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山东省日照市2011届高三第一次调研考试(数学文)


绝密★ 绝密★启用前

试卷类型: 试卷类型:A

山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试(一模)

文 科 数 学

2011.1.17

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷规定的 位置,并认真核准条形码上的姓名、座号、和准考证号。 2.第Ⅰ卷共 2 页。答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)角 α 的终边过点 ( ?1, 2) ,则 cos α 的值为( ) (A)

2 5 5

(B)

5 5

(C) ?

2 5 5

(D) ?

5 5
)

(2)设全集 U = R ,集合 M = {x | x > 1} , P = {x | x 2 > 1} ,则下列关系中正确的是( (B) M P (C) P M r r r r (3)设平面向量 a = (1, 2), b = (?1, m) ,若 a // b ,则实数 m 的值为( (A) ?1 (B) ?2 (C) 1 (A) M = P (D) M ? P ) (D) 2

(4)下列三个函数:① y = x3 + 1 ;② y = sin 3 x ;③ y = x + (B)1 (C)2 4 (5)已知 sin θ = ,sin θ cos θ < 0, 则 sin 2θ 的值为 ( 5 (A) ? (A)0

2 中,奇函数的个数是( x
(D)3

)

)

24 25

(B) ?

12 25

(C) ?

4 5

(D)

24 25
)

(6)二次方程 ax 2 + 2 x + 1 = 0(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( (A) a > 0 (B) a < 0 (C) a > 1

) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (A) AO = OD (B) AO = DO (C) AO = 2OD (D) 2 AO = OD x x x (8) a, b, c 依 次 表 示 方 程 2 + x = 1, 2 + x = 2, 3 + x = 2 的 根 , 则 a, b, c 的 大 小 顺 序 为 ( ) (A) a < c < b (B) a > b > c (C) a < b < c (D) b > a > c ? x≤0, ? (9)若 A 为不等式组 ? y≥0, 表示的平面区域,则当实数 a 从-2 连续变化到 0 时,动直线 x + y = a 扫 ? y ? x 2, ≤ ? 过 A 中部分的区域面积为 ( ) 3 1 (A) (B) (C)2 (D)1 2 4 1 ?log 2 x, x > 0 若 f (a ) = ,则实数 a 的值为( ) (10)已知函数 f ( x) = ? x 2 ? 2 , x≤0
1

(D) a < ?1 uuu uuu uuur r r (7)已知点 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 中点,且 2OA + OB + OC = 0 ,那么(

(A) ?1

(B) 2

(C) ?1 或 2

(D)1 或 ? 2

(11)设 α 、β 是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线, 命题 p: α // β ,l ? α ,m ? β , l // m ; 若 则 命题 q: l // α , m ⊥ l , m ? β ,则 α ⊥ β . 则下列命题为真命题的是 ( (A)p 或 q (B)p 且 q (C)┐p 或 q (D)p 且┐q )

(12)下列图象中,有一个是函数 f ( x ) =

f (?1) 的值为(

1 3 x + ax 2 + (a 2 ? 1) x + 1 (a ∈ R , a ≠ 0) 的导数 f ′(x) 的图象,则 3

)

(A)

(A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

7 3

(D) ?

1 5 或 3 3

日照市 2011 届高三第一次调研考试

文 科 数 学

2011.1.17

第Ⅱ卷(共 90 分) 注意事项: 注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页。考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上各题目的指定答题区域内作答,填空题 请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)在△ABC 中,若 a = b = 1 , c = 3 ,则 ∠C = (14)若函数 f ( x) = . .

x ?1 ,则函数 g ( x) = f (4 x) ? x 的零点是 x

(15)右图是某几何体的三视图,其中主视图是腰 长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的体积是 .
主视图 左视图

俯视图

π 是 y = f ( x) 4 π π 的一条对称轴;③点 ( ,0) 是 y = f ( x) 的图象的一个对称中心;④将 y = f ( x) 的图象向左平移 个单位, 8 4 可得到 y = 2 sin 2 x 的图象.其中真命题的序号是 .(把你认为真命题的序号都写上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
(16)关于函数 f ( x) = sin 2 x ? cos 2 x 有下列命题:①函数 y = f ( x) 的周期为 π ; ②直线 x = (17)(本小题满分 12 分)
2

等比数列 {an } 中, a1 = 2, a4 = 16 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(18)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = cos(

πx π πx ? ) ? cos . 4 3 4

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 y = f ( ?2 ? x ) 在 [0, 2] 上的值域.

(19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,

P

PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = AD ,点 F 是棱 PD 的中点,
点 E 在棱 CD 上移动. (Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时,试判断直线 EF 与平面 PAC 的 关系,并说明理由; (Ⅱ)求证: PE ⊥ AF . B C A D E F

3

(20)(本小题满分 12 分) 已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定 待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利(1-

16 )万元; 当待岗员工人数 x 超过原有员 25x

工 1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利 0.9 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?

(21)(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1? x + ln x . ax (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 在 [ , 2] 上的最大值和最小值. 2

(22)(本小题满分 14 分)

ur r ur r 已知点集 L = {( x, y ) | y = m ? n} ,其中 m = (2 x ? b,1), n = (1, b + 1) ,点列 Pn ( a n , bn ) ( n ∈ N ? )在 L

中, P1 为 L 与 y 轴的交点,数列 {a n } 是公差为 1 的等差数列. (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式;

?an , (n为奇数) (Ⅱ)若 f (n) = ? 令 S n = f (1) + f (2) + f (3) + L + f ( n) ,试写出 Sn 关于 n 的表达式; ?bn .(n为偶数) ?an , (n为奇数) (Ⅲ)若 f (n) = ? 给定奇数 m(m 为常数, m ∈ N? ,m > 2 ).是否存在 k ∈ N? ,使得 bn .(n为偶数) ?

f (k + m) = 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

4

日照市 2011 届高三第一次调研考试 文科数学参考答案及评分标准 2011.1
说明:本标准中的解答题值给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确。准应参照 本标准相应评分 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 选择题: DBBCA DAADC CB 填空题: 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分.

3 2π 1 π ; (16)①③. ; (14) ; (15) 3 2 6 解答题: 小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,
(13) 由已知得 16 = 2q ,解得 q = 2 .
3

…………………………………………3 分

又 a1 = 2 ,所以 an = a1q

n ?1

= 2× 2

n ?1

= 2 . …………………………………………6 分
n

(Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b4 = 8 , b16 = 32 .

?b1 = 2, ?b1 + 3d = 8, 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ? 解得 ? …………………………9 分 ?d = 2. ?b1 + 15d = 32, n(n ? 1) n(n ? 1) 则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn = nb1 + d = 2n + × 2 = n 2 + n. …… 12 分 2 2
(18)解: (Ⅰ) f ( x) = cos

π π π π πx x cos + sin x sin ? cos 4 3 4 3 4 3 π 1 π π π sin x ? cos x = sin( x ? ). ………………4 分 = 2 4 2 4 4 6 2π 故 f ( x) 的最小正周期为 T = =8. …………………………6 分 π 4 π π (Ⅱ) y = f (?2 ? x) = sin[ (?2 ? x) ? ] 4 6 π π π π π = sin( ? ? x ? ) = ? cos( x + ) . ………………9 分 2 4 6 4 6 π π π 2π 1 π π 3 Q 0 ≤ x ≤ 2 ,∴ ≤ x + ≤ ,∴? ≤ cos( x + ) ≤ , 6 4 6 3 2 4 6 2 3 π π 1 即? ≤ - cos( x + ) ≤ , 2 4 6 2
所以函数 y = f (?2 ? x) 在 [0, 2] 上的值域为 [?

3 1 , ]. 2 2

………………12 分

P
(19)解:(Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时, EF// 平面 PAC. 理由如下: ……………2 分

F
……………3 分

Q点 E , F 分别为 CD , PD 的中点,∴ EF//PC .
Q PC ? 平面PAC , EF ? 平面 PAC , ∴ EF// 平面 PAC.
………………4 分

A D E B
5

C

(Ⅱ)Q PA ⊥ 平面ABCD , CD ? 平面ABCD ,

∴ CD ⊥ PA .
又 ABCD 是矩形,∴ CD ⊥ AD ,

Q PA I AD = A ,∴ CD ⊥ 平面PAD .

Q AF ? 平面PAD , ∴ AF ⊥ CD .

…………………8 分 …………10 分 ………………11 分 ………………12 分

Q PA = AD ,点 F 是 PD 的中点, ∴ AF ⊥ PD .
又 CD I PD = D ,

∴ AF ⊥ 平面PDC . ∴ PE ⊥ AF .

Q PE ? 平面PDC,

(20)解:设重组后,该企业年利润为 y 万元. 当待岗人员不超过 1%时,由 1 ? 则 y=(2000-x)(3.5+1-

16 > 0 ,x≤2000×1%=20, 得 0<x≤20(x∈ N ), 25 x
………………3 分

16 256 )-0.5x=-5(x+ )+9000.64; 25x x

当待岗人员超过 1%且不超过 5%时,由 20<x≤2000×5%, 得 20<x≤100( x ∈ N ), 则 y=(2000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x+8800. …………………………6 分 ………………………7 分

256 ? ), (0 < x≤20, x ∈ N) ?9000.64 ? 5( x + ∴y=? x ? ?4.9 x + 8800 . (20 < x≤100, x ∈ N ) ?
当 0<x≤20 且 x ∈ N 时,有 y=-5(x+

256 )+9000.64≤-5× 2 256 +9000.64=8840.64, x 256 ,即 x=16 时取等号,此时 y 取得最大值,最大值是 8840.64; ……9 分 x

当且仅当 x=

当 20<x≤100 且 x ∈ N 时,函数 y=-4.9x+8800 为减函数. 所以 y<-4.9×20+8800=8702. 综上所述,当 x=16 时,y 有最大值 8840.64 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 16 名员工待岗. ………………………12 分 ………………………11 分

6

1 1 3 ln e3 ? ln16 + ln 2, f ( ) ? f (2) = ? 2 ln 2 = 2 2 2 2 . ?1? ?1? 3 ∵ e > 16 , ∴ f ? ? ? f ( 2 ) > 0, 即f ? ? > f ( 2 ) . …………………10 分 ?2? ?2? ?1 ? ?1? ∴ f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上的最大值 f ( x) max = f ? ? = 1 ? ln 2 . ……………11 分 ?2? ?2 ? ?1 ? 综上可知,函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值是 1 ? ln 2 ,最小值是 0.…………12 分 ?2 ?
又 f ( ) = 1 ? ln 2, f (2) = ?

1 2

参考 ln2=0.7

7

?3 2 n 1 * ? 4 n ? 2 ? 4 ,(n = 2k ? 1, k ∈ N ) ? 因此 Sn = ? ? 3 n2 . ( n = 2k , k ∈ N* ) ?4 ?
(Ⅲ)假设存在 k ∈ N* ,使得 f (k + m) = 2 f (m) , 因为 m 为奇数,

…………9 分

(1)若 k 为奇数,则 k + m 为偶数,于是 f (m) = m ? 1 , f (m + k ) = 2(m + k ) ? 1 ,

1 由 2(m + k ) ? 1 = 2(m ? 1) ,得 k = ? , 与 k ∈ N* 矛盾; 2

…………11 分

(2)若 k 为偶数,则 k + m 为奇数,于是 f (m) = m ? 1 , f (m + k ) = (m + k ) ? 1 , 由 (m + k ) ? 1 = 2(m ? 1) ,得 k = m ? 1 ( m ? 1 是正偶数). 综上,对于给定奇数 m(m 为常数, m ∈ N ? , m > 2 ), 这样的 k 总存在且 k = m ? 1 . …………14 分 …………13 分

8


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