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临门一脚理科



武汉六中 2014 届临门一脚理科试卷
命题:高三备课组 一、选择题:每小题 5 分,10 小题共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。把答案填 在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效。 1.已知

z ? 2 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于 1? i
B. 第二象限
b






A.第一象限
a

C. 第三象限 )

D. 第四象限

2. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件
C.充要条件

B.既不充分也不必要条件
D. 必要不充分条件

3.已知空间不共面的四点 A,B,C,D,则到这四点距离相等的平面有( )个 A.4 B.6 C.7 D.5 4.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,计算出它们的相关指数 R 2 如 下,其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1(相关指数 R 2 为 0.97) C.模型 3(相关指数 R 2 为 0.56 )
5.已知 f(x)=2﹣|x|,则 A. 3 B.4 C. 3.5

) B.模型 2(相关指数 R 2 为 0.89) D.模型 4(相关指数 R 2 为 0.45)
( )

开始

D.4.5 )

s ? 1 ,n ? 1
n?4
是 否

6.阅读如图所示的程序框图,输出结果 s 的值为( A.

1 2

B.

3 16

C.

1 16

D.

1 8

AC 是非零向量且满足 7.已知 AB、 (AB-2 AC) ? AB,(AC-2 AB) ? AC
则 ?ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
x?2 ax ? b ? 0 的解集为 ?1, 2 , m 是二项式 ( ax ?

s ? s ? cos

n? 9

输出 s

n ? n ?1

结束

8. 已知不等式
ma a ? 2b
7 7

?

?

b x
2

) 的展开式的常数项,那么

6

?(

) B. ? 5 C. ? 5 a D. 5

A. ? 15

9。已知 F1 、F2 分别是双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的一点, a 2 b2
) D. 5

若 ?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( A.2
2

B. 3

C.

4

10。设

? ? x , x ?1 f ( x) ? ? , g ( x) 是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞), x , x ?1 ? ?

则 g(x)的值域是( ) A(-∞, -1]∪[1, +∞) B(-∞, -1]∪[0, +∞) C[0, +∞) D[1, +∞) 二、填空题:本大题共个 6 小题,考生共需作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案 填在答题卡上对应题号后的横线上。答错位置,书写不清,模棱两可不得分。 (一)必做题(11-14 题)
2

11.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为


1 1 1

12.南北朝时,张丘建写了一部算经,即《张丘建算经》,在这本算经中, 张丘建对等差数列的研究有一定的贡献,例如算经中有一道题为:“今有 十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出, 下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则每一 等人比下一等人多得_______斤金(不作近似计算)。

第 11 题图

13.设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 14.

x2 y2 ? ? 1 ( a, b ? {1, 2, 3, 4, ?, 100})的曲线中, 所有圆面积的和等于 _ a b



离心率最小的椭圆方程为 . (二)选做题(请考生在 15,16 两题中任选一题作答,如果全做, 则按 15 题作答结果计分.) 15.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与⊙O 相切于 ? 点 E,∠C= ,则∠AED=________.
6

D A

E O B C

16.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =1, 以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程 ? ?x=-1+4t 是? (t 为参数),则直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长 ?y=3t ? 为 。

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。把 答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17.(本题满分 12 分)已知公比不为 1的等比数列 {an } 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,且 2

a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列.
(1)求等比数列 {an } 的通项公式; (2) 对 n ? N? , 在 an 与 an ?1 之间插入 3 n 个数, 使这 3n ? 2 个数成等差数列, 记插入的这 3 n 个数的和为 bn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18.(本题满分12分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos A sin C ,面积 S?ABC ? 6 (1)求 ?ABC 的三边 的长; (2) 设 P 是 ?ABC(含边界) 内一点,P 到三边 AC , BC , AB 的距离分别为 x, y 和 z , 求 x ? y ? z 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 如图 6, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? 3 ,

AD ? 2 , AB ? 4 , ?ABC ? 600 .
⑴求证: AD ? PC ; ⑵ E 是侧棱 PB 上一点,记 PE ? ? PB ,是否存在实数 ? ,使 PC ? 平面 ADE ?若存 在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.

P E

A D
图6

B

C

20.(本题满分 12 分)黄山风景区某旅游超市销售不同价格的两种纪念品,一种单价 10 元, 另一种单价 15 元,超市计划将这两种纪念品共 4 件(两件 10 元,两件 15 元)在超市入口和

出口处展出销售,假设光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品,且选购单价 10 元 和 15 元的纪念品是等可能的. (Ⅰ) 若每处各展出一件 10 元的纪念品和一件 15 元的纪念品, 则该游客只选购了一件纪念品且单价为 15 元的概率是多少?(Ⅱ)若每处至少展出一件纪 念品,记该游客只选购了一件纪念品且单价为 15 元的概率为 P ,怎样分配展出能使 P 的值最 大?并求出 P 的最大值; (Ⅲ)若每处随机的各展出两件纪念品, 该游客从这两处各选购了 一件纪念品 ,记该游客选购纪念品的消费总金额为 X 元 , 求随机变量 X 的分布列 ,并求出 X 的数学期望.

21. ( 本 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 椭 圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 和 双 曲 线 4

x2 C2 : ? y 2 ? 1 有公共顶点 A、B , P、Q 分别在 C1、C2 且异于 4
A、B 点 。 直 线 AP、BP、AQ、BQ 的 斜 率 分 别 为
(1)求证: O、P、Q 共线。 (2)设 F1、F2 分别 k1、k2、k3、k4 且 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 。 为 C1、C2 的右焦点, PF 1 // QF 2 ,求 k1 ? k2 ? k3 ? k4 的值。
2 2 2 2

22.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x(e ? 1) ? ax ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数) 。
x 2

(1)若 a ?

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

(2)若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (3)设 n ? N , x ? 0 , 求证:e ? 1 ?
x

?

x x2 xn ? ? ? ? (其中 n! ? n ? (n ? 1) ?? ? 2 ? 1 ) 。 1! 2! n!

临门一脚理科数学答案
ADCAC 11. CDDDC 12.

5 ?1 ? ?2 2

7 78

13.9

14.5050 ? ,

x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 100 99 99 100

15.

? 3

16.

8 5

17.解: (1)因为 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列, 所以 a5 ? S5 ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 ? a5 ? S5 ,??????????????????2 分 即 2a6 ? 3a5 ? a4 ? 0 ,所以 2q2 ? 3q ? 1 ? 0 ,因为 q ? 1 ,所以 q ? 所以等比数列 {an } 的通项公式为 an ? (2) bn ?

1 ,?????4 分 2

1 ;??????????????????6 分 2n

an ? an ?1 n 3 3 n ? 3 ? ( ) ,?????????????????????9 分 2 4 2

3 3 n ?1 ?( ) 32 2 9 3 Tn ? ? [( ) n ? 1] .?????????????????????12 分 4 1? 3 4 2 2
18. 解: (1)设 AB ? c, AC ? b, BC ? a

?bc cos A ? 9 4 4 3 ? tan A ? ,sin A ? ,cos A ? , bc ? 15 ? 3 5 5 ?bc sin A ? 12
?bc ? 15 sin B b 3 ? ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? b ? 3, c ? 5 ,用余弦定理得 a ? 4 sin C c 5 ? ? ?c 5
(2) 2S?ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ?

12 1 ? (2 x ? y ) 5 5

?3 x ? 4 y ? 12 12 ? ? x? y? z ? 4 设 t ? 2x ? y , ? x ? 0 由线性规划得 0 ? t ? 8 ? 5 ?y ? 0 ?
19.⑴连接 AC ,则 AC ?

AB2 ? BC2 ? 2 ? AB ? BC ? cos?ABC ? 2 3 ??1 分

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ??2 分

PB ? PA2 ? AB2 ? 5 , PC ? PA2 ? AC 2 ? 21??3 分

PB2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 900 , BC ? PC ??4 分
因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ??5 分
2 2 2 0 (方法二) CD ? AD ? AC ,所以 ?CAD ? 90 , AD ? AC

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD
因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ⑵(方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB 连接 PF ,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE 又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ,

AE ? PF 依题意, BF ?

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA , 2

AE 是 ?PAF 的平分线,从而也是 ?PAB的平分线
在 ?PAE 和 ?ABE 中, 所以

PE PA BE AB ? ? , sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

PE PA 3 PE 3 3 ? ,即所求 ? 的值为 . ? ? ??13 分, PB 7 BE AB 4 7

(方法二)在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD ,以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ??7 分, C( 3 , 3 , 0) 设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? 由 ⑴ 知 PC ? 平 面 A DE当 且 仅 当 PC ? AE ? ? 11 分 , 即 PC ? AE ? 0 所 以

( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3?) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3?) ? 0 解得 ? ?

3 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ??6 分,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ??7 分

PC 2 ? PD2 ? CD 2 9 ? 2 ? PC ? PD 13 ? 21 9 3 9 PF ? ? ,又 EF // BC , 所以 PF ? PD ? cos?CPD ? 21 ? 21 7 21 PC
由⑴及余弦定理得

cos?CPD ?

所以 ? ? 20.

PE PF 3 ? ? . PB PC 7

21 解: (1)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

k1 ? k2 ? k2 ? k4 ?
? 2 x1 y1 2 x2 y2 ? 2 x12 ? 4 x2 ?4
2 2

y1 y y2 y2 ? 1 ? ? x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2
??????2 分

又 x1 ? 4 ? ?4 y1 , x2 ? 4 ? 4 y2 所以 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ?
2 2

2 x1 y2 2 x2 y2 x x ? ? 2 ? 1 2 2 2 y2 2 y1 ?4 y1 4 y2

?

y1 x2 ? y2 x1 ????4 分 2 y1 y2

由 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0得y1 x2 ? y2 x1 ? 0

即 ( x1 , y1 ) / /( x2 , y2 )

所以 O、P、Q 三点共线

??????6 分

(2) F 1 ( 3,0), F 2 ( 5,0) 因为 O、P、Q 三点共线,

由 PF1//QF2 知|OP|:|OQ|= 3 : 5

[来源:学科网 ZXXK]

x12 3 所以 2 ? x2 5

????① ????7 分

设直线 PQ 的斜率为 k,则

? x12 ? k 2 x12 ? 1 ? 1 1 ?4 2 得( ? k 2 ) x12 ? ( ? k 2 ) x2 ? 2 4 ? x2 ? k 2 x 2 ? 1 4 1 ? ?4
1 由①②得 k ? 16
2

????②

?????? 10 分

y12 y12 1 又 k1 k2 ? 2 ? ?? , 2 4 x1 ? 4 ?4 y1

2 2 y2 y2 1 k3 k4 ? 2 ? 2 ? x2 ? 4 4 y2 4

??????12 分

2 2 2 从而 k12 ? k2 ? k3 ? k4 ? (k1 ? k2 )2 ? (k3 ? k4 )2 ? 2(k1k2 ? k3 k4 ) ? 2(k1 ? k2 )2

? 2?(
22.

2 x2 y2 2 1 x1 2 1 1 ) ? ?( ) ? ? 2 ? 8 2 y1 2 k ?4 y12

6????13 分



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