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2.5.3 等比数列的前n项和(第3课时)


2.5

等比数列的前n项和

第三课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.等差数列的前n项和公式是什么?
n (a1 + an ) n (n - 1)d Sn = = na1 + 2 2

2.等比数列的前n项和公式是什么? 当q=1时,Sn=na1;
a1(1 - q ) a1 - anq = 当q≠1时, S n = 1- q 1- q
n

3.对于等差、等比数列的求和问题,可 直接套公式求解,对于某些非等差、等 比数列的求和问题,我们希望有一些求 和的方法,这又是一个需要探究的课题.

知识探究(一):特殊数列的求和方法
1 1 1 1 思考1:如何求数列 1 , 4 , 7 , L ,(3n - 2) n 2 4 8 2

的各项之和?其和为多少?
3n - n + 2 1 - n 2 2
2

思考2:上述求和方法叫做分组求和法, 一般地,什么类型的数列可用分组求和 法求和? 由几个等差、等比数列合成的数列.

1 1 1 1 思考3:如何求数列 , , , L , 2 2 6 12 n +n

的各项之和?其和为多少?
n n + 1

思考4:上述求和方法叫做裂项求和法, 一般地,什么类型的数列可用裂项求和 法求和? 每一项都能拆分为两项的差,累加后能 抵消若干项.

思考5:如何求数列2,4a,6a2,…, 2nan-1(a≠0) 的各项之和?其和为多 少? 当a=1时,S n = n (n + 1)
1 - an na n 当a≠1时, S n = 2( 1 - a 2 - 1 - a )

思考6:上述求和方法叫做错位相减法, 一般地,什么类型的数列可用错位相减 法求和? 由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.

知识探究(二):特殊数列的求和技巧

思考1:如何求数列4,44,444,…,

44 L4 4 1 4 42 4 3 的各项之和?其和为多少?
n 个4

4 n+1 (10 - 9n - 10) 81

思考2:如何求数列12,22,32,…,n2 的各项之和?其和为多少?
n (n + 1)(2n + 1) 6

理论迁移

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

例1 求数列 的各项之和.

1 1 1 1, , ,L , 1+ 2 1+ 2+ 3 1+ 2+ L + n

首项为

2n n+1

例2 求数列-1,3,-5,7,…,

3 2

(-1)n(2n-1) 的各项之和. (-1)n· n

小结作业

1.特殊数列的求和问题是建立在等差、 等比数列的基础之上,各有特定的方法 和技巧,其中分组求和,裂项求和,错 位相减是常用方法,要求理解和掌握.
2.求特殊数列的和一般先要分析其通项 公式,再根据数列的特点选择适当的方 法或技巧求解,同时要注意数列共有多 少项.

作业:
P61习题2.5A组:4,5.


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