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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第二章 第1讲 函数与映射的概念



第二章
第1讲

函数

函数与映射的概念

考纲要求 1.了解构成函数的要素.

考纲研读

函数是特殊的映射,对函数的考查主要

2.会求一些简单函数的定 为:概念(判断是否为函数或判断两个

义域和值域.
3.了解

映射的概念.

函数是否相同)、定义域(具体函数或抽 象函数)构成映射的个数.

1.函数的概念 (1)函数的定义 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f, 唯一确定 每一个数 x 使对于集合 A 中的____________,在集合 B 中都有___________ 的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常

y=f(x),x∈A 记为_______________.

(2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫 定义域 函数值 做 y=f(x)的_______;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,_______ __________________称为函数 y=f(x)的值域. 的集合{f(x)|x∈A} 定义域 值域 对应关系 f (3)函数的三个要素,即_______、_____和____________. 2.映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集

任意 唯一确定 合 A 中的_____元素,在集合 B 中都有___________的元素与之对

f:A→B 应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为__________.

1.(2011 年广东广州调研)函数 g(x)= x+3的定义域为( A )
A.{x|x≥-3} C.{x|x≤-3} B.{x|x>-3} D.{x|x<-3}

2.下列函数中与函数 y=x 相同的是( B )

A.y=( x) C.y= x2

2

B.y= x3 x2 D.y= x
1-2x

3

? 1? 1 3.函数 y= 4-x 的定义域是___________. ?-∞,2? ? ? 3.(2012年四川)函数f(x)= 的定义域是__________.
2

lg(4-x) {x|x<4 且 x≠3} 4.函数 y= 的定义域是________________. x-3 5.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出如图 2-1-1 所示四个图象,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是

②③ _______(填序号).

图 2-1-1

考点1 映射与函数的概念

例1:(2011年湖南)给定k∈N*,设函数f∶N*→N* 满足:对
于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k. (1) 设 k = 1 , 则 其 中 一 个 函 数 f 在 n = 1 处 的 函 数 值 为 ______________; (2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个

数为_____.

解析:(1)由法则f是正整数到正整数的映射,因为k=1,所以 从2开始都是一一对应的,而1可以和任何一个正整数对应,故f在 n=1处的函数值为任意的a(a为正整数).

(2)因为2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到:1,2,3,4只能
是和2或者3对应,1可以和2对应,也可以和3对应,有2种对应方 法,同理,2,3,4都有两种对应方法,由乘法原理,得不同函数f的 个数等于16. 答案:(1)a(a为正整数) (2)16

理解映射的概念,应注意以下几点:
①集合A、B及对应法则f是确定的,是一个整体系统; ②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,

它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的;
③集合A中每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一 的,这是映射区别于一般对应的本质特征; ④集合A中不同元素,在集合B中对应的象可以是同一个; ⑤不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

【互动探究】
1.已知f∶A→B是集合A到集合B的映射,又A=B=R,对应

法则f∶y=x2+2x-3,k∈B且k在A中没有元素与之对应,则k的取
值范围为( A.k<-4 C.k≥-4 ) A B.-1<k<3 D.k<-1或k>3

解析:y=x2+2x-3=(x+1)2-4≥-4,k∈B且k在A中没有
没有元素与之对应,则k的取值范围为k<-4.

考点2

判断两函数是否为同一个函数

例2:试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)f(x)= x ,g(x)= x3;
?1 ? |x| (2)f(x)= x ,g(x)=? ?-1 ?

2

3

(x≥0), (x<0); 2n-1 x2n-1(n∈N*);

(3)f(x)=

2n+1

x

2n+1

,g(x)=

(4)f(x)= x x+1,g(x)= x2+x; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.

解题思路:要判断两个函数是否为同个函数,只需判断其定
义域和对应关系是否相同即可.

3 解析:(1)由于 f(x)= x2=|x|,g(x)= x3=x, 故它们的对应关系不相同,∴它们不是同一函数. |x| (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 而
?1 ? g(x)=? ?-1 ?

(x≥0) 的定义域为 R, (x<0)

∴它们不是同一函数.

(3)由于当 n∈N*时,2n± 为奇数, 1 ∴f(x)= 2n+1 x
2n+1

=x,g(x)=

2n-1

x2n 1=x.



它们的定义域、对应关系都相同,∴它们是同一函数. (4)由于函数 f(x)= x x+1的定义域为{x|x≥0}, 而 g(x)= x2+x的定义域为{x|x≥0 或 x≤-1}, 它们的定义域不同,∴它们不是同一函数. (5)函数的定义域和对应关系都相同, ∴它们是同一函数.

【互动探究】
2.(2012年广东广州调研)定义:若函数f(x)的图象经过变换T后 所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换T是f(x)的同 值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中T不属于f(x)的 同值变换的是( B ) A.f(x)=(x-1)2,T将函数f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)=2x-1-1,T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C.f(x)=2x+3,T将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称
? π? D.f(x)=sin?x+3?,T将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称 ? ?

考点3

求函数的定义域
1 ,则f(x)的定义 log 1 (2 x ? 1)
2

例3:(2011年江西)若函数f(x)=

域为( A

)
? 1 ? B.?-2,0? ? ?

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? ?- ,+∞? C. 2 ? ?

D.(0,+∞)

? 1 ? ?- ,0?. 解析:∵log 1 (2x+1)>0,∴0<2x+1<1.∴x∈ 2 ? ?
2

求一些具体函数的定义域,有分母的保证分母不为 零;有开偶次方根的要保证被开方数为非负数;有对数函数保证 真数大于零,底数大于零且不等于 1.在求定义域的过程中,往往 需要解不等式(组),很多时候需要利用函数的单调性. 【互动探究】 3.函数 f(x)= A.(-∞,0] C.(-∞,0)

1 ? 2 x 的定义域是( A )
B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

4.(2011 年广东)函数 f(x)=

1 +lg(1+x)的定义域是( C ) 1-x

A.(-∞,-1)
B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
?1-x≠0, 解析: ? ?1+x>0

?x>-1 且x≠1,则f(x)的定义域是(-1,1)

∪(1,+∞).

易错、易混、易漏 4.对复合函数的定义域理解不透彻

例题:(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3],则 f(x-1)的定义域为
________; (2) 若 函 数 f(x - 1) 的 定义域为 [2,3] , 则 f(x) 的定义域为

________;
(3) 若函数 f(x - 1) 的定义域为 [2,3] , 则 f(x) 的 定 义 域 为 ________,f(2x+1)的定义域为________; (4)若函数 f(x)的值域为[2,3],则 f(x-1)的值域为_______;f(x) -1 的值域为________.

正解:(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3], 则 f(x-1)有 2≤x-1≤3,解得 3≤x≤4. 即 f(x-1)的定义域为[3,4]. (2)若函数 f(x-1)的定义域为[2,3], 即 2≤x≤3,有 1≤x-1≤2. 则 f(x)的定义域为[1,2]. (3)若函数 f(x-1)的定义域为[2,3],则 f(x)的定义域为[1,2]. 1 则 f(2x+1)有 1≤2x+1≤2,解得 0≤x≤2. 即
? 1? ?0, ?. f(2x+1)的定义域为 2? ?

(4)f(x-1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位,不改变

值域.f(x)-1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1 个单位,所以f(x
-1)的值域为[2,3],f(x)-1 的值域为[1,2]. 【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值 域,加深对函数定义域的理解,弄明白f(x)与 f[u(x)]定义域之间的

区别与联系,其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与f[u(x)]中式子

u(x)的取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的
综合.

函数的概念含有三个要素,当函数的定义域及对应关系确定 之后,函数的值域也就随之确定.因此,“定义域和对应关系” 为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系 分别相同时,这两个函数才是同一个函数.

对于求抽象的复合函数的定义域,主要理解三种情形:①已 知 f(x) 的定义域为[a ,b] ,求 f[u(x)] 的定义域,只需求不等 式

a≤u(x)≤b 的解集即可;②已知 f[u(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)
的定义域,只需求 u(x)的值域;③已知 f[u(x)]的定义域为[a,b], 求 f[g(x)]的定义域,必须先利用②的方法求 f(x)的定义域然后利用 ①的方法求解.



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