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江苏省响水中学高中数学 第二章《函数的奇偶性》导学案 苏教版必修1



江苏省响水中学高中数学 第二章 《函数的奇偶性》 导学案 苏教版必 修1

1.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶性. 2.了解奇、偶函数图象的对称性.

美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学 中也有大量的反映.

问题 1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对

称性? 第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形. 问题 2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的? (2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征? (1)偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么 f(x) 就叫作偶函数. 奇函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那 么 f(x)就 叫作奇函数. (2)偶函数的图象关于 对称,奇函数的图象 关于 对称. 问题 3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数 若在 x=0 处有定义,能得出什么结论? 函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必 备条件是对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于 对称 ). 若函数 f(x) 是奇函数且在 x=0 处有定义 , 则必有 f(0)= , 即函数图象必 过 . 问题 4:奇偶性与单调性有什么联系? (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性.

1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是

.

1

2.下列函数是偶函数的是 ①y=x;

. ②y=2x2-3; ④y= x 2 ,x∈[0,1].

③y= ;
3.函数 y=-|x|是 函数. 4.判断下列函数的奇偶性: (1) y ? x ?
4

1 ; x2

( 2)f(x)=|x-2|-|x+2|.

函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+ ; (2)f(x)=2-|x|;

(3)f(x)=

+

;

(4)f(x)= .

利用奇偶性求值或求范围 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 .

利用奇偶性求解析式 已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求当 x<0 时,f(x)的解析式.

2

(1)判断下列函数的奇偶性. ①f(x)=x2,x∈[-1,2];

②f(x)= ③f(x)=

·

;

;

④f(x)=

·

.
的图象,通过图象判断函数的奇偶性.

(2)画出函数 f(x)=

(1) 若 f(x) 为 奇 函 数 , 且 在 (0,+∞) 上 是 增 函 数 , 又 f(-3)=0, 则 xf(x)<0 的 解 集 为

.
(2)已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=
5 3

.

已 知 函 数 f(x) 是 定 义 在 (-∞,+∞) 上 的 偶 函 数 . 当 x∈(-∞,0) 时 ,f(x)=x-x , 则 当 x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为 .

4

1.函数 f(x)=x(-1<x≤1)的是 函数(填奇偶性). 2.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),f(x)与 f(-x)应满足 3.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= ,则常数 m=
2

.
,n=

.

4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x -2x+3,求 f(x).

(2013 年·山东卷 ) 已知函数 f(x) 为奇函数 , 且当 x>0 时 ,f(x)=x + , 则 f(-1) 等于 ( ). A.-2 B.0 考题 变式(我来改编):

2

C.1

D.2

3

第 6 课时 函数的奇偶性 知识体系梳理 问题 2:(1)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) (2 )y 轴 原点 问题 3:原点 基础学习交流 1.② 先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原点或 y 轴对称,只有②中的图 象符合. 2.② ①中是奇函数;②中是偶函数;③④中的定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. 3.偶 ∵f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴函数 y=-|x|为偶函数. 4. 解 :(1)∵ 函 数 的 定 义 域 为 {x|x≠0}, 关 于 原 点 对 称 , 设 y=f(x)=x +
4

0 原点

问题 4:(1)相同 (2)相反

,又

f(-x)=(-x)4+

=x4+ =f(x),∴函数为偶函数.

(2)设 y=f(x)=|x-2|-|x+2|,

∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),∴函数为奇函数.
重点难点探究 探究一:【解析】(1)∵函数 f(x)的定义域是{x|x≠0},关于原点对称, 又∵f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x).

∴f(x)为奇函数.
(2)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,

4

又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),

∴f(x)为偶函数.
(3)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且 f(x)=0, 又∵f(-x) =-f(x),f(-x)=f(x),

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,

∴f(x)是非奇非偶函数.
【小结】判断函数奇偶性的步骤: (1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定 不具有奇偶性. (2)考虑 f(-x)与 f(x)的关系,若 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=-f(x),则函数 为奇函数;若 f(-x)既等于 f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若 f(-x)既不 等于 f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数. 探究二:

【解析】由题意知,函数 f(x)的大致图象如图所示,易知 f(x)<0 的 x 的取值范围为-2<x<2. 【答案】(-2,2) 【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结 合思想求解. 探究三:【解析】设 x<0,则-x>0,

∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.
故当 x<0 时,f(x)=x|x+2|. 【小结】(1)在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间里. (2)转化为已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性把 f(-x)写成-f(x)或 f(x),从而解出 f(x). 思维拓展应用 应用一:(1)①∵它的定义域不关于原点对称,∴函数 f(x)为非奇非偶函数.

②∵x-2≥0 且 2-x≥0,∴x=2,即 f(x)的定义域是{2},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非
偶函数.

③函数的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x)= +

=

5

=

=0,

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. ④ 由


f(x) 的 定 义 域 为 {-1,1}, 关 于 原 点 对 称 , 此 时

f(x)=0,∵f(-x)=f(x)=-f(-x)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)画出函数 f(x)的图象(如图),由图象易知它关于原点对称,因此函数 f(x)为奇函数.

应用二:(1)(-3,0)∪(0,3) (2)-26 (1)(法一)由题意可知,

xf(x)<0?



?



?



∴x∈(-3,0)∪(0,3).
(法二)采用数形结合法.

(2)( 法 一 ) 令 g(x)=x +ax +bx, 易 知 g(x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 从 而 g( -2)=-g(2), 又

5

3

f(x)=g(x)-8, ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18, ∴g(2)=-g(-2)=-18. ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
(法二)由已知条件, 得

①+②得 f(2)+f(-2)=-16.
又 f(-2)=10,∴f(2)=-26. 应用三:f(x)=-x-x
4

设 x∈(0,+∞),
6

则-x∈(-∞,0),

∵当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4, ∴f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,
又函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,

∴f(-x)=f(x), ∴当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-x4.
基础智能检测 1.非奇非偶 定义域不关于原点对称. 2.f(x)+f(-x)=0 根据奇函数的定义可得. 3.0 0 易知 f(0)= =0,∴m=0,

又∵f(-x)=

=-f(x),故 n=0.

4.解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x<0,则-x>0,

∴f(-x)=x2+2x+3,
又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x -2x-3,
2

∴f(x)=
全新视角拓展 A

∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

思维导图构建

f(-x)=-f(x) 原点 f(-x)=f(x) y 轴

7



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