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抽象函数类题目解法研究







广

角 

抽 象 函数 类题 目解 法研 究 
/ 巾 山 市 汕 潼 卵 t 茔 持  曹 里 

抽象 函数在教材中并没有专项 
内容 ,但给 出的抽象函数 的性质和  图像都是我们非常熟悉的 ,如单调 

(   ) +

 (   ) 看成 函数 F ( x ) ,根据 

F (   ) 是奇 函数 ,使问题得以解决.  

癸 著 恒 成 立 , 则 函 数 , (   ) 是 周 期  
函数且周期为 4   I mI .  

性 、奇偶性 、周期性和对称性 ,它 
考查了考生灵活运用函数 的性质 的 

二 、 用 赋 值 法 求 某 些 特 
殊值 
紧扣 已知条件进 行迭代变 换 。  
经有限次迭代可直接求出结果 ,或  者在迭代过程 中发现函数具有周期  根据题 目中给出的抽象 函数的 

三 、用 数 形 结 合 法 求 单  调 区间或解 抽 象不等 式 

能力 ,所 以越来越得到了高考命题 
者的青睐. 那么, 怎样求解抽象函数 问 

题 呢?我们可 以利用特 殊模型法 、  
函数性质法 、特殊化方法 、联想类 

性质 ( 奇偶性 、单调性等 )可作 出  它的大致 图像 ,通过图像来求单 调 
区间或解 抽象不等式.   例5 : 已知偶函数  ) 在( 0 , + 。 。 )   上是减函数 , 问  ) 在( 一 。 。 , 0 ) 上是增  函数还是减函数 , 并证明你的结论.  
分 析 :如 图 所 示 , 易知f ( x ) 在 

性 ,利用周期性使问题巧妙获解.  
例 3 : 设  ≠0 . 函数 f ( x ) 满 足 

比转化法等多种方法从多角度 、多 
层面去分析研究抽象 函数问题.  


2 f (   )  

) = 1 0 x , 求  ) 函数 的解 



用 整 体 法 解 决 定 义  析式.  
解: 由题意知 2 f (   ) + 厂 (   ) = 1   用 换  代 人 E 式得:  
上 

域 问题 
这类 问题只要紧紧抓住 :将 函 

( 一 。 。 , 0 ) 上是增 函数 , 证 明如下 : 任  ) +  
取 l  2 < 0  ̄- x 1 >  2 > 0 , 因 为  ) 在 

数他 (   ) ] 中的 g (   ) 看作一个 整体 ,  
相 当于f ( x ) 中的  这一 特性 . 问题 
就 会 迎 刃 而解 .  

( 0 ,+ 。 。 ) 上是减 函数 ,所 以 厂 ( 一   。 ) <   - 厂 (  z ) . 又 f( x )  
上 

f ( x ) = l O  

例 1 : y = f ( x ) 函数 的定义 域为  ( 一 a 。 , 1 ] , 则 函数 y = J [ 1 o g   (   2   2 ) ] 的定  义域是  .  

则①× 2 — ②得 : 3 f ( x ) = 2 ? l O X - l O  
所 以  ) :  . 1 o 乙   . 1 0  

是 偶 函数 。 所  以_ 厂 (   ) f ( x - ) ,   _ 厂 (  z ) _ 厂 (   : ) , 从  而f ( x   )   z ) ,   故_ 厂 (   ) 在( 一 。 。 ,   0 ) 上是增 函数.  

I   ‘ Y 

1 



 

0 

分 析 :因为 l o g :x 2 - 2 ) 相 当于 
f ( x ) 中 的  , 所以 l o g 2 (  一 2 ) ≤1 , 解 

例4 : 已知_ 厂 (   ) 是定义在 R上的 
函数 , 且满足 - o r ( 2 乜) [ 1 _ , (   ) 】 = 1   ) ,  

得、 /  

≤2或一 2 ≤   < 一 、 /  .  

f ( 1 ) = 1 9 9 7 , 求f ( 2 0 1 1 ) 的值 .  
分析 : 紧扣已知条件 , 并多次使 

例2 :若 函数 h ( x ) ,g (   ) 均为  奇 函数 ,f ( x ) :  (   ) + b g ( x ) + 2在  ( 0 , +  ) 上有 最大值 5 , 求_ 厂 (   ) 在( 一  
。 。


例6 : 若 奇函数 l 厂 (  ) 在( 0 , +  )  
上是增函数 , 且, ( 一 3 ) = 0 , 解不等式:  
) < 0 .   解: 由 
 ‘ J  

用, 发现 - 厂 (   ) 是周期函数 , 显然Ax )  
≠1 , 于是 ,  + 2 ) =   (   + 4 ) =  

0 ) 上的最小值.  

分析 : 由于 h ( x ) , g  ) 均为奇函  数, 故  (   ) +   ) 也是 奇函数 , 令  F ( x ) - a h ( x ) + b g ( x ) , 则_ 厂 (   ) = F (   ) + 2 . 由 

1  


)  

, (   ) 题意得到  的大 致 图 像 
如 图所 示 .  

/   、/  

1   + 2 )   善 一 1 一   : !    , - 厂 (   ) ’ 所 … 以 …  
‘1 _ 厂 (   )  

/  / 3  

奇 函 数 f( x )   Ax ) 在( 0 ,+ 。 。 ) 上有最大值 5 , 可知  f ( x + 8 ) = 一   ) ,? ‘ f ( x ) 是以  在( 0 ,十 o 。 ) 上递增 ,且   r ( x ) 在( 0 , + 。 。 ) 上有 最 大值为 3 . 又  厂 ( 一 3 ) - 0 , 可知当 ∈( 一 3 , 0 ) U( 3 , +  )   为周期的周期 函数 , 从而_ 厂 ( 2 0 1 1 )=   - F ( x ) 因是 奇 函数 , 故 F( x ) 在( 一 。 。 ,   时 l 厂(   ) > 0 ;当 ∈( 一 3 , 0 ) U( 3 , +  )   - 厂 ( 8 x 2 5 0 + 1 )- - s t ( 1 )= 1 9 9 7 .   0 ) 上有最小值一 3 . 从而, (   ) 在( 一  , 0 )   本 题 可 以推 广 到 若对 常 数 m   时  ) < 0 . 故 不等式  ) < o的解集  上有最小值一 1 .   为 ∈( - 3 , 0 ) U( O , 3 ) .   ( m≠0 ) 和实数 ∈ R, 等式 , (   + m) =   评 注 :本题运用整体 思想 ,将 
3 0  
师道 ? 教研 2 0 1 2年第 1 期 


抽象函数关 系式 



广

角 
相应 的模拟 函数 

, (   + y )  厂 (  )  厂 ( y )   , (   )f ( x )  y )  
f ( x ? y )   ) t  Y )   ) - , (  ) - f ( y )  
Y 

正 比例函数 y = k x ( k ≠0 )   指数函数, , =  ( 0 > 0   H   a #O )   -  

对数 函数y = l o  ( 0 > O且0 ≠o )  

, ( x y )f ( x ) . , ( y )  

幂i g l  ̄y = x 。   以可用赋值 法求出- 厂 ( 4 ) = 2 , 所 以不  等 式 ,(  + 3 )  (   ) < 2 , 可 化 为 
x +3> O  

四 、借 助 模 型 函 数 解 抽  都满足, ( x)   厂 (   ) . = 厂 ( y ) ; ( 1 ) 求  1 )   象不 等式 
有些抽象函数是 由某些具体函  数抽象得出的结果 。所 以借助它的  模型 函数 。往往可 以帮我们把开思  路之 门。上表是几种常见的函数关  系式对应的模 型函数.   例 7 : 设y = f ( x ) 是 定 义在 ( 0 ,  

的值 ; ( 2 ) 若  2 ) = 1 , 解不等式 , (   +  

3 )   _ l _) < 2 .   分析 : 函数 关系式  x ) - f ( x )   _   y ) 对应 的模 型函数是对数 函数 ,  
设之 为 y = l o g g( a > O且 Ⅱ ≠o ) ,由  

f ( x   + 3   )   4 ) , 所以 

1> 0


解 ~ 之   

X 2 + 3 x < 4  

得O < x < l  

厂 ( 2 ) = 1 得a = 2 , 解l o g  ̄ = 2得 x = 4 , 所  + 。 。 ) 上的增 函数 , 且对一切 x > O , y > O   -

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峰 





课 堂 上 阅读 教 材 的 


2 . 不 同学 习水 平的 学 生在 同  
时 间 里 获 得 各 自不 同 层 次 的 收 

具体表现如 :对知识 的发生、发展  的过程不感兴趣 ,只注重结论 。这  里面的原因有很多 .比如说老师 的 

好 处 
1 . 有助 于提 高 学生 的 学 习兴  趣。现在 的数学教材 ,具备 以下特  征 :语 言平 易近 人 ,结构 清 晰 明 

获 。特别是对学 困生而言 ,阅读 理  解能力的提高能提升他们的学习能 

讲解 比较枯燥 ,逻辑性不强、缺乏  灵活性 、没有讲究技巧性等 .也有 
来 自学生本人方面的原因 .如注意 

力。该类 学生有些是学习态度不够 
好 .既所谓 的学 习品质达不到正 常 

了 ,目标 直 接单 一 ,探究 层 层推 
进 ,结论 回味无 穷 .练 习有 的放 

学 习的要求 (学 习品质一 般指 学 
习认真、踏实 、勤奋 、自觉的创造 

力难以集中 ,对老师的讲述语言理  解不到位等 。我们注意到 ,这一类  学生在课 堂上没有听懂 。课后 的补  救措施 客观上来说还是有的.如课  后 的反 馈练 习 ,老 师的复 习 ,等 
等 ,但是真正从 主观上进行努力补  救 的同学还是非常少 ,即便是有 ,  

矢。这样 的教材 ,若提供条件让学 
生反 复地 阅读 、研究 、推敲 ,会极 

过程 ) 。也有部 分学生学 习态度较  好 ,但是 由于学 习过程 中接收渠道  太过于单一 。比如完全依赖老师 的  讲授 。课 堂上没听懂 ,就只能等着 
老师的下一次重复 ,而老师往往 因 

大地 提高学生学习数学的热情 。若 
学生的阅读 习惯较好 .坚持课堂提 

纲式 阅读模式有利于他们数学素养  的提高 .将在后续学习过程形成 良 
性循 环 。  
师道 ? 教研 2 0 1 2 年第 1 期 

为整体掌握 良好而没有 及时复 习 .   那么他们 就束手无策 了。这类学生 

基本上也是采用 问老师 、问同学 的  方式 ,但这种方式若每天都坚持 的 
3 1  



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