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2.4.1平面向量数量积



2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向 量,记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;

特别地,当λ=0

或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量,λ,μ为 任意实数,则有: ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa

③ λ(a+b)=λa+λb

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A
B

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

|a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, ?是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? a ? b ?| a || b | cos ?
? ? ? ? ? ? B (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b θ A ? ? ? O ? ? ? B1 a 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? a ?b ? (4) cos? ? ? ? ( 5 ) | a ? b | ? | a || b | | a || b |
? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0

例1:已知 a ? 1, b ? 2 (1)a // b, 求a ? b; 3 (2)? ? ? , 求a ? b 4

解:( 1 )由a // b,分两种情况:

当a, b 同向, a ? b ? 2; 当a, b反向, a ? b ? ? 2。
3 (2) a ? b ? 1? 2 ? cos ? ? ?1 4

例2 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。
解:a· b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10

例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。

解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

投影
a ? b ?| a || b | cos?
b
O

b a b
O
| b | cos? ? 0

θ
| b | cos? ? 0

a

O

θ

a

| b | cos? ? 0

b在a上的投影: | b | cos? a在b上的投影: | a | cos? 数量积a ? b等于 | a | 与投影 | b | cos?的乘积。

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a ·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立. 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | √

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R
? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

证明运算律(3)

向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.

N

c

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2.

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a- a · b-b· b

=a2-b2.

P116 例4
已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b的夹角为60?,求 a b, a , b ,
2 2

(a ? 2b) ? (a ? 3b),

(a ? b)2 , | a ? b |

解:a ? b ?| a || b | cos? ? 12
a ?| a | ? 36 , b ?| b |2 ? 16
2 2 2

(a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ?| a |2 ? | a || b | cos? ? 6| b |2 ? ?72

2

2

(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ?| a |2 ?2| a || b | cos? ? | b |2 ? 28
2

2

2

| a ? b |2 ?(a ? b)2 ? 28 ,

| a ? b |? 28 ? 2 7

例5 已知a=7, b=4, a?b ? 9 求a?b.

思考  a?b ? a?b ? 2(a ? b )  是一个常用的结论,如何构造一个 图形解释这个公式的几何意义?



2

2

2

例5.已知 | a |? 3,| b |? 4,当且仅当k为何值时, 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

a ? b ? a?b ? 0

例4 a ? b ? a ? b ? 0
(a ? kb) ? (a ? kb) ? 0

a ?k b ? 0
2

2

2

9 ? 16k ? 0
2

3 k?? 4

小结:
?

1. a b ?| a || b | cos ?
2. a ? b ? a ? b ? 0
a ?| a |2
2

?

可用来求向量的模

3.投影

作业:

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求k的值。 ? ? ? 2、设a是非零向量,且b ? c , 求证: ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )

4、已知a、b都是非零向量,且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直,a – 4 b 与7 a – 2 b垂直,求a与b 的夹角。 cosθ=
解:∵ (a + 3 b )⊥(7 a – 5 b) (a – 4 b )⊥(7 a – 2 b )
∴ (a + 3 b )· (7 a – 5 b) =0 且 (a – 4 b )· (7 a – 2 b )=0 即 7a · a + 16 a · b – 15 b · b =0 7a · a - 30 a · b+8b· b =0 两式相减得: 2 a · b = b 2, 代入其中任一式中得: a 2= b 2

练习题: a ? b ? 1, a与b夹角为 1200,问t取何值 时, a ? t b 最小?



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