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人教版高一数学必修一各章知识点总结+测试题组全套(含答案)



高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大

西洋, 印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内 表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同 ; 一集合。

? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或

? B?A 2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记
作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B
1

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组

交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’ ,即 ) A ? B={x|x ? A,且 x ? B} . 韦 恩 图 示 性

的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S A

A

B

A

B

图1

图2



A ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 A 某班所有高个子的学生
2

( 个 .



B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有

3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

?

?

?

?

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化 学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 M= .
2 2 2 2

人。

6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 ( 含 边 界 上 的 点 ) 组 成 的 集 合 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应 关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范 围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数 值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;
2

(3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值 的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标 的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f: ? B 为从集合 A 到集 A 合 B 的一个映射。记作?f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称 为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数
3

设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称 为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的 图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的 单调性密切相关,其规律: ?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=— f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =

0,

则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非 奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判 定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的 函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的
4

定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递 减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递 增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题:
1.求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 4.函数

? x ? 2( x ? ?1) ? ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?
⑵ y ? x 2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ?

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) (3) y

? x ? 1? 2x

? x2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,求函数 7.已知函数

f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式


f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵y?

? x2 ? 2 x ? 3



y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ?

1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: 1 f ( ) ? ? f ( x) . 1? x2 x

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,
n

5

其中 n >1,且 n ∈ N . ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

*

当 n 是奇数时, a

?a (a ? 0) ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n

m n



?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a 〃 a ? a
r r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ;
(2) (a ) ? a
r s r rs

(a ? 0, r, s ? R) ;
(3) (ab) ? a a
r s

(a ? 0, r, s ? R) .
(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或
x

[f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
(3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数
x

6

(一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫
x

做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N ( a — 底数, N — 真 . .. 数, log a N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○ ?

a x ? N ? log a N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M 〃 N ) ? log a M + log a N ;

M ? log a M - log a N ; N n 3 ○ log a M ? n log a M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

1 n (2) log a b ? . log a b ; log b a m

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+≦) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 1 辨别。如: y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称
5

其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1 2、对数函数的性质: a>1

7

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数.特别地,当 ? ? 1时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时, 幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一 象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴, x 趋于 ? ? 时, 当 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 例题:
1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

?

(

)

2.计算: ① log 3 2 ? log 27 64
1 3

;② 2 4?log2 3 = =

; 25 3

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ? ? (? 7 ) 0 ? [( ?2)3 ]? ? 16 ?0.75 ? 0.01
4 3

1 2

8

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,

2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=
f ( x) ? 0 的

5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 a 1? x

x 的取值范围

第三章 函数的应用
8

一、方程的根与函数的零点 1、 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)( x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点

? 函数 y ? f (x) 有零点.
3、函数零点的求法: 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数

y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图 象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型
2

收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

9

特别说明:
《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课
程标准, 参考独家内部资料, 结合自己颇具特色的教学实践和卓有成 效的综合辅导经验精心编辑而成; 本套资料分必修系列和选修系列及 部分选修 4 系列。欢迎使用本资料! 本套资料所诉求的数学理念是: (1) 解题活动是高中数学教与学 的核心环节, (2) 精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺 漏的两项重大功能。 本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编 写,每章或节分三个等级:[基础训练 A 组], [综合训练 B 组], [提高训练 C 组] 建议分别适用于同步练习,单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案,特别值得一提的是:单项选择题 和填空题配有详细的解题过程, 解答题则按照高考答题的要求给出完 整而优美的解题过程。 本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组:可 以在 90 分钟内做完一组题,然后比照答案,对完答案后,发现本可 以做对而做错的题目, 要思考是什么原因: 是公式定理记错?计算错 误?还是方法上的错误?对于个别不会做的题目, 要引起重视, 这是 一个强烈的信号: 你在这道题所涉及的知识点上有欠缺, 或是这类题 你没有掌握特定的方法。
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本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手, 结合详细的参 考答案, 把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚, 常思考这道 题是考什么方面的知识点, 可能要用到什么数学方法, 或者可能涉及 什么数学思想,这样举一反三,慢慢就具备一定的数学思维方法了。 本套资料酌收复印工本费。 李传牛老师保留本作品的著作权,未经许可不得翻印! 联络方式: (移动电话)13976611338,69626930 李老师。 (电子邮件)lcn111@sohu.com

目录:数学 1(必修)
数学 1(必修)第一章: (上)集合 数学 1(必修)第一章: (中) 函数及其表 [训练 A、B、C] [训练 A、B、C]

数学 1(必修)第一章: (下)函数的基本性质[训练 A、B、C] 数学 1(必修)第二章:基本初等函数(I) 数学 1(必修)第二章:基本初等函数(I) 数学 1(必修)第二章:基本初等函数(I) 数学 1(必修)第三章:函数的应用 数学 1(必修)第三章:函数的应用 数学 1(必修)第三章:函数的应用 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组] [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

(本份资料工本费:7.50 元)
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 高中阶段不仅把 函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函 数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
11

而 不 愠 , 不 亦 君 子 乎 ?

来 , 不 亦 乐 乎 ? 人 不 知

亦 说 乎 ? 有 朋 自 远 方

子 曰 : 学 而 时 习 之 , 不

新课程高中数学训练题组
根据最新课程标准,参考独家内部资料,精心 编辑而成; 本套资料分必修系列和选修系列及部 分选修 4 系列。欢迎使用本资料! 辅导咨询电话:13976611338,李老师。

(数学 1 必修)第一章(上)
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 C.接近于 0 的数 A. {x | x ? 3 ? 3}
2

集合



B.等于 2 的数 D.不等于 0 的偶数 )
2 2

2.下列四个集合中,是空集的是(
2

B. {( x, y ) | y ? ? x , x, y ? R}

C. {x | x ? 0} D. {x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R} 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C 4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? ,1? ; 1
2

B

C

其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

D. 3 个

5.若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长, 则△ ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.若全集 U ? ?0,1, 2,3? 且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个 )

12

二、填空题
1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CRQ ( e 是个无理数) 2

(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q

?

?

2. 若集合 A ? ? x | x ? 6, x ? N ? , B ? {x | x是非质数} , C ? A ? B ,则 C 的 非空子集的个数为 。 3.若集合 A ? ? x | 3 ? x ? 7? , B ? ? x | 2 ? x ? 10? ,则 A ? B ? _____________. 4.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1} ,且 A ? B , 则实数 k 的取值范围是 。

2 5.已知 A ? y y ? ? x ? 2 x ? 1 , B ? y y ? 2 x ? 1 ,则 A ? B ? _________。

?

?

?

?

三、解答题 1.已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ?

2.已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , B ? A ,求 m 的取值范围。

3.已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A ? B ? ??3? ,
2 2

?

?

?

?

求实数 a 的值。

4.设全集 U ? R ,M ? m | 方程mx ? x ? 1 ? 0有实数根 ,
2

?

?

N ? ?n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实数根? , 求 ? CU M ? ? N .

以 为 师 矣 。

子 曰 : 温 故 而 知 新 , 可

13

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(数学 1 必修)第一章(上)
[综合训练 B 组]
一、选择题
1.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合 y | y ? x ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x ? 1 是同一个集合;
2 2

集合

?

?

?

?

(3) 1, , , ?

3 6 2 4

1 , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2

(4)集合 ??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R?是指第二和第四象限内的点集。 A. 0 个 A. 1 B. 1 个 B. ?1 C. 2 个 D. 3 个 ) D. 1 或 ?1 或 0

2.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( C. 1 或 ?1

3.若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R , y ? R ,则有(
2 2

?

?

?

?



A. M ? N ? M 4.方程组 ?

B. M ? N ? N 的解集是( )

C. M ? N ? M

D. M ? N ? ?

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

A. ? 5, 4 ?

B. ?5,?4?

C. ??? 5,4?? ) B. Z
?

D. ??5,?4 ??。

5.下列式子中,正确的是( A. R ? R
?

? ?x | x ? 0, x ? Z ?

C.空集是任何集合的真子集 6.下列表述中错误的是( A.若 A ? B, 则A ? B ? A B.若 A ? B ? B,则A ? B C. ( A ? B) )

? D. ? ? ? ?

A

( A ? B)

D. CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ?

思 而 不 学 则 殆 。

子 曰 : 学 而 不 思 则 罔 ,

14

二、填空题
1.用适当的符号填空

? (1) 3 ______ x | x ? 2?, ?1,2? ____??x, y ? | y ? x ? 1?
(2) 2 ? 5 _______ x | x ? 2 ? 3 , (3) ? x |

?

?

? ?

1 ? ? x, x ? R ? _______ ? x | x3 ? x ? 0? x ?

2.设 U ? R, A ? ?x | a ? x ? b?, CU A ? ?x | x ? 4或x ? 3? 则 a ? __________ b ? __________ 。 _, 3.某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也 不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。 4.若 A ? ?1, 4, x? , B ? 1, x
2

?

2

? 且 A ? B ? B ,则 x ?


。 ;

5.已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围 若至少有一个元素,则 a 的取值范围 三、解答题 1.设 y ? x ? ax ? b, A ? ? x | y ? x? ? ?a? , M ?
2

?? a, b ?? , 求M

2.设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,
2 2 2

如果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

C 3. 集合 A ? x | x ? ax ? a ? 19 ? 0 ,B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , ? x | x ? 2 x ? 8 ? 0
2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

满足 A ? B ? ? , , A ? C ? ? , 求实数 a 的值。

4.设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? ( m ? 1) x ? m ? 0 ;
2 2

?

?

?

?

若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值。

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(数学 1 必修)第一章(上)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X C. ? ? X B. ?0? ? X D. ?0? ? X )

集合

2. 50 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人, ) 2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( A. 35 B. 25 C. 28 D. 15 3.已知集合 A ? x | x ? mx ? 1 ? 0 , 若A ? R ? ?, 则实数 m 的取值范围是(
2

?

?



A. m ? 4 B. m ? 4 C. 0 ? m ? 4 D. 0 ? m ? 4 4.下列说法中,正确的是( ) A. 任何一个集合必有两个子集; B. 若 A ? B ? ? , 则 A, B 中至少有一个为 ? C. 任何集合必有一个真子集; D. 若 S 为全集,且 A ? B ? S , 则 A ? B ? S , 5.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( (1)若 A ? B ? ? , 则?CU A? ? ?CU B ? ? U (2)若 A ? B ? U , 则?CU A? ? ?CU B ? ? ? (3)若 A ? B ? ?,则A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ) )

6.设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则( 4 2 2 4 A. M ? N C. N B. M

M

N D. M ? N ? ?


7.设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则集合 A ? B ? ( A. 0 B. ?0? C. ? D. ??1, 0,1?

16

二、填空题
1.已知 M ? y | y ? x ? 4 x ? 3, x ? R , N ? y | y ? ? x ? 2 x ? 8, x ? R
2 2

?

?

?

?

则 M ? N ? __________ 。 2.用列举法表示集合: M ? {m|

10 ? Z , m ? Z} = m ?1




3.若 I ? ? x | x ? ?1, x ? Z ? ,则 C I N =

4.设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2,3? , C ? ?2,3, 4? 则 A ? B) C ? ( ? 5.设全集 U ? ( x, y ) x, y ? R ,集合 M ? ?( x, y )



?

?

? ?

y?2 ? ? 1? , N ? ?( x, y ) y ? x ? 4? , x?2 ?

那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于________________。 三、解答题 1.若 A ? ?a, b?, B ? ?x | x ? A?, M ? ?A?, 求C B M .

2 2.已知集合 A ? ? x | ?2 ? x ? a? , B ? ? y | y ? 2 x ? 3, x ? A? , C ? z | z ? x , x ? A ,

?

?

且 C ? B ,求 a 的取值范围。

3.全集 S ? 1,3, x ? 3 x ? 2 x , A ? 1, 2 x ? 1 ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的
3 2

?

?

?

?

实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。

4.设集合 A ? ?1, 2,3,...,10? , 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3 ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ;
⑶ f ( x) ? x , g ( x ) ? ⑷ f ( x) ? A.⑴、⑵
3

x2 ;

x 4 ? x 3 , F ( x) ? x 3 x ? 1 ; ⑸ f 1 ( x) ? ( 2 x ? 5 ) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。
B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸ ) 2.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2
4 2

* 3.已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B

?

?

使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2,3 B. 3, 4 C. 3,5 D. 2,5



? x ? 2( x ? ?1) ? 4.已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A. 1 B. 1 或



3 2

C. 1 ,

3 或? 3 2

D. 3

5.为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移, 这个平移是( )

A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 6.设 f ( x ) ? ? A. 10

1 个单位 2 1 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2
B.沿 x 轴向右平移 )

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)], ( x ? 10 )
C. 12 D. 13

B. 11

18

二、填空题
?1 ? 2 x ? 1( x ? 0), ? 1.设函数 f ( x) ? ? 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 ?1 ( x ? 0). ?x ?
2.函数 y ?



x?2 的定义域 x2 ? 4
2



3.若二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2,0), B(4,0) ,且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是 。

4.函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x
2

的定义域是_____________________。

5.函数 f ( x) ? x ? x ? 1的最小值是_________________。 三、解答题 1.求函数 f ( x ) ?
3

x ?1 的定义域。 x ?1

2.求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域。

3. x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x1 ? x2 ,
2
2 2

求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域。

4. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 , a 、b 的值。 求
2

19

不 好 不 子 如 之 如 曰 乐 者 好 : 之 之 知 者 者 之 。 , 者

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( A. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 2.函数 f ( x) ? B. 2 x ? 1 D. 2 x ? 7 ) )

cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 A. 3 B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3
1? x2 1 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 2 x

3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ?



A. 15 B. 1 C. 3 D. 30 4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2 , 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(



5 2 C. [ ?5,5]

A. [ 0, ]

B. [ ?1, 4] D. [ ?3, 7]
2

5.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值域是( A. [?2, 2] C. [0, 2] B. [1, 2] D. [? 2, 2]



2 6.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x) 的解析式为( 1? x 1? x



x 1? x2 2x C. 1? x2
A.

2x 1? x2 x D. ? 1? x2
B. ?

子曰: 学而不思则罔, 思而不学则殆。
20

二、填空题
?3x 2 ? 4( x ? 0) ? 1.若函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?
2.若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =
2



. 。

3.函数 f ( x) ?

2?

1 x2 ? 2 x ? 3

的值域是

4.已知 f ( x ) ? ?

?1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0



5. 设函数 y ? ax ? 2a ? 1 , ?1 ? x ? 1 时,y 的值有正有负, 当 则实数 a 的范围 三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4 x ? 4mx ? m ? 2 ? 0, ( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,
2



? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值.

2.求下列函数的定义域 (1) y ?

x ?8 ? 3? x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

(3) y ?

1 1? 1? 1 1 x ?x

3.求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ? 1 ? 2 x ? x

4.作出函数 y ? x ? 6 x ? 7, x ? ?3,6? 的图象。
2

21

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若集合 S ? ? y | y ? 3x ? 2, x ? R? , T ? y | y ? x ? 1, x ? R ,
2

?

?

则 S ? T 是( ) A. S B. T C. ? D.有限集 2.已知函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? (0,??) 时, 有 f ( x) ? A. ?

1 x

1 , 则当 x ? (??,?2) 时, f (x) 的解析式为( x 1 1 1 B. ? C. D. ? x?2 x?2 x?2
x x ? x 的图象是(




3.函数 y ?

4. 若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ?
2

25 则 ( , 4] , m 的取值范围是 ? 4



3 2 3 3 C. [ , 3] D. [ , ?) ? 2 2 2 5.若函数 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. f ( 1 B. f ( 1 )? )? 2 2 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( 1 D. f ( 1 )? )? 2 2 2 2
B. [ ,4] 6.函数 f ( x ) ? ?

A. ?0,4?



? 2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? 的值域是( 2 ? x ? 6 x( ?2 ? x ? 0) ?
C. ? ?8,1?
22



A. R

B. ? ?9, ?? ?

D. ? ?9,1?

二、填空题
1.函数 f ( x) ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ??, 0 ? ,
2

则满足条件的实数 a 组成的集合是



2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域为__________。 3.当 x ? _______ 时,函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a2 ) ? ... ? ( x ? an ) 取得最小值。
2 2 2

4.二次函数的图象经过三点 A( , ), B(?1,3), C (2,3) ,则这个二次函数的 解析式为 。 。

1 3 2 4

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 5.已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? ? ? 2 x ( x ? 0)

三、解答题
1.求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

2.利用判别式方法求函数 y ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域。 x2 ? x ?1

三 隅 反 , 则 不 复 也 。
2

悱 不 发 。 举 一 隅 不 以

子 曰 : 不 愤 不 启 , 不

3.已知 a, b 为常数,若 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x ? 10 x ? 24,
2

则求 5a ? b 的值。

4.对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。
2

23

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(数学 1 必修)第一章(下)
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数, 则 m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2

函数的基本性质

2.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 3.如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 , 那么 f (x) 在区间 ?? 7,?3? 上是( A.增函数且最小值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 ) B.增函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5



3 2

3 2

3 2

3 2

4.设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( ) A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数 D.非奇非偶函数。 )

5.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x C. y ? B. y ? 3 ? x D. y ? ? x ? 4
2

1 x

6.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是( A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函数



24

二、填空题
1. 设奇函数 f (x) 的定义域为 ? ?5,5? , 若当 x ? [0,5] 时,

f (x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是
2.函数 y ? 2 x ?

x ? 1 的值域是________________。
x ? 2 ? 1 ? x 的值域是
. .
2

3.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ? 5.下列四个命题 (1) f ( x) ?

4.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是

x ? 2 ? 1 ? x 有意义;

(2)函数是其定义域到值域的映射;

(3)函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一直线; (4)函数 y ? ? 其中正确的命题个数是____________。

? x2 , x ? 0 ? 的图象是抛物线, 2 ?? x , x ? 0 ?

三、解答题
1.判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ? 单调性。

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 x

2.已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围。
2

3.利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域;

4.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? .
2

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

25

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(数学 1 必修)第一章(下)
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.下列判断正确的是( ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

函数的基本性质

x 2 ? 2x A.函数 f ( x) ? 是奇函数 x?2
C.函数 f ( x) ? x ?
2

1? x 是偶函数 1? x

x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数 )

2.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? C. ? ??, 40? ? ? 64, ?? ? 3.函数 y ? B. [40, 64] D. ? 64, ?? ? )

x ? 1 ? x ? 1 的值域为(
B. 0, 2

? C. ?

A. ? ?, 2

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,
2

? 2 ,?? ?

?

?
) C. a ? 5

D. ?0,???

则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3

D. a ? 3

5.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f (x) 是增函数;
2 (2)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 与 x 轴没有交点, b ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;(3) y ? x ? 2 x ? 3 的 则

2

2

递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ?

(1 ? x) 2 表示相等函数。

其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的 是( ) d d0 d d0 d d0 d d0

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

26

二、填空题
1.函数 f ( x) ? x ? x 的单调递减区间是____________________。
2

2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 ,
2

那么 x ? 0 时, f ( x) ? 3.若函数 f ( x) ?

.

x?a 在 ? ?1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

4.奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 , 最小值为 ?1 ,则 2 f (?6) ? f (?3) ? __________。 5.若函数 f ( x) ? (k ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。
2

三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ?

1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ? ? ?6, ?2? ? ? 2, 6?

2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

4. a 为实数, 设 函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 ,x ? R
2

子曰:知之者不 如好之者,好之 者不如乐之者。

(1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值。

27

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(数学 1 必修)第一章(下)
[提高训练 C 组] 一、选择题
?? x 2 ? x ? x ? 0 ? ? 1.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0 ? , h ? x ? ? ? , 2 ? x ? x ? x ? 0? ? 则 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为( )
A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

函数的基本性质

2.若 f (x) 是偶函数,其定义域为 ?? ?,?? ? ,且在 ?0,??? 上是减函数,

3 5 2 ) 2 2 3 5 3 5 2 2 A. f (? ) > f (a ? 2a ? ) B. f (? ) < f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 3 5 3 5 2 2 C. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) D. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 3.已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数, 则 a 的范围是( ) A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 4.设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 , 则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( )
则 f (? )与f (a ? 2a ? ) 的大小关系是( A. ? x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ? x | x ? ?3或x ? 3?
3

B. ? x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ? x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

5.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 4 其中 a, b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的 值等于( A. ?2 ) B. ?4
3

C. ?6
3

D. ?10

6. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,则下列坐标表示的点 一定在函数 f(x)图象上的是( A. (?a, ? f (a)) C. (a, ? f (a)) )

子曰:温故而知新, 可以为师矣。

B. (a, f (?a)) D. (?a, ? f (?a))

28

二、填空题
1.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ( x) ? x(1 ? 则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) ? _____________________。 2.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ? ? 0, ?? ? 上为增函数,则实数 a, b 的取值范围是 。
3

x) ,

x2 1 1 1 3.已知 f ( x) ? ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =_____。 2 2 3 4 1?x
4.若 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 4 5.函数 f ( x) ? ( x ? [3, 6]) 的值域为____________。 x?2



三、解答题
1.已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 , 如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y) , (1)求 f (1) ;

1 2

(2)解不等式

f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

2.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x ? (2 ? 6a) x ? 3a 的最小值。
2 2

3.已知 f ( x) ? ?4 x ? 4ax ? 4a ? a 在区间 ? 0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.
2 2

4. 已知函数 f ( x) ? ax ?

3 2 1 1 1 1 又当 x ? [ , ]时, f ( x) ? , a 的值。 求 x 的最大值不大于 , 2 6 4 2 8

29

之 从 我 。 之 师 , 焉 其 : 不 择 善 其 者 善 而 者 改 而

子 曰 : 三 人 行 , 必 有

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数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1) [基础训练 A 组] 一、选择题
1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ? C. y ? a )

x2
loga x

B. y ?

x2 x
x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? log a a )

2.下列函数中是奇函数的有几个(

ax ?1 ①y? x a ?1
A. 1 B. 2
x

x l g (? x2 ) 1 ②y? ③y? x?3 ?3 x
C. 3
?x

④y?log a

1? x 1? x

D. 4 )

3.函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 4.已知 x ? x A. 3 3 5.函数 y ?
?1

B. y 轴
3 2

C.直线 y ? x
3 ? 2

D.原点中心对称

) ? 3 ,则 x ? x 值为( B. 2 5 C. 4 5 D. ?4 5

log 1 (3x ? 2) 的定义域是(
2



2 2 2 C. [ ,1] D. ( ,1] 3 3 3 6 0.7 6 log 6.三个数 0.7 , , 0.7 6 的大小关系为( )
A. [1, ??) B. ( , ??) A. 0.7 ? log 0.7 6 ? 6
6 0.7

B. 0.7 ? 6
6

0.7

? log 0.7 6
6 0.7

C. log 0.7 6 ? 6

0.7

? 0.76

D. log 0.7 6 ? 0.7 ? 6

7.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A. 3ln x B. 3ln x ? 4 C. 3e
x



D. 3e ? 4
x

30

二、填空题
1. 2 , 3 2 , 5 4 , 8 8 , 9 16 从小到大的排列顺序是 。

2.化简

810 ? 410 的值等于__________。 8 4 ? 411

3.计算: (log 2 5)2 ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2
2 2

1 = 5
x



4.已知 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y ) 的值是_____________。

5.方程

1 ? 3? x ? 3 的解是_____________。 1 ? 3x
1

6.函数 y ? 8 2 x ?1 的定义域是______;值域是______. 7.判断函数 y ? x lg( x ?
2

x 2 ? 1) 的奇偶性



三、解答题

a 3 x ? a ?3 x 1.已知 a ? 6 ? 5 (a ? 0), 求 x 的值。 a ? a ?x
x

2.计算 1 ? lg 0.001 ?

lg 2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值。 3

3.已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。 ? log 2 x 1? x

4. (1)求函数 f ( x) ? log 的定义域。 2 x ?1 3 x ? 2

(2)求函数 y ? ( )

1 3

之 者 也 。

x 2 ?4 x

, x ? [0,5) 的值域。

好 古 , 敏 以 求

而 知 之 者 ,

子 曰 : 我 非 生

31

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数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1) [综合训练 B 组] 一、选择题
1.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值 是最小值的 3 倍,则 a 的值为( A. ) D.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

1 2

2.若函数 y ? log a ( x ? b)( a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1,0) 和 (0,1) ,则( A. a ? 2, b ? 2 C. a ? 2, b ? 1
6

) B. a ? D. a ?

2, b ? 2

2, b ? 2


3.已知 f ( x ) ? log 2 x ,那么 f (8) 等于( A.

4 3

B. 8 )

C. 18

D.

1 2

4.函数 y ? lg x (

A. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递增 B. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递减 C. 是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 5.已知函数 f ( x) ? lg A. b

1? x .若f (a) ? b.则f (?a) ? ( 1? x 1 1 B. ?b C. D. ? b b



6.函数 f ( x) ? log a x ? 1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x) 在 (1, ??) 上( A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值



32

二、填空题
1.若 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

lg a 是奇函数,则实数 a =_________。
2

2.函数 f ( x) ? log 1 x ? 2 x ? 5 的值域是__________.
2

?

?

3.已知 log14 7 ? a, log14 5 ? b, 则用 a, b 表示 log35 28 ? 4.设 A ? 1, y, lg ? xy ? , B ? 0, x , y ,且 A ? B ,则 x ? 5.计算:

。 ;y? 。

?

?

?

?

?

3? 2

?

2 log?

3? 2

?

5



6.函数 y ?

ex ? 1 的值域是__________. ex ? 1

三、解答题
1.比较下列各组数值的大小: (1) 1.7
3.3

和 0.8

2.1

; (2) 3.3

0.7

和 3.4

0.8

; (3)

3 , log 8 27, log 9 25 2

2.解方程: (1) 9

?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x x

x

3.已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。
x x

4.已知函数 f ( x) ? log a (a ? a ) (a ? 1) ,求 f ( x) 的定义域和
x

值域;

知 , 患 其 不 能 也 。

子 曰 : 不 患 人 之 不 己

33

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数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1) [提高训练 C 组] 一、选择题
1.函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,
x

则 a 的值为( A.



1 1 B. C. 2 D. 4 4 2 2.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) 3.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式 ① l o g (1 ? a) ? l o g (1 ? a a ③ a1? a ? a
1? 1 a

)

D. [2,+?)

1 ) a

② l o g (1 ? a) ? l o g (1 ? a a ④ a1? a ? a C.②与③
1? 1 a

1 ) a

其中成立的是( ) A.①与③ B.①与④

D.②与④ )

4.设函数 f ( x) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( A. 1 B. ? 1 C. 10 D.

1 x

1 10

5.定义在 R 上的任意函数 f ( x) 都可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个 偶函数 h( x ) 之和,如果 f ( x) ? lg(10 x ? 1), x ? R ,那么( A. g ( x) ? x , h( x) ? lg(10 x ? 10? x ? 1) )

lg(10 x ? 1) ? x lg(10x ? 1) ? x , h( x ) ? 2 2 x x C. g ( x) ? , h( x) ? lg(10 x ? 1) ? 2 2
B. g ( x) ?

lg(10 x ? 1) ? x x D. g ( x) ? ? , h( x) ? 2 2
6.若 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则( ) ,b ? ,c ? 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

34

二、填空题
1.若函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________。
2

? ?

? ?

2.若函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 1 的值域为 R ,则 a 的范围为__________。
2

3.函数 y ? 1 ? ( ) 的定义域是______;值域是______.
x

1 2

4.若函数 f ( x) ? 1 ? 5.求值: 27 3 ? 2
2

m 是奇函数,则 m 为__________。 a ?1
x

log 2 3

1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? __________。 8

三、解答题
1.解方程: (1) log 4 (3 ? x) ? log 0.25 (3 ? x) ? log 4 (1 ? x) ? log 0.25 (2 x ? 1)

(2) 10

(lg x )2

? x lg x ? 20

2.求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ? ? ?3, 2? 上的值域。
x x

1 4

1 2

3.已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小。

4.已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0? , x ? 2 ?1 2 ? ⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 .

子曰:我非生而知 之者,好古,敏以 求之者也。

35

也 ! 予 一 以 贯 之 。

曰 : 然 , 非 与 ? 曰 : 非

多 学 而 识 之 者 与 ? 对

子 曰 : 赐 也 , 女 以 予 为

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数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [基础训练 A 组] 一、选择题
1.若 y ? x , y ? ( ) , y ? 4 x , y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) , y ? x, y ? a (a ? 1)
2 x 2 5 2 x

1 2

上述函数是幂函数的个数是( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

) D. 3 个 )

2.已知 f (x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( A.函数 f (x) 在 (1, 2) 或 ? 2, 3 ? 内有零点 B.函数 f (x) 在 (3,5) 内无零点 C.函数 f (x) 在 (2,5) 内有零点 D.函数 f (x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 3.若 a ? 0, b ? 0, ab ? 1 , log 1 a ? ln 2 ,则 log a b 与 log 1 a 的关系是(
2



2

A. log a b ? log 1 a
2

B. log a b ? log 1 a
2

C. log a b ? log 1 a D. log a b ? log 1 a
2
3

2

4. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

) )

5.已知函数 y ? f (x) 有反函数,则方程 f ( x) ? 0 ( A.有且仅有一个根 C.至少有一个根
2

B.至多有一个根 D.以上结论都不对 )

6.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D. ? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ?

7.某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则第四年造林( A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩



36

二、填空题
1.若函数 f ? x ? 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f ? x ? = 2.幂函数 f ( x) 的图象过点 3, 27) ,则 f ( x) 的解析式是_____________。 (
4



3.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,
3

那么下一个有根的区间是 4.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

。 。 ,方程 f ( x) ? 0

5.设函数 y ? f (x) 的图象在 ? a , b ? 上连续,若满足 在 ? a , b ? 上有实根.

三、解答题
1.用定义证明:函数 f ( x) ? x ?

1 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数。 x

2 . 设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 ax ? bx ? c ? 0 和 ?ax ? bx ? c ? 0 的 一 个 根 , 且
2 2

x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2

3.函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ? 0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值。
2

4.某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨1 元, 销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少? .

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数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [综合训练 B 组] 一、选择题
1。若函数 y ? f (x) 在区间 ? a , b ? 上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( )

A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 2.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3 C. 1 ) D. 0
x

3.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x 2 是 10 ? x ? 3 的解, 则 x1 ? x2 的值为( A. ) D.

3 2

B.

2 3
?2

C. 3

1 3


4.函数 y ? x 在区间 [ ,2] 上的最大值是( A.

1 2

1 4

B. ? 1
x

C. 4

D. ? 4
x

5.设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( A. (1,1.25) C. (1.5, 2) )

B. (1.25,1.5) D.不能确定
2

6.直线 y ? 3 与函数 y ? x ? 6 x 的图象的交点个数为( A. 4 个
x



B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

7.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) C. (0, 2) B. (0,1) D. (0, ??)

38

二、填空题
1. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x% , 2005 年底世界人口 为 y 亿,那么 y 与 x 的函数关系式为 . 2. y ? x
a 2 ? 4 a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
1 ? 2



3.函数 y ? (0.5x ? 8)

的定义域是



4.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________. 5. 函数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x m
2

? 2 m ?3

是幂函数, 且在 x ? (0, ??) 上是减函数, 则实数 m ? ______.

三、解答题
1.利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根: ① x ? 7 x ? 12 ? 0 ;② lg( x ? x ? 2) ? 0 ;
2
2

③ x ? 3x ? 1 ? 0 ;
3

④3

x ?1

? ln x ? 0 。

2.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 在区间 (1, 2) 内的近似解(精确到 0.1 ).
x

3.证明函数 f ( x) ?

x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数。

4. 某电器公司生产 A 种型号的家庭电脑, 并以纯利润 2% 1996 年平均每台电脑的成本 5000 元, 标定出厂价. 1997 年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成 本逐年降低. 2000 年平均每台电脑出厂价仅是 1996 年出厂价的 80% , 但却实现了纯利 润 50% 的高效率. ① 2000 年的每台电脑成本; ②以 1996 年的生产成本为基数,用“二分法”求 1996 年至 2000 年生产成本平均每年降 低的百分率(精确到 0.01 )

39

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数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [提高训练 C 组] 一、选择题
1.函数 y

? x3 (



A.是奇函数,且在 R 上是单调增函数 B.是奇函数,且在 R 上是单调减函数 C.是偶函数,且在 R 上是单调增函数 D.是偶函数,且在 R 上是单调减函数 2.已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1 , c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. b ? c ? a
5



3.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1]
x

)

B. [1, 2]

C. [2,3]
2

D. [3, 4]

4.在 y ? 2 , y ? log 2 x, y ? x , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
使 f(



5.若函数 f ( x) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( A.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点 B.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 C.函数 f ( x) 在区间 ? 2,16 ? 内无零点 D.函数 f ( x) 在区间 (1,16) 内无零点 6.求 f ( x) ? 2 x ? x ? 1 零点的个数为 (
3





A. 1

B. 2
3

C. 3

D. 4 )

7. 若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根, a ? b 的值为 则 ( A. ?1 B. ?2 C. ?3 D. ?4

40

二、填空题
1. 函数 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根, 则这三个实根的和为
2

1 2

1 2



2.若函数 f ( x) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。 3. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查, 制 成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如 图) ,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

4.函数 y ? x 与函数 y ? x ln x 在区间 (0, ??) 上增长较快的一个是
2



5.若 x ? 2 ,则 x 的取值范围是____________。
2 x

三、解答题
1.已知 2 ? 256 且 log 2 x ?
x

x 1 ,求函数 f ( x) ? log 2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值. 2

2. 建造一个容积为 8 立方米, 深为 2 米的无盖长方体蓄水池, 池壁的造价为每平方米 100 元, 池底的造价为每平方米 300 元,把总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数。

3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,求使方程 log a ( x ? ak ) ? log a2 ( x ? a ) 有解时的 k 的取值范围。
2 2

41

新课程高中数学训练题组参考答案(咨询 13976611338)
(数学 1 必修)第一章(上) [基础训练 A 组]
一、选择题 1. C 元素的确定性; 2. D 选项 A 所代表的集合是 ?0? 并非空集,选项 B 所代表的集合是 ?(0, 0)?

并非空集,选项 C 所代表的集合是 ?0? 并非空集, 选项 D 中的方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根;
2

3. 4.

A A

阴影部分完全覆盖了 C 部分,这样就要求交集运算的两边都含有 C 部分; (1)最小的数应该是 0 , (2)反例: ?0.5 ? N ,但 0.5 ? N (3)当 a ? 0, b ? 1, a ? b ? 1 ,(4)元素的互异性

5. 6.

D C

元素的互异性 a ? b ? c ;

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ? 1 ? 7 。

二、填空题 1.

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?,(3) ?
( 2? 3? 2?

; 0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 1 6 ? 4

2 3 )? 6, ? 2

? 3

? 2

? 当 a 6 ,0 ,b ? 1 6 在集合中 3 时 ?

2.

15

A ? ?0 , 1 , 2 , 3 , 4?,, , 6? ?0 , 1 , 4? ,非空子集有 24 ? 1? 1 5 5C ,6 ;
? ?? ? ? 2 ,? 7 , ,显然 A ? B ? ? x | 2? x ? 1? 3, 10 0

3.

? x | 2 ? x ? 10?
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

4.

??? ???? ? ? ?2k ? 1 ? ?3 1 ?3 ,?? ??? 1 , 2 ? 2 ? 1 , 2? ,则 k? k? 得 ?1 ?k ? 2 ?2k ? 1? 2

5.

? y | y ? 0?

y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1)2 ? 0 , A ? R 。

三、解答题 1.解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?; 2.解:当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;

42

当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3 3.解:∵ A ? B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a ? 1 ? ?3 ,
2

? m ? 1 ? ?2 即 2 ? m ? 3; ? 2m ? 1 ? 5

∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1? , 这样 A ? B ? ??3,1? 与 A ? B ? ??3? 矛盾; 当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A ? B ? ??3? ∴ a ? ?1 4.解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; 当 m ? 0 时, ? ?1 ?4 m ?0即 m ? ? , ∴m ? ?

1 ,且 m ? 0 4

1? 1 ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4? 4 ? 1? 1 ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4? 4 ?

而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?

∴ (CU M ) ? N ? ? x | x ? ? ?

? ?

1? 4?

(数学 1 必修)第一章(上)

[综合训练 B 组]

一、选择题 1. A (1)错的原因是元素不确定, (2)前者是数集,而后者是点集,种类不同, (3)

3 6 1 ? , ? ? 0.5 ,有重复的元素,应该是 3 个元素, (4)本集合还包括坐标轴 2 4 2
当 m ? 0 时, B ? ? , 满足 A ? B ? A ,即 m ? 0 ;当 m ? 0 时, B ? ?

2.

D

?1? ?, ?m?

而 A ? B ? A ,∴ 3. A

1 ? 1或 ? 1,m ? 1或 ? 1 ;∴ m ? 1, ?1或0 ; m

N ?(0,0), N ? M ; ? ?

4.

D

?x ? y ? 1 ?x ? 5 得? ,该方程组有一组解 (5, ?4) ,解集为 ?(5, ?4)? ; ? ? x ? y ? 9 ? y ? ?4

43

5.

D

选项 A 应改为 R ? R , 选项 B 应改为 " ? " , 选项 C 可加上 “非空” 或去掉 , “真” , 选项 D 中的 ?? ? 里面的确有个元素“ ? ” ,而并非空集;

?

6.

C

当 A ? B 时, A ? B ? A ? A ? B

二、填空题 1.

(1) ? , ( 2 ) , ( 3 ) ? , ? ?
(1) 3 ? 2 , x ? 1, y ? 2 满足 y ? x ? 1 , (2)估算 2 ? 5 ? 1.4 ? 2.2 ? 3.6 , 2 ? 3 ? 3.7 , 或 ( 2 ? 5) ? 7 ? 40 , (2 ? 3) ? 7 ? 48
2
2

(3)左边 ? ??1,1? ,右边 ? ??1, 0,1? 2.

a ? 3, b ? 4

A ? CU (CU A )? ? x | 3 x ? ?

? ?4 ?x

a |? x ? b?

3. 全班分 4 类人:设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x 人;仅爱好体育 26 的人数为 43 ? x 人;仅爱好音乐的人数为 34 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为 4 人 。∴ 43 ? x ? 34 ? x ? x ? 4 ? 55 ,∴ x ? 26 。 4.

0,2, 或 ? 2

得 ? 由 A ? B? B B

A ,则 x ? 4或x ? x ,且 x ? 1 。
2 2

5.

9 9? ? ? ? ?a | a? ,或 a? 0 , ? a | a ? ? ? 8 8? ? ? ?

当 A 中仅有一个元素时, a ? 0 ,或 ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有 0 个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有两个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 三、解答题
2 1. 解:由 A ? ?a? 得 x ? ax ? b ? x 的两个根 x1 ? x2 ? a ,

即 x ? (a ? 1) x ? b ? 0 的两个根 x1 ? x2 ? a ,
2

∴ x1 ? x2 ? 1 ? a ? 2a, 得a ? ∴ M ? ?? , ??

1 1 , x1 x2 ? b ? , 3 9

?? 1 1 ?? ?? 3 9 ??
2 2

2.解:由 A ? B ? B得B ? A ,而 A ? ??4, 0? , ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 8a ? 8 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ?0? ,符合 B ? A ;
44

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4, 0? ; ∴ B ? ??4, 0? 得 a ? 1 ∴ a ? 1或a ? ?1 。 3.解: B ? ?2,3? , C ? ??4, 2? ,而 A ? B ? ? ,则 2,3 至少有一个元素在 A 中, 又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A , 3 ? A ,即 9 ? 3a ? a ? 19 ? 0 ,得 a ? 5或 ? 2
2

而 a ? 5时,A ? B与 A ? C ? ? 矛盾, ∴ a ? ?2 4. 解: A ? ??2, ?1? ,由 (CU A) ? B ? ? , 得B ? A , 当 m ? 1时, B ? ??1? ,符合 B ? A ; 当 m ? 1时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ?m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1或 2 。

(数学 1 必修)第一章(上)
一、选择题 1. 2. D

[提高训练 C 组]

0 ? ?1, 0 ? X , ?0? ? X

B 全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数 为 40 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为 4 人 。∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 。 C 由 A ? R ? ?得A ? ? , ? ? ( m ) ? 4 ? 0, m ? 4, 而m ? 0, ∴ 0 ? m ? 4 ;
2

3. 4.

D

选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合 A, B 无公共元素,

选项 C: ? 无真子集,选项 D 的证明:∵ ( A ? B) ? A,即S ? A, 而A ? S , ∴ A ? S ;同理 B ? S , ∴ A ? B ? S ; 5. D (1) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ? CU ? ? U ; (2) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ? CUU ? ? ; (3)证明:∵ A ? ( A ? B),即A ? ? , 而? ? A ,∴ A ? ? ; 同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? ;

6.

B

M:

2k ? 1 奇数 k ? 2 整数 ;N: ,整数的范围大于奇数的范围 , , 4 4 4 4
45

7.B

A ? ?0,1? , B ? ??1, 0?

二、填空题
1.

? x | ?1 ? x ? 9?
2 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? ? ? y | y ? x ? 2) ? 1 ? ?1? (

N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? ? ? y | y ? ? x ? 1 2 ? 9 ? 9? ( )
2. 3. 4. 5.

?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9?

m ? 1 ? ?10, ?5, ?2, 或 ? 1 ( 10 的约数)

?? 1?
2 3, ?1,,4?

I ? ??1? ? N , CI N ? ??1? A ? B ? ?1, 2?

??2,?2??

M : y ? x ? 4( x ? 2) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是

挖掉点 (2, ?2) , CU M 代表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ?2) ;

N 代表直线 y ? x ? 4 外, CU N 代表直线 y ? x ? 4 上,
∴ (CU M ) ? (CU N ) ? ?(2, ?2)? 。 三、解答题 1. 解: x ? A, 则x ? ? , ?a? , ?b? , 或 ?a, b? , B ? ? , ?a? , ?b? , ?a, b? ∴ CB M ? ? , ?a? , ?b?

?

?

?

?

2. 解: B ? ? x | ?1 ? x ? 2a ? 3? ,当 ?2 ? a ? 0 时, C ? x | a ? x ? 4 ,
2

?

?

而 C ? B 则 2a ? 3 ? 4,即a ?

1 , 而 ? 2 ? a ? 0, 这是矛盾的; 2

当 0 ? a ? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B , 则 2a ? 3 ? 4,即a ?

1 1 ,即 ? a ? 2 ; 2 2
2

当 a ? 2 时, C ? x | 0 ? x ? a
2

?

? ,而 C ? B ,
1 ?a?3 2

则 2a ? 3 ? a , 即 2 ? a ? 3 ; ∴

46

3. 解:由 CS A ? ?0? 得 0 ? S ,即 S ? ?1,3, 0? , A ? ?1,3? , ∴?

? 2x ?1 ? 3 ?
3 2 ? x ? 3x ? 2 x ? 0 ?

,∴ x ? ?1

4. 解:含有 1 的子集有 29 个;含有 2 的子集有 29 个;含有 3 的子集有 29 个;…, 含有 10 的子集有 29 个,∴ (1 ? 2 ? 3 ? ... ? 10) ? 2 ? 28160 。
9

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(数学 1 必修)第一章(中) [基础训练 A 组]

一、选择题 1. C (1)定义域不同; (2)定义域不同; (3)对应法则不同; (4)定义域相同,且对应法则相同; (5)定义域不同; 2. C 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x ? 1 仅有一个函数值; 3. D 按照对应法则 y ? 3x ? 1 , B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? 4, 7, a , a ? 3a
4 2

?

?

而 a ? N , a ? 10 ,∴ a ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a ? 16, k ? 5
* 4 2 4

4.

D 该分段函数的三段各自的值域为 ? ??,1? , ? 0, 4 ? , ? 4, ?? ? ,而 3 ? ? 0, 4 ?
2 ∴ f ( x) ? x ? 3, x ? ? 3, 而 ? 1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ;

5. D 平移前的“ 1 ? 2 x ? ?2( x ? ) ” ,平移后的“ ?2x ” , 用“ x ”代替了“ x ? 6. B

1 2

1 1 1 ” ,即 x ? ? ? x ,左移 2 2 2

f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 。

二、填空题 1.

? ??, ?1?

1 a ? 1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的; 2 1 当 a ? 0时, f (a) ? ? a, a ? ?1 ; a
当 a ? 0时, f (a) ?

2. 3.

?x | x ? ?2, 且x ? 2?
y ? ?( x ? 2)( x ? 4)

x2 ? 4 ? 0
设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 , 当 x ? 1 时, ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1

47

4.

? ??, 0 ?
? 5 4

?x ?1 ? 0 ? ,x ?0 ? ?x ?x?0 ?

5.

1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? 。 2 4 4

三、解答题 1.解:∵ x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ?1 ,∴定义域为 ? x | x ? ?1? 2.解: ∵ x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ∴y?

1 2

3 3 ? , 4 4

3 3 ,∴值域为 [ , ??) 2 2
2

3.解: ? ? 4(m ? 1) ? 4(m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 ,

y ? x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2

? 4 (m ? 12)?
2

m(? 2

1)

? 4m ? 1 0 ? 2 m
∴ f (m) ? 4m ? 10m ? 2, (m ? 0或m ? 3) 。
2

4. 解:对称轴 x ? 1 , ?1, 3? 是 f ( x) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即 ? a ? b ? 3 ? 2,
∴?

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1

(数学 1 必修)第一章(中)
一、选择题 1. B

[综合训练 B 组]

∵ g ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ? 2( x ? 2) ? 1, ∴ g ( x) ? 2 x ? 1 ;

2.

B

cf ( x) 3x cx ? x, f ( x ) ? ? , 得c ? ?3 2 f ( x) ? 3 c ? 2x 2x ? 3

1 1 1 1 1 ? x2 ? 15 3. A 令 g ( x) ? ,1 ? 2 x ? , x ? , f ( ) ? f ? g ( x) ? ? 2 2 4 2 x2
4. A

?2 ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 4, ?1 ? 2 x ? 1 ? 4, 0 ? x ?

5 ; 2

48

5.

C

? x 2 ? 4 x ? ?( x ? 2) 2 ? 4 ? 4, 0 ? ? x 2 ? 4 x ? 2, ?2 ? ? ? x 2 ? 4 x ? 0 0 ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ? 2, 0 ? y ? 2 ;

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 1 ? t ? 2t 。 6. C 令 ? t , 则x ? , f (t ) ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? t 1? ( ) 1? t
二、填空题 1. 2.

3? 2 ? 4

f (0) ? ? ;
2

?1
( 2,

令 2 x ? 1 ? 3, x ? 1, f (3) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ? ?1 ;

3.

3 2 ] 2

x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2, x 2 ? 2 x ? 3 ? 2,

0?
4. ( ??, ]

1 x ? 2x ? 3
2

?

2 3 2 , 2 ? f ( x) ? 2 2

3 2

当 x ? 2 ? 0, 即x ? ?2, f ( x ? 2) ? 1, 则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ?

3 , 2

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f ( x ? 2) ? ?1, 则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2 ∴x? 5.

3 ; 2

1 (?1, ? ) 3
令y ? f ( x), 则f (1) ? 3a ? 1, f (?1) ? a ? 1, f (1) ? f (?1) ? (3a ? 1)(a ? 1) ? 0
得 ?1 ?a ? ?

1 3

三、解答题 1. 解: ? ? 16m ? 16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,
2

2 ? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ) 2? 2?? ? m ? m ? 1

1 2

当m ? ?1时, (? 2 ? ? 2 ) min ?

1 2

2. 解: (1)∵ ?

?x ? 8 ? 0 得 ? 8 ? x ? 3, ∴定义域为 ? ?8,3? ?3 ? x ? 0

49

? x2 ?1 ? 0 ? 2 2 (2)∵ ?1 ? x ? 0 得x ? 1且x ? 1, 即x ? ?1 ∴定义域为 ??1? ?x ?1 ? 0 ?
? ? ? ? ?x ? 0 ?x ?x?0 ? ? 1? ? 1 ? 1 1 ? ? ? (3)∵ ?1 ? ∴定义域为 ? ??, ? ? ? ? ? , 0 ? ? 0 得 ?x ? ? 2? ? 2 ? x ?x 2 ? ? ? ? ? 1 1 ?0 ? x ?x ?0 ?1 ? ? ? 1? 1 ? x ?x ?
3. 解: (1)∵ y ?

3? x 4y ?3 , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? , 得y ? ?1 , 4? x y ?1

∴值域为 ? y | y ? ?1? (2)∵ 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ? 1) ? 1 ? 1,
2 2

∴0 ?

1 ? 1, 0 y ? ? 2 x ? 4x ? 3
2

5

∴值域为 ? 0 , 5 ?

1 , 且y是x 的减函数, 2 1 1 1 当 x ? 时,ym i n? ? , ∴值域为 [? , ? ?) 2 2 2 4. 解: (五点法:顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点以及该点关于对称轴对称的点)
(3) 1 ? 2 x ? 0, x ?

(数学 1 必修)第一章(中)
一、选择题 1. 2. B

[提高训练 C 组]

S ? R, T ? ? ?1, ?? ? , T ? S

D 设 x ? ?2 ,则 ? x ? 2 ? 0 ,而图象关于 x ? ?1 对称, 得 f ( x) ? f (? x ? 2) ?

1 1 ,所以 f ( x) ? ? 。 ?x ? 2 x?2

3. 4. 5.

D C A

? x ? 1, x ? 0 y?? ? x ? 1, x ? 0
作出图象 m 的移动必须使图象到达最低点 作出图象 图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如
2
2

二次函数 f ( x) ? x 的图象;向下弯曲型,例如 二次函数 f ( x) ? ? x 的图象;
50

6.

C

作出图象 也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集 当 a ? 2时,f ( x) ? ?4, 其值域为?-4? ? ? ??, 0? 当 a ? 2时,f ( x) ? 0, 则 ?

二、填空题
1.

??2?

?a ? 2 ? 0
2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16( a ? 2) ? 0

, a ? ?2

2. 3.

? 4, 9?

0 ? x ? 2 ? 1, 得2 ? x ? 3,即4 ? x ? 9

4. 5.

a1 ? a2 ? ... ? an f ( x) ? nx 2 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) x ? (a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ) n a ? a2 ? ... ? an 当x? 1 时, f ( x) 取得最小值 n 1 3 y ? x 2 ? x ? 1 设 y ? 3 ? a( x ? 1)( x ? 2) 把 A( , ) 代入得 a ? 1 2 4

?3

由 10 ? 0 得 f ( x) ? x ? 1 ? 10, 且x ? 0, 得x ? ?3
2

三、解答题
1? t2 1? t2 1 1 1. 解:令 1 ? 2 x ? t , (t ? 0) ,则 x ? ,y? ? t ? ? t2 ? t ? 2 2 2 2

1 y ? ? (t ? 1 2 ? ,当 t ? 1时, ym a x? 1 ,所以y ? ? ?? ,?1 ) 1 2
2. 解: y( x ? x ? 1) ? 2 x ? 2 x ? 3, ( y ? 2) x ? ( y ? 2) x ? y ? 3 ? 0, (*)
2 2 2

显然 y ? 2 ,而(*)方程必有实数解,则

? ?( y ?2 2 ? 4y ? 2 y ( ? 3 ? ∴ y ? (2, ) ( ) ) , 0
2 2

10 ] 3

3. 解: f (ax ? b) ? (ax ? b) ? 4(ax ? b) ? 3 ? x ? 10 x ? 24,

a2 x2? ( 2 a b 4 a ? ? ) x

2

b? 4 b 3 ? 2 x ? 1 0 x 2 4 , ? ?

?a 2 ? 1 ?a ? 1 ? a ? ?1 ? ∴ ?2a b? 4 a 1 0 得 ? ,或 ? ? ?b ? ? 7 ?b 2 ? 4b ? 3? 2 4 ?b ? 3 ? ∴ 5a ? b ? 2 。
4. 解:显然 5 ? a ? 0 ,即 a ? 5 ,则 ?

?5 ? a ? 0 ?? ? 36 ? 4(5 ? a)(a ? 5) ? 0

得?

?a ? 5
2 ? a ? 16 ? 0

,∴ ?4 ? a ? 4 .

51

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(数学 1 必修)第一章下
一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. B D A A A 奇次项系数为 0, m ? 2 ? 0, m ? 2

[基础训练 A 组]

3 f (2) ? f (?2), ?2 ? ? ? ?1 2
奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性

F ( ? x) ? f ( ? x) ? f ( x ) ? ? F ( x ) y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ?

1 在 (0, ??) 上递减, x

y ? ? x 2 ? 4 在 (0, ??) 上递减,
6. A

f (? x) ? x ( ? x ? 1 ? ? x ? 1) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) ? ? f ( x)

??2 x, x ? 1 ? 2 ??2 x , 0 ? x ? 1 为奇函数,而 f ( x) ? ? , 为减函数。 2 x 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?2 x, x ? ?1 ?
二、填空题 1. 2.

(?2, 0) ? ? 2,5?

奇函数关于原点对称,补足左边的图象

[?2, ??)
?

x ? ?1, y 是 x 的增函数,当 x ? ?1 时, ymin ? ?2
?
该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小; 自变量最大时,函数值最大

3. ? 2 ? 1, 3 ?

4. 5.

? 0, ?? ?
1

k ? 1 ? 0, k ? 1, f ( x) ? ? x 2 ? 3

(1) x ? 2且x ? 1 ,不存在; (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由 离散的点组成的; (4)两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线。 三、解答题 1.解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b 2 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 (??, ? ] 是减函数,在 [? , ??) 是增函数, 2a 2a
当k ? 0, y ?
52

b b ] 是增函数,在 [? , ??) 是减函数。 2a 2a ??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2 2.解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a ) ? f (a ? 1) ,则 ??1 ? 1 ? a 2 ? 1 , ?1 ? a ? a 2 ? 1 ? ? 0 ? a ?1 1 1 1 3.解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , 2 2 2 1 ? y ?[ ? , ? ? ) 2
当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 (??, ?
2

4. 解:(1)a ? ?1, f ( x) ? x ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
2

∴ f ( x)max ? 37, f ( x) m in ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ?a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调 ∴ a ? 5 或 a ? ?5 。

(数学 1 必修)第一章(下)
一、选择题 1. C

[综合训练 B 组]

选项 A 中的 x ? 2, 而 x ? ?2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1, 而 x ? ?1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;

2.

C

对称轴 x ?

k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8

3.

B

y?

2 , x ? 1 , y 是 x 的减函数, x ?1 ? x ?1
2, 0 ? y ? 2

当 x ? 1, y ? 4. 5.

A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3 A (1)反例 f ( x) ?

1 ; (2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可; (3)画出图象 x

可知,递增区间有 ? ?1, 0? 和 ?1, ?? ? ; (4)对应法则不同 6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快! 二、填空题 1. 2.

1 1 (??, ? ],[0, ] 2 2

画出图象

? x 2 ? x ? 1 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f (? x) ? x 2 ? x ? 1 ,
∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x ) ? x ? x ? 1 , f ( x ) ? ? x ? x ? 1
2 2

53

3.

f ( x) ?

x x ?1
2

∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ f (?0) ? ? f (0), f (0) ? 0,

a ? 0, a ? 0 1 x ?1 1 即 f ( x) ? 2 , f (?1) ? ? f (1), ?? ,b ? 0 x ? bx ? 1 2?b 2?b

4.

?15

f ( x) 在区间 [3, 6] 上也为递增函数,即 f (6) ? 8, f (3) ? ?1 2 f ( 6 ) f ? 3 ? ? f 2 ( 6 f) ? ? ( ) ? (? ) 3? 15

5.

(1, 2)

k 2 ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2

三、解答题 1.解: (1)定义域为 ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ?

1 ? x2 , x

∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

1 ? x2 为奇函数。 x

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)

x x x ∴ f ( x )? f ( 1 ? 2 ? 2 ) ? 1

f 1x ( ?

2

x? )

( 2 x? f )

(2x f )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?? ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ?

54

4.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 为偶函数,
2

当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ?为非奇非偶函数; 1
2

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 当a ?

1 2

3 , 4

1 1 3 时, f ( x) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x ) m i n 不存在; 2 1 3 当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? , 2 4 1 ? 2 1 当 a ? ? 时, f ( x) i n? f ( a) a ? , m 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) m i n? f (? ) ? ?a ? 。 2 2 4

(数学 1 必修)第一章(下)
一、选择题 1. D

[提高训练 C 组]

f ? ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? x ? a ? x ? a ? ? f ( x) ,
画出 h( x ) 的图象可观察到它关于原点对称

或当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 h(? x) ? x ? x ? ?(? x ? x) ? ?h( x);
2 2

当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 h(? x) ? ? x ? x ? ?( x ? x) ? ?h( x);
2 2

? h(? x) ? ?h( x)
2. 3. C B

a 2 ? 2a ?

5 3 3 3 3 5 ? (a ? 1)2 ? ? , f (? ) ? f ( ) ? f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 2

对称轴 x ? 2 ? a, 2 ? a ? 4, a ? ?2 由 x ? f ( x) ? 0 得 ?

4.

D

?x ? 0 ?x ? 0 或? 而 f (?3) ? 0, f (3) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0

即?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? f ( x) ? f (?3) ? f ( x) ? f (3)
3 3

5.

D 令 F ( x) ? f ( x) ? 4 ? ax ? bx ,则 F ( x) ? ax ? bx 为奇函数

F (?2) ? f (?2) ? 4 ? 6, F (2) ? f (2) ? 4 ? ?6, f (2) ? ?10

55

6.

B

f (? x) ? ? x3 ? 1 ? ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? f ( x) 为偶函数

(a , f (a )一定在图象上,而 f ( a)? f ? a,∴ (a , f ? a )一定在图象上 ) ( ) ( )
二、填空题 1.

x(1 ? 3 x )

设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f (? x) ? ? x(1 ? 3 ? x ) ? ? x(1 ? 3 x ) ∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? ? x(1 ? 3 x )

2. 3.

a ? 0 且 b ? 0 画出图象,考虑开口向上向下和左右平移
7 2
f ( x) ? x2 1 1 1 , f( )? , f ( x) ? f ( ) ? 1 2 2 x 1? x x 1?x

1 1 1 1 f (1) ? , f (2) ? f ( ) ? 1, f (3) ? f ( ) ? 1, f (4) ? f ( ) ? 1 2 2 3 4
4.

1 ( , ??) 2
?

设 x1 ? x2 ? ?2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 )

ax1 ? 1 ax2 ? 1 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ? x1 ( x1 ? x2 )(2a ? 1) ? ? ? ? 0 ,则 2a ?1 ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

5.

?1, 4 ?

区间 [3, 6] 是函数 f ( x) ?

4 的递减区间,把 3,6 分别代入得最大、小值 x?2

三、解答题 1. 解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2
? x ?? 2 ? 0 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 。 则? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
2. 解:对称轴 x ? 3a ? 1, 当 3a ?1 ? 0 ,即 a ?

1 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x) min ? f (0) ? 3a ; 3 2 2 当 3a ?1 ? 1 ,即 a ? 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x) min ? f (1) ? 3a ? 6a ? 3 ; 3
56

1 2 ? a ? 时, f ( x)min ? f (3a ? 1) ? ?6a 2 ? 6a ? 1 。 3 3 a a 3.解:对称轴 x ? ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, 2 2
当 0 ? 3a ?1 ? 1 ,即 则 f ( x) max ? f (0) ? ?4a ? a ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ;
2

a ? 1, 即 a ? 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x) max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5 , 2 a 得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ? ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2 a 5 5 5 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ? ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 。 2 4 4 4 3 a 2 1 2 1 2 1 4.解: f ( x) ? ? ( x ? ) ? a , f ( x) ? a ? , 得 ? 1 ? a ? 1 , 2 3 6 6 6
当 对称轴 x ?

a 3 1 ?1 1? ,当 ?1 ? a ? 时, ? , ? 是 f ( x) 的递减区间,而 f ( x) ? , 3 4 8 ?4 2? 1 2

a 3 1 3 ? ? , a ? 1 与 ?1 ? a ? 矛盾,即不存在; 2 8 8 4 1 1 ? 3 a 1 a 1 1 4 2 3 当 ? a ? 1 时,对称轴 x ? ,而 ? ? ,且 ? ? 4 3 4 3 3 3 2 8 1 a 3 1 3 即 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ,而 ? a ? 1 ,即 a ? 1 2 2 8 8 4 ∴ a ?1
即 f ( x) min ? f ( ) ?

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(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[基础训练 A 组]
一、选择题 1. D

y ? x 2 ? x ,对应法则不同; y ?

x2 , ( x ? 0) x

y ? a loga x ? x, ( x ? 0) ; y ? log a a x ? x( x ? R)
2. D 对于 y ?

ax ?1 a? x ? 1 a x ? 1 , f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ,为奇函数; a x ?1 a ?1 1? a x

对于 y ?

x lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ,显然为奇函数; y ? 显然也为奇函数; x ?3 ?3 x x

对于 y ? log a 3.

1? x 1? x 1? x , f (? x) ? log a ? ? log a ? ? f ( x) ,为奇函数; 1? x 1? x 1? x
?x
?x

D 由 y ? ?3 得 ? y ? 3 , ( x, y) ? (? x, ? y ) ,即关于原点对称;
57

4.

B

x ? x?1 ? ( x 2 ? x 2 )2 ? 2 ? 3, x 2 ? x x2 ? x
3 ? 3 2 1 ? 1

1

?

1

1

?

1 2

? 5

? ( x 2 ? x 2 )( x ? 1 ? x?1 ) ? 2 5
2 ? x ?1 3

5.

D

log 1 (3x ? 2) ? 0 ? log 1 1, 0 ? 3 x ? 2 ? 1,
2 2

6.

D

0.76 ? 0.70 =1,0.7 ? 60 =1, 0.7 6 ? 0 6 log

当 a, b 范围一致时, log a b ? 0 ;当 a, b 范围不一致时, log a b ? 0 注意比较的方法,先和 0 比较,再和 1 比较 7. D 由 f (ln x) ? 3x ? 4 ? 3e 二、填空题 1.
3 ln x

? 4 得 f ( x) ? 3e x ? 4

2 ? 8 8 ? 5 4 ? 9 16 ? 2
1 2 3 1 3 5 2 5 8 3 8 9 4 9

2 ? 2 , 2 ? 2 , 4 ? 2 , 8 ? 2 , 16 ? 2 ,


1 3 2 4 1 ? ? ? ? 3 8 5 9 2
810 ? 410 230 ? 220 220 (1 ? 210 ) ? 12 ? 12 ? 28 ? 16 4 11 22 10 8 ?4 2 ?2 2 (1 ? 2 )

2.

16

3. 4.

?2 原式 ? log 2 5 ? 2 ? log 2 5?1 ? log 2 5 ? 2 ? log 2 5 ? ?2
0
( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 ? 0, x ? 2且y ? 1 , log x ( y x ) ? log 2 (12 ) ? 0

5.

?1

3? x ? 3x ? 3? x ? 3? x ? 3, x ? ?1 x 1? 3
1? ? , ? y | y ? 0, 且y ? 1? 2?

6.

? ?x | x ? ?
奇函数

2 x ? 1 ? 0, x ?

1 1 ; y ? 8 2 x ?1 ? 0, 且y ? 1 2

7.

f (? x) ? x 2 lg(? x ? x 2 ? 1) ? ? x 2 lg( x ? x 2 ? 1) ? ? f ( x)

三、解答题 1.解: a ? 6 ? 5, a
x ?x

? 6 ? 5, a x ? a ? x ? 2 6

a 2 x ? a ?2 x ? (a x ? a ? x )2 ? 2 ? 22

a 3 x ? a ?3 x (a x ? a ? x )(a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) ? ? 23 a x ? a? x a x ? a?x

58

2.解:原式 ? 1 ? 3 ? lg 3 ? 2 ? lg 300

? 2 ? 2 ? l g 3? l g ? 3 ?6
3.解: x ? 0 且

2

1? x ? 0 , ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 ,即定义域为 (?1,0) ? (0,1) ; 1? x 1 1? x 1 1? x f ( ? x) ? ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) 为奇函数; ?x 1? x x 1? x 1 2 和 , 1) f ( x) ? ? log 2 (1 ? ) 在 (? 1 , 0 ) ( 0上为减函数。 1 x ?1 x

?2 x ? 1 ? 0 2 2 ? 4.解: (1) ? 2 x ? 1 ? 1 , x ? , 且x ? 1 ,即定义域为 ( ,1) ? (1, ??) ; 3 3 ?3 x ? 2 ? 0 ?
5 ?4 (2)令 u ? x ? 4 x, x ? [0,5) ,则 ?4 ? u ? 5 , ( ) ? y ? ( ) ,
2

1 3

1 3

1 1 ? y ? 81 ,即值域为 ( ,81] 。 243 243

(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[综合训练 B 组]
一、选择题 1. A

1 1 1 2 log a a ? 3log a (2a), log a (2a) ? , a 3 ? 2a, a ? 8a 3 , a 2 ? , a ? 3 8 4
log a (b ? 1) ? 0, 且 log a b ? 1, a ? b ? 2
1

2. 3. 4.

A

D 令 x6 ? 8( x ? 0), x ? 86 ?

2, f (8) ? f ( x6 ) ? log 2 x ? log 2 2

B 令 f ( x) ? lg x , f (? x) ? lg ? x ? lg x ? f ( x) ,即为偶函数 令 u ? x , x ? 0 时, u 是 x 的减函数,即 y ? lg x 在区间 (??,0) 上单调递减

5.

B

f (? x) ? lg

1? x 1? x ? ? lg ? ? f ( x).则f (?a) ? ? f (a) ? ?b. 1? x 1? x

6. A 令 u ? x ? 1 , (0,1) 是 u 的递减区间,即 a ? 1 , (1, ??) 是 u 的 递增区间,即 f ( x) 递增且无最大值。 二、填空题 1.

1 10

f ( x) ? f (? x) ? 2 x ? 2? x lg a ? 2? x ? 2 x lg a

59

? (lg a ? 1)(2 x ? 2? x ) ? 0, lg a ? 1 ? 0, a ?

1 10 1 10

(另法) x ? R ,由 f (? x) ? ? f ( x) 得 f (0) ? 0 ,即 lg a ? 1 ? 0, a ? : 2.

? ??, ?2?

x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1)2 ? 4 ? 4,
而0 ?

1 ? 1, log 1 ? x 2 ? 2 x ? 5? ? log 1 4 ? ?2 2 2 2
log14 28 log14 35

3.

2?a a?b

log14 7 ? log14 5 ? log14 35 ? a ? b, log35 28 ?

14 1 ? log14 log14 (2 ?14) 1 ? log14 2 7 ? 1 ? (1 ? log14 7) ? 2 ? a ? ? ? log14 35 log14 35 log14 35 log14 35 a?b
4.

?1, ?1 ∵ 0 ? A, y ? 0, ∴ lg( xy) ? 0, xy ? 1
又∵ 1? B ,y ? 1∴ x ? 1 ,而x ? 1 ,∴ x ? ?1 ,且y ? ? 1 ,

5.

1 5

?

3? 2

?

2log

?

3? 2

?

5

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

1

?

1 5

6.

(?1,1)

y?

ex ? 1 , e x ? 1 ? y ? 0, ?1 ? y ? 1 x e ?1 1? y

三、解答题 1.解: (1)∵ 1.7
3.3

? 1.70 ? 1, 0.82.1 ? 0.80 ? 1 ,∴1.73.3 ? 0.8 2.1 ? 3.30.8 ,3.30.8 ? 3.40.8 ,∴ 3.30.7 ? 3.4 0.8

(2)∵ 3.3

0.7

(3) log8 27 ? log 2 3, log 9 25 ? log 3 5,
3 3 3 3 ? log 2 2 2 ? log 2 2 2 ? log 2 3, ? log 3 3 2 ? log 3 3 3 ? log 3 5, 2 2

∴ log 9 25 ?
?x 2

3 ? log8 27. 2
?x

2.解: (1) (3 ) ? 6 ? 3

? 27 ? 0, (3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 ,

x ? ?2

60

(2) ( ) x ? ( ) x ? 1, ( ) 2 x ? ( ) x ? 1 ? 0

2 3

4 9

2 3

2 3

2 2 ( )x ? 0则 ( x ? , ) 3 3 ? x ? log 2
3

5 1 ? , 2

5 ?1 2
x

3.解:由已知得 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 7,
x

即?

?4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 7 ?(2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0 ? ? , 得? x x x x ?4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?(2 ? 1)(2 ? 2) ? 0 ? ?
x

即 0 ? 2 ? 1 ,或 2 ? 2 ? 4
x

∴ x ? 0 ,或 1 ? x ? 2 。 4.解: a ? a ? 0, a ? a, x ? 1 ,即定义域为 (??,1) ;
x x

a x ? 0, 0 ? a ? a x ? a, log a (a ? a x ) ? 1 ,
即值域为 (??,1) 。

(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[提高训练 C 组]
一、选择题 1. B 当 a ? 1 时 a ? log a 2 ? 1 ? a, log a 2 ? ?1, a ?

1 , 与 a ? 1 矛盾; 2 1 当 0 ? a ? 1时 1 ? a ? log a 2 ? a, log a 2 ? ?1, a ? ; 2

2.

B 令 u ? 2 ? ax, a ? 0, ? 0,1? 是的递减区间,∴ a ? 1 而 u ? 0 须 恒成立,∴ umin ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ;

3. 4. 5.

D 由 0 ? a ? 1得 a ? 1 ? A C

1 1 ,1 ? a ? 1 ? , ②和④都是对的; a a 1 1 f (10) ? f ( ) ? 1, f ( ) ? ? f (10) ? 1, f (10) ? ? f (10) ? 1 ? 1 10 10

f ( x) ? g ( x) ? h( x), f (? x) ? g (? x) ? h(? x) ? ? g ( x) ? h( x),

h( x ) ?
6. C

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x ) x ? lg(10 x ? 1), g ( x) ? ? 2 2 2

a ? ln 2, b ? ln 3 3, c ? ln 5 5, 5 5 ? 10 52 , 2 ? 10 25
5

5?

2,

2?

6

8 3, ? 3

6

93 , ?3

2

61

二、填空题 1.

(1, ??)

?a ? 0 ,得 a ? 1 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则 ? ? ? ? 4 ? 4a ? 0

2.

? 0,1?

ax 2 ? 2 x ? 1 须取遍所有的正实数,当 a ? 0 时, 2 x ? 1 符合
?a ? 0 ,得 0 ? a ? 1,即 0 ? a ? 1 ? ? ? 4 ? 4a ? 0

条件;当 a ? 0 时,则 ?

3. 4.

?0, ?? ? , ?0,1?
2

1 1 1 1 1 ? ( ) x ? 0, ( ) x ? 1, x ? 0 ; ( ) x ? 0, 0 ? 1 ? ( ) x ? 1, 2 2 2 2 m m f ( ? x) ? f ( x) ? 1 ? ? x ?1? x ?0 a ?1 a ?1
2? m( 1? a x ) ? 0m? 2 , ? a x ?1
? 5

m,? 0
? 3
2

2
5? ) 18 ? lg10 ? 19

5. 19 三、解答题

9 ? 3 ? (? 3 )? l g ( ? 3

1.解: (1) log 4 (3 ? x) ? log 0.25 (3 ? x) ? log 4 (1 ? x) ? log 0.25 (2 x ? 1)

log 4

3? x 2x ? 1 x? 3 ? l o0 g2 5 ? l o 4g , . 1? x 3? x 2x 1 ? 3? x x ?3 ,得 x ? 7 或 x ? 0 ,经检验 x ? 0 为所求。 ? 1? x 2x ?1
(lg x )2

(2) 10

? x lg x ? 20, (10lg x )lg x ? x lg x ? 20
lxg 2 ? 1 0 , ( lxg ? )

g xl gx ? x l x ?2 0 , x

1x ?g? ,l

1,

1 1 ,经检验 x ? 1 0 或 为所求。 , 10 10 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2.解: y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? [( ) ] ? ( ) ? 1 4 2 2 2 1 x 1 2 3 ? [( ) ? ] ? , 2 2 4 1 1 x 而 x ? ? ?3, 2? ,则 ? ( ) ? 8 4 2 1 x 1 3 1 x 当 ( ) ? 时, ymin ? ;当 ( ) ? 8 时, ymax ? 57 2 2 4 2 3 ∴值域为 [ ,57] 4 x ?1 0或 ,

62

3.解: f ( x) ? g ( x) ? 1 ? log x 3 ? 2log x 2 ? 1 ? log x 当1 ? l o x ? g

3 , 4

3 4 ,即 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ( x)? g ( x; ) 0 4 3 3 4 当 1 ? l o x ? ,即 x ? 时, f ( x)? g ( x; ) g 0 4 3 3 4 当 1 ? l o x ? ,即 1 ? x ? 时, f ( x)? g ( x。 ) g 0 4 3
1 1 x 2x ? 1 4.解: (1) f ( x) ? x( x ? )? ? x 2 ?1 2 2 2 ?1
x x 2? x ? 1 x 2 ? 1 f ( ? x )? ? ? ? x ? ? x ? f x ,为偶函数 ( ) 2 2 ? 1 2 2 1 ?

(2) f ( x) ?

x 2x ? 1 x ,当 x ? 0 ,则 2 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ; ? 2 2x ?1
x

当 x ? 0 ,则 2 ? 1? 0 ,即 f ( x )? 0 ,∴ f ( x )? 0 。

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数学 1(必修)第三章 函数的应用 [基础训练 A 组]
一、选择题 1. 2. 3. 4. C C A

y ? x 2 , y ? x 是幂函数
唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在 ? 3, 5 ?

log 1 a ? ln 2 ? 0, 得0 ? a ? 1, b ? 1 , log a b ? 0,log 1 a ? 0
2 2

C

f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 1 ? 2 x3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)

? ( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) , 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;
5. B 可以有一个实数根,例如 y ? x ? 1 ,也可以没有实数根, 例如 y ? 2 6. D
x

? ? m2 ? 4(m ? 3) ? 0, m ? 6 或 m ? ?2 10000(1 ? 0.2)3 ? 17280

7. C

63

二、填空题 1.

1 x

设 f ( x) ? x , 则 ? ? ?1

?

2.

f ( x) ? 4 x3

f ( x) ? x? , 图象过点(3, 4 27) , 3? ? 4 27 ? 3 4 , ? ?
3 3

3

3 4

3. 4. 5.

[2, 2.5)

令 f ( x) ? x ? 2 x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.5 ? 10 ? 0

2

分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象; 见课本的定理内容

f (a) f (b) ? 0

三、解答题 1.证明:设 1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴函数 f ( x) ? x ? 2.解:令 f ( x) ?

1 )?0 x1 x2

1 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数。 x

a 2 x ? bx ? c, 由题意可知 ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax2 2 ? bx2 ? c ? 0 2 a a a bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax2 2 , f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) ? x2 2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2 3.解:对称轴 x ? a ,
当 a ? 0, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1 ; 当 a ? 1, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 ; 当 0 ? a ? 1时 f ( x) max ? f (a ) ? a ? a ? 1 ? 2, a ?
2

1? 5 , 与 0 ? a ? 1矛盾; 2

所以 a ? ?1 或 2 。 4.解:设最佳售价为 (50 ? x) 元,最大利润为 y 元,

y ? ( 5 0? x ) ( 5? x ?) 0 ? ? x2 ? 4 0x ? 5 0 0

( 5x ? ) ?0

40

当 x ? 20 时, y 取得最大值,所以应定价为 70 元。
64

(数学1必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组]
一、选择题 1. C 2. 对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一
x

C 作出 y1 ? lg x, y2 ? 3 ? x, y3 ? 10 的图象, y2 ? 3 ? x, y ? x 交点横坐标为

3 3 ,而 x1 ? x2 ? 2 ? ? 3 2 2

3.

D

作出 y1 ? lg x, y2 ? x 的图象,发现它们没有交点

4.

C

y?

1 1 , [ ,2] 是函数的递减区间, ymax ? y | 1 ? 4 x? x2 2 2

5. 6. 7.

B

f ?1.5 ? ? f ?1.25 ? ? 0

A 作出图象,发现有 4 个交点 A 作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点
x

二、填空题 1. 2.

y ? 54.8(1 ? x%)13

增长率类型题目

1,3,5 或 ?1
2

a 2 ? 4a ? 9 应为负偶数,
2 * 2

即 a ? 4a ? 9 ? (a ? 2) ? 13 ? ?2k , (k ? N ) , (a ? 2) ? 13 ? 2k , 当 k ? 2 时, a ? 5 或 ?1 ;当 k ? 6 时, a ? 3 或 1 3. 4.

(?3, ??)

0.5x ? 8 ? 0, 0.5x ? 0.5?3 , x ? ?3

0, 2

f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 0, x ? 0, 或 x ? 2

5.

2

?m 2 ? m ? 1 ? 1 ? ,得 m ? 2 ? 2 ? m ? 2m ? 3 ? 0 ?

三、解答题 1.解:作出图象 2.解:略 3.证明:任取 x1 , x2 ? [?2, ??) ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 2 ? x2 ? 2

?

( x1 ? 2 ? x 2 ? 2)( x 1 2 ? x ? 2) ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

?

x1 ? x2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

因为 x1 ? x2 ?0 , 所以函数 f ( x)?

x1 ? 2 ? x2 ?2 ?,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 0

x 2 [? 2 ,? ?上是增函数。 ? 在 )

65

4.解:略

(数学 1 必修)第三章 函数的应用 [提高训练 C 组]
一、选择题 1. 2. 3. 4. A C B B

f (? x) ? (? x) 3 ? ? x 3 ? ? f ( x) 为奇函数且为增函数 a ? log 2 0.3 ? 0, b ? 2 0.1 ? 1, c ? 0.21.3 ? 1
f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 31 ? 0, f (1) ? f (2) ? 0
作出图象,图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如 指数函数 f ( x) ? 2 的图象;向下弯曲型,例如对数函数 f ( x) ? lg x 的图象;
x

5.

C

唯一的一个零点必然在区间 (0, 2)
3 2

6. A 令 2 x ? x ? 1 ? ( x ? 1)(2 x ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根 7. C 容易验证区间 (a, b) ? (?2, ?1) 二、填空题 1. 2. 3.

3 2

对称轴为 x ?

1 1 1 ,可见 x ? 是一个实根,另两个根关于 x ? 对称 2 2 2
2

4
85

作出函数 y ? x ? 4 x 与函数 y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点 2000 年: 30 ?1.0 ? 30 (万) ;2001 年: 45 ? 2.0 ? 90 (万) ;

2002 年: 9 0? 1 .? 5 4. 5.

1 (万) x ? 35 ;

3 0? 9 0 1 3 5 ? ? 85 (万) 3

y ? x2

幂函数的增长比对数函数快 在同一坐标系中画出函数 y ? x 与 y ? 2 的图象,可以观察得出
2 x

[2, 4]

三、解答题

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x) max ? 2 2 4 4 2. 解: y ? 4 ? 300 ? 2 x ? 2 ?100 ? 2 ? ? 2 ?100 x 1600 y ? 400 x ? ? 1200 x
1. 解:由 2 ? 256 得 x ? 8 , log 2 x ? 3 即
x

66

3.解: log a2 ( x ? ak ) ? log a2 ( x ? a )
2 2 2

? ? ? x ? ak ? x ? ak ? x ? ak ? ? ? ? ? 2 2 ,即 ? x ? a ①,或 ? x ? ? a ② ?x ? a ? ? 2 2 ?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? ? x ? a ( k ? 1) ? x ? a ( k ? 1) ? ? 2k 2k ? ?

a(k 2 ? 1) 当 k ? 1 时,①得 ? ak , k 2 ? 1 ,与 k ? 1 矛盾;②不成立 2k
当 0 ? k ? 1时,①得

a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,恒成立,即 0 ? k ? 1;②不成立 2k a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,不成立, 2k a(k 2 ? 1 ) ? ? a, 得 k ? ?1 2k

显然 k ? 0 ,当 k ? 0 时,①得

②得 ak ? ∴ 0 ? k ? 1或 k ? ?1

67



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