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等差数列典型例题



等差数列典型例题
类型一:直接利用等差数列的定义、公式求解 例 1.(1)求等差数列 3,7,11,??的第 11 项. (2)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是, 说明理由. 思路点拨:(1)根据所给数列的前 2 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而 求出所求项; (2)题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要

看是否存在一正 整数 n 值,使得 a n 等于这一数. 总结升华: 1.根据所给数列的前 2 项求得首项 a1 和公差 d ,写出通项公式 an . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三: 【变式 1】求等差数列 8,5,2?的第 21 项 【变式 2】-20 是不是等差数列 0, ? 是,说明理由. 【变式 3】 求集合 M ? {m | m ? 7n, n ? N , m ? 100} 的元素的个数, 并求这些元素的和
*

7 ,-7,??的项?如果是,是第几项?如果不 2

类型二:根据公式列方程(组)求解 例 2.已知等差数列 {an } 中,a15 ? 33 ,a45 ? 153 , 试问 217 是否为此数列的项?若是, 说明是第几项?若不是,说明理由。 思路点拨:由于在条件中已知两项的值(两个等式) ,所以在求解方法上,可以考虑运用 方程思想求解基本量首项 a1 和公差 d ,也可以利用性质求 d ,再就是考虑运用等差数列的 几何意义。 总结升华: 1. 等差数列的关键是首项 a1 与公差 d ;五个基本量 a1 、 n 、 d 、 an 、 S n 中,已知三 个基本量便可求出其余两个量; 2.列方程(组)求等差数列的首项 a1 和公差 d ,再求出 an 、 S n ,是数列中的基本方法. 举一反三: 【变式 1】等差数列-10,-6,-2,2,?前多少项的和是 54? 【变式 2】等差数列 {an } 中, d ? 4 , an ? 18 , S n ? 48 ,求 a1 的值. 【变式 3】已知等差数列 {an } , a3 ? 类型三:等差数列的判断与证明 例 3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4n ? 3n ,求证:数列 {an } 为等差数列.
2

5 3 , a7 ? ? ,则 a15 = 4 4



思路点拨:由等差数列的定义,要判定 {an } 是不是等差数列,只要看 a n ? a n ?1 ( n ? 2 ) 是不是一个与 n 无关的常数。 总结升华: 1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法. 2. 一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? pn ? qn ? r ,其中 p 、 q 、 r 为常
2

数,且 p ? 0 ,那么当常数项 r ? 0 时,这个数列一定是等差数列;当常数项 r ? 0 时,这个 数列不是等差数列,但从第二项开始的新数列是等差数列. 举一反三: 【变式 1】已知数列 {an } 的通项公式 a n ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列 是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 【变式 2】已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 列。 类型四:利用等差数列的性质 例 4. 已知等差数列 {a n } 中,若 a3 ? a8 ? a13 ? 12 , a3 a8 a13 ? 28 ,求 {a n } 的通项公式。 思路点拨:可以直接列方程组求解 a1 和 d ;同时留意到脚标 3 ? 13 ? 8 ? 2 ,可以用性质: 当 m ? n ? 2 p 时 am ? an ? 2a p 解题. 总结升华:利用等差数列的性质解题,往往比较简捷. 举一反三: 【变式 1】在等差数列 {a n } 中, a2 ? a8 ? 18 ,则 a5 = 【变式 2】在等差数列 {a n } 中, a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 20 ,则 a6 +a7 = 【变式 3】在等差数列 {a n } 中,若 a1 ? a6 ? 9 , a4 ? 7 , 则 a 3 = , a9 =

2an 1 * ( n? N ) ,求证: { } 是等差数 an ? 2 an

例 5.等差数列 {a n } 前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求它的前 3m 项和. 思路点拨:利用等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ?

n(n ? 1) “等 d 求解;或利用性质: 2

差数列的连续 10 项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解;或利用相关的函数 ( Sn ? An ? Bn )等知识求解。
2

解析: 方法一:利用等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 求解。 2

方 法 二 : 利 用 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 Sn ?

n(a1 ? an ) 及性质 m?n ? p ?q ,则 2

am ? an ? a p ? aq 求解。
方法三:根据性质: “已知{an}成等差数列,则 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,??,Skn-S(k-1)n,??(k ≥2)成等差数列”解题。 方法四:由 S n ? na1 ?

S n(n ? 1) d d 的变形式解题,由上式知, n ? a1 ? (n ? 1) n 2 2
2

方法五:∵{an}为等差数列, ∴设 Sn ? An ? Bn ∴Sm=am +bm=30,S2m=4m a+2mb=100, 得 A ?
2 2 2

20 10 ,B ? 2 m m

∴S3m=9m a+3mb=210. 举一反三: 【 变 式 1 】 等 差 数 列 {an} 中 , 若 a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80, 则 a11+a12+a13+a14+a15=___________. 【变式 2】等差数列{an}中,Sm=Sn 且 m≠n, 则 Sm+n=_________. 【变式 3】等差数列 {a n } 前 10 项和为 100,前 20 项和为 10,求它的前 30 项和. 例 6.已知两等差数列 {a n } 、{bn } 的前 n 项和分别为 S n 、Tn ,且

Sn 7n ? 1 ? ,试求 Tn 4n ? 27

a11 . b11
思 路 点 拨 : 利 用 前 n 项 和 公 式 与 性 质 m ? n ? 2 p ? am ? an ? 2a p 解 题 , 或 利 用

S2 n ?1 ? (2n ? 1)an 解决,或利用等差数列前 n 项和 Sn ? An 2 ? Bn ? ( An ? B)n 形式解题.
总 结 升 华 : 依 据 等 差 数 列 的 性 质 a1 ? a2 n ?1 ? 2an 可 以 得 到

S2 n?1 ?

(2n ? 1)(a1 ? a2 n?1 ) ? (2n ? 1)an ,当已知两等差数列 {a n } 、{bn } 的前 n 项和分别为 2
an S 2 n ?1 a m 2n ? 1 S 2 m ?1 ? ? ? , . bn 2m ? 1 T2 n ?1 bn T2 n ?1

S n 、 Tn 时,有
举一反三:

【变式 1】等差数列 {a n } 中,若 a4 ? 9 , 则 S 7 =_________. 【变式 2】已知两等差数列 {a n } 、{bn } 的前 n 项和分别为 S n 、Tn ,且

S n 4n ? 3 ? ,则 Tn 5n ? 2

a10 = b10

.

例 7.已知三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数。 总结升华: 1. 三个数成等差数列时,可设其分别为 x ? d , x , x ? d ;若四个数成等差数列,可设 其分别为 x ? 3d , x ? d , x ? d , x ? 3d . 2.注意:3,5,7 与 7,5,3 是两个不同的等差数列,因此都满足题目要求,不能舍掉 其中一个的。 举一反三: 【变式】已知四个数成等差数列,且其平方和为 94,首尾两数之积比中间两数之积少 18,求此四个数。 类型五:等差数列前 n 项和的最值问题 例 8.已知数列 {a n } 是等差数列, a1 ? 0 , S9 ? S17 ,试问 n 为何值时,数列的前 n 项和 最大?为什么? 思路点拨::要研究一个等差数列的前 n 项和的最值问题,有两个基本途径:其一是利 用 S n 是 n 的二次函数关系来考虑;其二是通过考察数列的单调性来解决。 总结升华: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 1. 利用 a n : 当 an ? 0 , d ? 0 时,前 n 项和有最大值。可由 an ? 0 ,且 an ?1 ? 0 ,求得 n 的值; 当 an ? 0 , d ? 0 时,前 n 项和有最小值。可由 an ? 0 ,且 an ?1 ? 0 ,求得 n 的值. 2. 利用 S n :由 Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2

举一反三: 【变式】设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 , S 2 ,?, S12 中哪一个值最大,并说明理由.



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