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极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解



极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
知识点回顾
(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )
并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程 组就叫做这条曲线的

参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A = ○

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

t A ? tB . 2

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中 心 在 点 ( x0,y0 ) 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程

? x ? x0 ? a cos? , (?为参数) ? ? y ? y0 ? b sin ? .
4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? ) y ? asec?

5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

过定点 P (x0, y0) , 倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 (三)极坐标系

? x ? x 0 ? t cos? (t 为参数) . ? y ? y ? t sin ? 0 ?

1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长 度单位和角度的正方向 (通常取逆时针方向) 。 对于平面内的任意一点 M, 用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

?
?

O

图1

x

2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对应 惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些 坐标又有规律可循的,P( ? , ? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? , ? +

(2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、? 的取值范围加以限制.则
除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0, 0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? <? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑷? ? ⑵? ?

a cos ?

⑶? ? ? ⑹? ?

a cos ?

a sin ?

⑸? ? ?

a sin ?

a cos(? ? ? )

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 ( a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ?
M
?

⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ?

⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )
M

a ?
?

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

5、极坐标与直角坐标互化公式:

y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 3
C.



2 3

B. ?

3 2

D. ?

3 2


2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

A. ( , ? 2) 3.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2
2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(

A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1

B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

t ?t ? ?x ? e ? e 2.参数方程 ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2. 求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

一、选择题 1. 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是( A. t1 ) C. 2 t1 D.

?x ? a ? t l 上的点 P1 对应的参数是 t1 , 则点 P (t为参数) , 1 与 P ( a, b) ?y ? b ? t

B. 2 t1

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标 3.直线 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
为( A. (3, ?3) ) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3)

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4
2

A. x ?
2

y2 ?1 4

B. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) C. x ? 4
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) D. x ? 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ? 1 ? t ?

A. 98

B. 40

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1. 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为__________________。 t (t为参数,t ? 0) , ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )
x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

2.点 P 在椭圆

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?



? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 5 1 2

( , 0) A. (0, )、
3.直线 ?

C. (0, ?4)、 (8, 0)

(8, 0) D. (0, )、


5 9

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2 ? t ?

A.

12 5

B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5


? x ? 4t 2 (t为参数) 上,则 PF 等于( 4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ? y ? 4t
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ) D.两条相交直线 ) 5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 B.极轴

C.一条直线

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos? ? 2 二、填空题 B. ? sin ? ? 2

? ? 4 sin(? ? C.

?
3

)

? ? 4 sin(? ? D.

?
3

)

? x ? 2 pt 2 1.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , ? y ? 2 pt
且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。
2.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数; 2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案

数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) 代入 2 x ? 4y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0 ,而 A( 1 , 2,得 ) AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

4 . 14

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (
5. ? ?

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2

?
2

??

? c o s? c o? s? ? s i? n s? ? in
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

0 ,? ? cos ? ? ( ,取 ? ) ?? 0?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1

(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?( c o? s? ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

s? i n? )? ? 1

2 ?s ?i n (? 4

?

) 1

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , y ? ? 5 ? 3 t ? ?
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 co? s ? 5

3 s? i n?

? 3

4 5 5

2c ?o ? s( 3

?

? )

3

当 c o s?( ?

?
3

? ) 时, 1 d m i n?

4 5 ,此时所求点为 ( 2 ? 。 , 3 ) 5

新课程高中数学训练题组参考答案
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线

3.D

t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 ?? 中点为 ? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1 ) a ? 4x ? 1 2?对于任何 0 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 x?3 a

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 c o 椭圆为 ?s , 2? s i, n ) 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 cos ? c o? s

s? i n 2? ,

2

c?o ?s ?

? sxi n? y , 即
2

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而y? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 x y x cos ? ?1 x2 1 c? os ? 2 s? in ?2
2

x?co2 s ? ? s i? n

? co ?s ?

1 2

2 ta ?n 2 1 ? ta ? n

?

2

?c o s

1 即x? ? 2

y y ?1 1 y2 y x ? x ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2

得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?

?

4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
坐标系与参数方程
一、选择题 1.D 2.B

[提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制

2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0

8 16 12 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p 1 t? 2 t ?2

p 21 t

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

n ? 4 c?o s 2 ?x ? 3 s i ? 得 x ? y 2 ? 25 n ? 3 c?o s ?y ? 4 s i ?
1 1 , 0和 ) (0, ) 2 2
2 2

4. 5.

2 2

圆心分别为 (

? 5? ,或 6 6

直线为 y ? x t a n ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时, 易知倾斜角为

? 5? ,或 6 6

三、解答题 1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, c o ? s ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2 ?

, s? in ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x ? y ? 1,即
2 2

y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4

1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
t ?t 得 2e ? 2e ? (

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2 3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?
2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ?

?

2

, PM ? PN 的最小值为

3 ? ,此时 ? ? 。 4 2



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