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高中数学电子书——连续函数的性质及初等函数的连续性



连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质 函数的和、积、商的连续性 我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则,可得出以下结论: a):有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数; b):有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数; c):两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零); 反函数的连续性 若函数

[来源:][来源: ]

在某区间上单调增(或单调减)且连续, 那末它的反函数
[来源:]

也在对

应的区间上单调增(单调减)且连续

例:函数

在闭区间

上单调增且连续,故它的反函数

在闭

区间[-1,1]上也是单调增且连续的。 复合函数的连续性 设函数 当 x→x0 时的极限存在且等于 a,即: .而函数 在 .即:

点 u=a 连 续 , 那 末 复 合 函 数

当 x→x0 时 的 极 限 也 存 在 且 等 于

例题:求

解答: 注:函数 可看作
[来源:]



复合而成,且函数



点 u=e 连续,因此可得出上述结论。 设函数 复合函数

在点 x=x0 连续,且 在点 x=x0 也是连续的

,而函数

在点 u=u0 连续,那末

初等函数的连续性 通过前面我们所学的概念和性质,我们可得出以下结论:基本初等函数在它们的定义域

内都是连续的;一切初等函数在其定义域内也都是连续的. 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续,右端点左连续.对于闭区间上的 连续函数有几条重要的性质,下面我们来学习一下: 最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明) 例:函数 y=sinx 在闭区间[0,2π ]上连续,则在点 x=π /2 处,它的函数值为 1,且大于 闭区间[0,2π ]上其它各点出的函数值;则在点 x=3π /2 处,它的函数值为-1,且小于闭区 间[0,2π ]上其它各点出的函数值。 介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即: ,μ 在 α 、β 之间,则在[a,b]间一定有一个 ξ ,使 推论: 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。



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