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2.5.1等比数列的前n项和 (3课时)



2.5

等比数列的前n项和

第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.等比数列的内涵特征是什么? 如何用 递推公式描述?

从第2项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数.

an = q(n an - 1

2)
2(n≥2).

或an-1· an+1= an

am ? an ? ap ? aq

2.等比数列的通项公式是什么?

a n = a1q
am ? an ? ap ? aq

n- 1

= am q

n- m

= cq

n

3.在等比数列{an}中 am ? an ? a p ? aq 的条件是什么?特别地,a1· an可以等于 什么?

m+n=p+q

? am ? an ? a p ? aq

a1· an=a2· an-1=a3· an-2=?

4.国际象棋起源于古代印度,据传,国 王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什 么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放 上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒, 在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推, 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.” 这是一个什么数学问题?国王能满足他 的要求吗?

知识探究(一):求和公式的推导

思考1:设S64=1+2+4+8+?+263,那么2S64 的表达式如何?

2S 64 = 2 + 4 + 8 + L + 2 + 2

63

64

思考2:S64与2S64的表达式中有许多相同 项,你有什么办法消去这些相同项?所 得结论如何?

S 64 = 2 - 1

64

思考3:上述算法实际上解决了求等比数 列1,2,4,8?,2n-1,?前64项的和, 利用这个算法,1+2+4+8 + ?+2n-1 等于什么?

Sn = 2 - 1

n

思考4:上述算法叫做错位相减法 .一般 地,设等比数列{an}的公比为q,前n项和 为Sn,利用错位相减法如何求Sn?所得 结果如何?

S n = a1 + a1q + a1q + L + a1q
qS n = a1q + a1q + L + a1q
a1(1 - q ) Sn = 1- q
n

2

n- 1

2

n- 1

+ a1q

n

a1(1 - q ) 思考5:S n = 就是等比数列 1- q

n

的前n项和公式,这个公式的使用条件 是什么 ? q≠1 思考6:当q=1时,如何求Sn?
ì na1 (q = 1) ? ? ? ? S n = í a1(1 - qn ) ? (q ? 1) ? ? ? ? 1- q

知识探究(二):求和公式的变通

a1(1 - q ) a1(q - 1) 思考1:S n = = 1- q q- 1 当q>1和q<1时,分别使用哪个公式更 方便?

n

n

思考2:当公比q≠1时,结合等比数列通 项公式,Sn可变形为什么?

a1 - a n q a1 - a n + 1 Sn = = 1- q 1- q
思考3:根据等比数列的定义,有,
a2 a 3 a 4 an = = = L = q a1 a2 a3 an - 1

结合等比定理可以得到什么结论 ?

思考4:等比数列的通项公式可变形为
an = a1q
n- 1

(1 - q) a1q a1q = 1- q 1- q 1- q

n- 1

n

a1 据此,

+ a 2 + L + an

等于什么?

思考5:等比数列有5个相关量,即a1, an,Sn,q,n,已知其中几个量的值就 可以确定其它量的值?

理论迁移

例1 求下列等比数列的前8项的和

1 1 1 (1) , , , L; 2 4 8

255 S8 = 256

1 (2)a1 = 27, a9 = ,q < 0 243
1640 S8 = 81

例2 某商场今年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售 量增加10%,那么从今年起,大约几年可 使总销售量达到30 000台(结果保留到 个位)?

lg1.6 0.2 n= 换 lg1.1 0.041

5年

小结作业

1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式,而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2.
a1(1 - qn ) a1 - anq Sn = = (q 1- q 1- q 1) 是等比数

列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.

3.利用方程思想和等比数列前n项和公式, 可以求等比数列的首项、公比和项数 .

作业:

P58练习:1,2,3 P61习题2.5A组:1.

2.5

等比数列的前n项和
第二课时

问题提出

1.等比数列的递推公式是什么?

an = q(n an - 1

2)
2(n≥2).

或an-1· an+1= an

2.等比数列的通项公式是什么?

a n = a1q

n- 1

= am q

n- m

3.等比数列前n项和的两个基本公式是什 么?
a1(1 - q ) a1 - anq Sn = = (q 1- q 1- q
n

1)

4.根据等差数列的定义、通项公式及前n 项和公式,我们发掘出了等差数列的一 系列性质,对于等比数列,我们也可以 作些相应探究 .

探究(一):等比数列与前n项和的关系

思考1

a1(qn - 1) Sn = (q : q- 1
n
n

1) 的一般形式为

S n = A(q - 1)(A q 构 0, q

1) ,如果数列{an}
1)

的前n项和 S n = A(q - 1)(A q 构0, q 那么数列{an}是等比数列吗?

,

{an}是等比数列

? Sn

A(q - 1)(A q 构0, q

n

1)

a n q - a1 Sn = (q 1) 的一般形式为 思考2: q- 1 S n = A an + B (A B 构 0, A 1) ,如果数列{an} 的前n和 S n = A an + B (A B 构0, A 1) ,那么数

列{an}是等比数列吗? {an}是等比数列

? Sn

A an + B (A B 构0, A

1)

思考3:设数列{an}的前n项和为Sn,若 数列{Sn}是公比不为1的等比数列,那么 数列{an}是等比数列吗 ?

不是
?

探究(二):等比数列前n项和的性质

思考1:设等比数列{an}的公比为q,那 么Sn+1与Sn之间有什么关系?

Sn+1=a1+qSn
思考2:将Sn+1=Sn+an+1代入上式可得 什么结论?
a1 - an + 1 a1 - anq a1(1 - qn ) Sn = = = (q 1- q 1- q 1- q 1)

思考3:在等比数列{an}中,Sn,S2n,S3n 三者之间有什么关系? (S2n-Sn)2=(S3n-S2n) Sn

理论迁移

例1 已知数列{an}的前n项 S n = 3 + 2a 若数列{an}为等比数列,求实数a的值.
n- 1

1 a= 6

例2 已知数列{an}满足Sn=4an+2, 求数列{an}的通项公式. 2 4 n- 1 an = ( ) 3 3

例3 在等比数列{an}中,已知Sn=10, S2n=30,求S3n的值.
S3n=70 例4 设等比数列{an}的各项都是正数, 比较SnSn+2与(Sn+1)2的大小.

S n S n + 2 < (S n + 1 )

2

小结作业

1.以等比数列前n项和为背景可引发出某 些性质,作为研究性学习,其结论不要 求记忆,但要了解探究这些性质的数学 思想、方法和技巧,并在解题中灵活运 用 2.等比数列的定义、通项公式、求和公 式是等比数列的基本知识点,适当了解 等比数列的一些基本性质,会给解题带 来一定的帮助.

3.对于与等比数列前n项和有关的问题, 不一定要用求和公式进行运算或变形, 有时作非公式化处理更简单

作业:

P61习题2.5A组:2,3,6.

2.5

等比数列的前n项和

第三课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.等差数列的前n项和公式是什么?
n (a1 + an ) n (n - 1)d Sn = = na1 + 2 2

2.等比数列的前n项和公式是什么? 当q=1时,Sn=na1;
a1(1 - q ) a1 - anq = 当q≠1时, S n = 1- q 1- q
n

3.对于等差、等比数列的求和问题,可 直接套公式求解,对于某些非等差、等 比数列的求和问题,我们希望有一些求 和的方法,这又是一个需要探究的课题.

知识探究(一):特殊数列的求和方法
1 1 1 1 思考1:如何求数列 1 , 4 , 7 , L ,(3n - 2) n 2 4 8 2

的各项之和?其和为多少?
3n - n + 2 1 - n 2 2
2

思考2:上述求和方法叫做分组求和法, 一般地,什么类型的数列可用分组求和 法求和? 由几个等差、等比数列合成的数列.

1 1 1 1 思考3:如何求数列 , , , L , 2 2 6 12 n +n

的各项之和?其和为多少?
n n + 1

思考4:上述求和方法叫做裂项求和法, 一般地,什么类型的数列可用裂项求和 法求和? 每一项都能拆分为两项的差,累加后能 抵消若干项.

思考5:如何求数列2,4a,6a2,?, 2nan-1(a≠0) 的各项之和?其和为多 少? 当a=1时,S n = n (n + 1)
1 - an na n 当a≠1时, S n = 2( 1 - a 2 - 1 - a )

思考6:上述求和方法叫做错位相减法, 一般地,什么类型的数列可用错位相减 法求和? 由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.

知识探究(二):特殊数列的求和技巧

思考1:如何求数列4,44,444,?,

44 L4 4 1 4 42 4 3 的各项之和?其和为多少?
n 个4

4 n+1 (10 - 9n - 10) 81

思考2:如何求数列12,22,32,?,n2 的各项之和?其和为多少?
n (n + 1)(2n + 1) 6

理论迁移

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

例1 求数列 的各项之和.

1 1 1 1, , ,L , 1+ 2 1+ 2+ 3 1+ 2+ L + n

首项为

2n n+1

例2 求数列-1,3,-5,7,?,

3 2

(-1)n(2n-1) 的各项之和. (-1)n· n

小结作业

1.特殊数列的求和问题是建立在等差、 等比数列的基础之上,各有特定的方法 和技巧,其中分组求和,裂项求和,错 位相减是常用方法,要求理解和掌握.
2.求特殊数列的和一般先要分析其通项 公式,再根据数列的特点选择适当的方 法或技巧求解,同时要注意数列共有多 少项.

作业:
P61习题2.5A组:4,5.



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