? ? 2? )上, 若在曲线上, 求 ? ? y ? 3 sin? 出它对应的参数值.

例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周 运动时,求点M的轨迹的参数方程。 y P 解:设点M的坐标是(x, y), M ?xOP ? ? Q ? o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos ? ? 6 2sin ? x? ? 3 ? cos ? , y ? ? sin ? 2 2

因此,点M的轨迹的参数方程是
? x ? 3 ? cos ? , (? 为参数) ? ? y ? sin ? .

例3 已知x、y满足( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,求 S ? 3 x ? y 的最大值和最小值.
? x ? 1 ? 2cos ? , (? 为参数) 解:由已知圆的参数方程为? ? y ? ?2 ? 2sin ? .

所以S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2cos ? ) ? (?2 ? 2sin ? ) ? 5 ? 6cos ? ? 2sin ? ? 5 ? 2 10 cos(? ? ? ) 1 (tan ? ? ) 3

Smax ? 5 ? 2 10, Smin ? 5 ? 2 10

? x ? 2 ? cos ? 1 P(x, y)是曲线 ? y ? sin ? (α为参数)上任意一点,则 ?

练习

( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为( A )
2 2

A.36

B.6

C.26

D.25

y ? x ? cos ? ? 2 2 点P(x, y)是曲线? y ? sin ? (? 为参数)上任意一点,则 x ?

的最大值为( D ) A 1
2 2

B 2

C 3

D

3 3
2

3 圆 x ? y ? 4Rx cos ? ? 4Ry sin ? ? 3R ? 0( R ? 0) 的圆心的轨迹是( A ) A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线

? x ? 2cos ? ? 1 (? 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线? ? y ? 2sin ? ? 1
x 2 ? y 2 的最大值为
2 2

5 已知点P是圆 x ? y ? 16 上一个动点,定点A(12, 0), 点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动 时,求点M的轨迹. 解:设点M的坐标是(x, y), ?xOP ? ? 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).
8 8 x ? 4 ? cos ? , y ? sin ? 3 3

2? 2 .

∵2|PM|=|MA|, ∴由题设

???? ? 2 ??? ? 2 AM ? AP ∴(x-12, y)= (4 cos ? ? 12, 4sin ? ) 3 3
8 ? x ? 4 ? cos ? , ? ? 3 (? 为参数) ? ? y ? 8 sin ? . ? 3 ?

.

因此,点M的轨迹的参数方程是

例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn) 的轨迹方程; (2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方 程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程. 例5 最值问题 已知P(x, y)圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上的点。
y (1)求 的最小值与最大值 x

(2)求x-y的最大值与最小值

例6 参数法求轨迹

已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, ?AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹. AQ:QP=2:1

例7 已知A(―1,0)、B(1,0),P为圆
( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4

上的一点,求 PA ? PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
? x ? 3 ? 2 cos? ? ? y ? 4 ? 2 sin?
2 2

2

2

PA ? PB ?
? (4 ? 2 cos? )2 ? (4 ? 2 sin? )2 ? (2 ? 2 cos? )2 ? (4 ? 2 sin? )2

? 60 ? 8(3 cos? ? 4 sin? )
? 60 ? 40sin( ? ??)

参数方程和普通方程的互化

? x ? 3 ? cos? , 在例1中,由参数方程 ? y ? sin ? . (? 为参数) ?

直接判断点M的轨迹是什么并不方便,

把它化为我们熟悉的普通方程,有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1, 轨迹是什么就很清楚了
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程: 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程; 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取 值范围保持一致,否则,互化就是不等价的.

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们 各表示什么曲线?
? ?x= sin ? ? cos? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2? ? ? y ? 1? 2 t

解: (1)由 x ? t ? 1 ? 1

得 t ? x ? 1 代入 y ? 1 ? 2 t

得到 y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线;
( 2) x ? si n? ? cos? ? 2 si n ( ??

?
4

)

所以x ? ??

2, 2

?

把 x ? sin? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin2?
2 x 得到 ? y

x ? ? 2, 2

?

?

练习、将下列参数方程化为普通方程:

? x ? 2 ? 3 cos? (1) ? ? y ? 3 sin ?
(1) (x-2)2+y2=9

? x ? sin ? (2) ? ? y ? cos2?

x=t+1/t
(3)

y=t2+1/t2

(2) y=1- 2x2(- 1≤x≤1) 步骤:(1)消参; (2)求定义域。 (3) x2- y=2(x≥2或x≤- 2)

练习 将下列参数方程化为普通方程
? x ? t 2 ? 2t (1)? 2 y ? t ?2 ?
? x ? cos ? (? 为参数) (2) ? ? y ? cos 2? ? 1

? x? ? ? ( 3 )? ?y ? ? ?

t ?1 t?2 2t t?2

2 ? x? ? ? 1? t2 ( 4 )? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

例2 求参数方程
? ? ? x ? | cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

表示( B ) (A)双曲线的一支, 这支过点(1, 1/2); (B)抛物线的一部分, 这部分过(1, 1/2); (C)双曲线的一支, 这支过点(–1, 1/2); (D)抛物线的一部分, 这部分过(–1, 1/2).

小 结
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方 法有三种: 1.代入法: 利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数 利用三角恒等式消去参数 2.三角法: 根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去 3.整体消元法: 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中 注意变量x、y取值范围的一致性,必须根据参数的取值 范围,确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。

普通方程化为参数方程:
普通方程化为参数方程需要引入参数:

如:直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0,可以化为参数方程: ?x ? t (t为参数) ? ? y ? 2t ? 2
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的 关系y=g(t),那么:
? x ? f (t )    ? ? y ? g( t )

就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x, y的取 值范围保持一致

x2 y2 ? ? 1 的参数方程: 例3 求椭圆 9 4

(1)设 x ? 3cos ? , ? 为参数;

(2)设 y ? 2t , t 为参数.

为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程?

练习: 曲线y=x2的一种参数方程是(
2 ? x ? t ? A、 ? 4 y ? t ? ?

).
?x ? t D、 ? 2 y ? t ?

? x ? sin t B、 ? 2 y ? sin t ?

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

解: 在y=x2中,x∈R,

y≥0,

在A、B、C中,x, y的范围都发生了变化, 因而与 y=x2不等价; 而在D中, x, y范围与y=x2中x, y的范围相同, 代入y=x2后满足该方程,

从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

练习 把下列普通方程化为参数方程: (1) y ? x ? y ?1 ? 0 ,设 y ? t ? 1,t为参数;
2
1 2 1 2 1 2

(2) x ? y ? a

,设

? 为参数。 x ? a cos ? ,
4

练习 把下列参数方程化为普通方程
1 ? x ? 2 ( t ? ) ? ? t (1)? ? y ? 3( t 2 ? 1 ) ? t2 ?
1 ? x ? t ? , ? ? t ( 2)? (t为参数) ?y ? t ? 1 . ? t ?

? ? x ? 1 ? 2 t (t是参数) ? x ? 5cos ? (3) ? (?为参数) (4)? ? ?y ? 3? 4 t ? y ? 3sin ?

? x ? 4 sin? 练习 P是双曲线 ? (t是参数)上任一点, ? y ? 3 tan? F1, F2是该焦点:求△F1F2的重心G的轨迹的普通方程。



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