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高三数学专题---函数与方程的思想方法



函数与方程的思想方法(一)
汤老怪 函数与方程有着必然的联系, 方程 f ( x) ? 0 的解就是函数 y ? f (x) 的图像与 x 轴的交点的 横坐标,函数 y ? f (x) 也可以看作二元方程 f ( x) ? y ? 0 。 函数思想在解题中的应用有两个方面: 一是借助初等函数的性质, 研究有关求值、 (证) 解 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围。二是

通过建立函数关系或构造中间函数,把所研 究的问题转化为讨论函数的有关性质。 (一)函数思想解决求值问题: 例 1: (书 P2 例 1)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b3 x ? 4 ( a, b 为常数) ,若 f [lg(log3 10)] ? 5 , 则 f [lg(lg 3)] ? (二)函数思想解决不等式问题: 例 2: (书 P2 例 2)设不等式 2x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 | m |? 2 的一切实数 m 都成立,求实数 x 的取值范围。 。

例 3: 已知函数 f ( x) ? lg 的取值范围。

1 ? 2 x ? a.4 x , a ? R ,若当 x ? (??,1] 时, 函数 f (x) 有意义, 求实数 a 3

推广:已知函数 f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ?? ? (n ? 1) x ? a.n x , a ? R , n 是任意给定的自然数, n 当 x ? (??,1] 时,函数 f (x) 有意义,求实数 a 的取值范围。

(三)函数思想将问题转化为研究函数的性质问题: 例 4: (书 P8 例 4)偶函数 f (x) 是定义在 R 上以 2 为周期的函数,在区间 [2,3] 上,

f ( x) ? 4 ? 2( x ? 3) 2 ,
1)求 x ?[1,2] 上函数 f (x) 的解析式; 2) ?A C 的两个顶点 A(0,0), B(2,0) , 在函数 y ? f ( x), (0 ? x ? 2) 的图像上, ?ABC 若 B C 求 面积的最大值和最小值。

例 5:定义在 R 上的单调函数 f (x) 满足对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (3) ? 0 , 1)判断函数 f (x) 的奇偶性和单调性; 2)若对任意 x ? R 都有 f (k.3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围。

例 6:书 P6 例 1) ( 等差数列 {a n } 满足 3a5 ? 8a12 ? 0 , 数列 {bn } 满足 bn ? an .an?1 .an?2 , (n ? N ? ) , 数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,问 n 多大时, S n 取得最大值?证明你的结论。

例 7:已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 2) , 1)写出函数 f (n) 的一个性质;2)若 f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,求 f (2005) 的值。

作业: 1、已知函数 f ( x) ? ax 5 ? b sin x ? 3 ,且 f (?3) ? 7 ,则 f (3) ? 2、已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 4x ? 8), x ?[0,2] 的最大值为 ? 2 ,则实数 a ? 3、函数 y ? (arcsin x) 2 ? arcsin x ? 1 的最大值 4、不等式 2 x ? 。 。 。 。

1 ? a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 2x

5、 定义在 R 上的偶函数 f (x) 在区间 (?? ,0) 上是增函数, f (2a 2 ? a ? 1) ? f (?3a 2 ? 2a ? 1) , 且 则实数 a 的取值范围 。

6 、 函 数 f ( x) ? ( x ? a) 3 , (a ? R) , 若 对 任 意 实 数 x 恒 有 f (2 ? x) ? ? f ( x ? 2) 成 立 , 则

f (?3) ? f (3) 的值为



7、对于满足 0 ? p ? 4 的所有 p ,不等式 x 2 ? px ? 4x ? p ? 3 成立的 x 的取值范围。

8、设函数 f (x) 是定义在 (0,?? ) 上的单调递增函数,满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 , 1) 求 f (1) 的值;2)若实数 x 满足 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,求实数 x 的取值范围。

9、已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,且

c 3 3 ? ,点 P(0, ) 到椭圆上的点的最远距离为 a 2 2

7 ,求椭圆的标准方程。



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