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2015创新设计(高中理科数学)第4讲 离散型随机变量及其分布列



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知识与方法回顾

知识梳理 探究 一

辨析感悟
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3

离散型随机变量分 布列的性质

技能与规律探究

探究二

离散型随机变量的 分布列

r />超几何分布问题

探究三

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1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 一一列出的随机变量,称为离散型 随机变量. ,所有取值可以

2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?, xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? . =1 xn pn

称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i=1,2,?,n);② p1+p2+…+pn

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3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,其分布列为 X 0 1 P p 1-p ,其中 p=P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰 n-k Ck MCN-M 有 X 件次品, 则 P(X=k)= , k=0,1,2, ?, m, 其中 m=min{M, n CN n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量 X 服从超几何分 布. X m 0 1 ? n-0 n-1 n-m C0 C1 Cm MCN-M MCN-M M C N- M P ? n n CN CN Cn N

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1.离散型随机变量
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( ) (2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小 于 1.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )

2.分布列的性质及两个特殊的概率分布
(4)如果随机变量 X 的分布列由下表给出: X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从二点分布.( ) (5)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人, 其中女演员的人数 X 服从 超几何分布.( ) i (6)( 教材习题改编 ) 已知随机变量 X 的分布列为 P(X = i) = (i = 2a 1,2,3,4),则 P(2<X≤4)=0.7.( )
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离散型随机变量的特点

分布列的两条性质

一是在试验之前不能断言 随机变量取什么值,即具 有随机性;二是在大量重 复试验中能按一定统计规 律取值的变量,即存在统 计规律性.因此,由随机 变量的意义知(1)、(3).

离散型随机变量的分布列指出了 随机变量X的取值范围以及取各 值的概率,如(6);要理解两种 特殊的概率分布——两点分布与 超几何分布,如(4)、(5);并善 于灵活运用两性质:一是pi≥0(i =1,2,…),二是p1+p2+…+pn =1检验分布列的正误,如(2).

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离散型随机变量分布列的性质
【例 1】 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 求随机变量 η=|X-1|的分布列. 4 m

解 由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m= 1, 规律方法 ∴m=0.3. (1)利用分布列中各概率之和 列表 为1可求参数的值,此时要注 X 0 1 2 3 4 意检验,以保证每个概率值均 |X-1| 1 0 1 2 3 为非负数. ∴P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3. (2)若X是随机变量,则η= P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=0.3, P(η = 3)=0.3. |X- 1| 仍然是随机变量,求它 因此 η=|X-1|的分布列为: 的分布列可先求出相应随机变 η 0 1 2 量的值,再根据互斥事件概率 3 P 0.1 0.3 0.3 加法求 0.3 η取各值的概率,进而

写出分布列.
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离散型随机变量分布列的性质
【训练 1】 随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 -1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________.
? ?2b=a+c, 由题意知? ? ?a+b+c=1,

解析

1 2 则 2b=1-b,则 b= ,a+c= , 3 3 2 所以 P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= . 3 2 答案 3

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离散型随机变量的分布列
【例 2】 (2013· 天津卷)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望.



(1)设“取出的 4 张卡片中,

审题路线
(1)编号为3的卡片来源 有两类,利用古典概 型求事件的概率.(2) 根据任取4张卡片的不 同情况确定X的所有可 能取值,然后求出相 应的概率,进而确定 分布列,计算数学期 望.
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含有编号为 3 的卡片”为事件 A,
3 2 2 C1 6 2C5+C2C5 则 P(A)= = . C4 7 7

∴取出的 4 张卡片中, 6 含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7

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离散型随机变量的分布列
【例 2】 (2013· 天津卷)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望.

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 规律方法 3 3 C3 1 C4 4 P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= (1) , C7 35 C7 35 求随机变量的分布列的主要 3 C3 C 2 4 步骤:①明确随机变量的取值, 5 6 P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= . C7 7 C7 7 并确定随机变量服从何种概率 所以随机变量 X 的分布列是 分布;②求每一个随机变量取 X 1 2 3 4 值的概率;③列成表格. 1 4 2求出分布列后注意运用分布 4 (2) P 35 35 列的两条性质检验所求的分布 7 7 1 列是否正确. 4 2 4 17 随机变量 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5
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离散型随机变量的分布列
【训练 2】 (2014· 青岛质检)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定: 取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且 每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X).
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6, 1 2 C3 C C5 10 5 5 4· 且 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3 = , C9 42 C9 21 C2 C1 C3 5 1 4· 5 4 P(X=5)= 3 = ,P(X=6)= 3= . C9 14 C9 21 所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

13 (2)由(1)知 E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)= . 3
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超几何分布问题
【例 3】 (2014· 哈尔滨调研 )PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量 直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家 标准 GB3095 -2012 , PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克 /立方米~ 75 微克 /立方米之间空气质量为二级;在 75 微克 /立方 米以上空气质量为超标.从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测 数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本,监测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] (微克 /立方米 ) 3 1 1 1 1 3 频数 (1) 从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,求恰有一天空 气质量达到一级的概率; (2) 从这 10 天的数据中任取 3 天数据.记 X 表 示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 X 的分布列.

审题路线
(1)由频数分布表,知10天中仅有3天空气质量达到一级,利用古典 概型可求第(1)问中的概率.(2)超标的天数X服从超几何分布.利用 超几何分布的概率公式代入求解.
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超几何分布问题
解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天, 2 C1 · C 21 3 7 恰有一天空气质量达到一级”为事件 A,则 P(A)= 3 = . C10 40 (2)依据条件,X 服从超几何分布,其中 N=10,M=3,n=3, 且随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 k Ck · C 3 7 P(X=k)= (k=0,1,2,3), C3 10 3 1 2 C0 C C 7 21 3 7 3C7 ∴P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 24 C10 40 1 0 C2 C3 7 1 3C7 3C7 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = , C10 40 C10 120


因此 X 的分布列为 X P 0 7 24 1 21 40
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2 7 40

3 1 120
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超几何分布问题 规律方法
(1)求解本题的关键在于:①从统计图表中准确提取信 息;②明确随机变量X服从超几何分布. (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为 抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考 察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取 若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何 分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模 型,其实质是古典概型.

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超几何分布问题
【训练 3】一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸 7 出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球, 记得到白球的个数为 X, 求随机变量 X 的分布列.
解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A, C2 7 10-x 设袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1- 2 = , C10 9 得到 x=5. 故白球有 5 个. (2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3, 3- k Ck 5C5 其中 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 1 5 5 1 P 12 12 12 12
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----课堂小结---1.求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对 应的概率,要注意避免分类不全面或计算错误. 2.注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误. 3.求概率分布的常见类型 (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列; (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列; (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分 布列.

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(见教辅)

山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作
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