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高三数学练习(四)



高三数学练习(四)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.请把答案涂在答题卡相应位置上 . ........
? ? 1.若集合 A ? ? x lo

g1 x ? ? 2 ? 1? ? ?, 则 ?R A ? 2? ?

A. (??,0] ? (

2 ,??) 2

B. (

2 ,??) 2

C. (??,0] ? [

2 ,??) 2

D. [

2 ,??) 2

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ?

A.26

B.27

C.28
2 = z C. 1 ? i

D.29

2 3.设 z ? 1? i (i 为虚数单位) ,则 z ?

A. ?1? i

B. ?1? i

D. 1 ? i

4. “关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ”是“ 0 ? a ? 1 ”的

A.充分非必要条件 C.充分必要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

5.已知圆 O 的半径为 R,A、B 是其圆周上的两个三等分点,则 OA ? AB 的值等于

A.

3 2 R 2

B. ? R 2

1 2

C. ?

3 2 R 2

D. ? R 2

3 2

4 π 6.设 ? ? 0 ,函数 y ? cos( ?x ? ) ? 3 的图象向左平移 π 个单位后与原图象重合,则 ? 的最小值是 3 4 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2

??? ? ??? ? 1 7.已知 M 是 ?ABC 内的一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? ,若 ?MBC, ?MCA 和 ?MAB 的面积分别为 , x, y , 2
1 4 则 ? 的最小值是 x y

A.20

B.18

C.16

D.9

? ( x ? 0) ?lg x 8.设函数 f(x)= ? 2 若 f(a)>0,则 a 的取值范围是 ( x ? 0 ) ? x ? 1 ? ,

A. (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) C. (-1,0) ? (1,0)

B. (- ? ,-1) ? (0,+ ? ) D. (-1,0) ? (0,+ ? )

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9.已知实数 x,y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax(a ? R) ,若 z 取最大值时的唯一最优解 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

是(1,3),则实数 a 的取值范围是

A.(0,1)

B.(-1,0)

C. (1,+∞)

D. (-∞,-1)

10.已知等比数列{an}的公比 q<0,其前 n 项和为 Sn,则 a9 S8 与 a8 S9 的大小关系是

A. a9 S8 ? a8 S9 C. a9 S8 ? a8 S9

B. a9 S8 ? a8 S9 D. a9 S8 与 a8 S9 的大小关系与 a1 的值有关

b? f 11. 已知 y ? f ? x ? 是偶函数, 而 y ? f ? x ? 1? 是奇函数, 且对任意 0 ? x ? 1, 都有 f ? ? x ? ? 0 , 则 a ? f ? 2010? ,

? ?,

5 4

c??f

? ? 的大小关系是
B. c ? b ? a C. a ? c ? b D. b ? c ? a

1 2

A. a ? b ? c

12.对于任意实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数 ?x? ? x ? [ x] ,则给出下 列四个命题:①函数 ? x? 的定义域是 R,值域为[0,1];②方程 ? x? ? 函数 ? x? 是增函数.其中正确的序号是
1 有无数个解;③函数 ? x? 是周期函数;④ 2

A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 a ? c sin A, 则
a?b 的最大值为 c

. . .

14.若关于 x 的方程 x ? ax ? 1 仅有一个根 x 0 ,且满足 x0 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 15. 已知数列 {an }中, Sn是其前 n项和, 若a1 ? 1, a2 ? 2, an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 , 且 an?1an?2 ? 1 , 则 S2010= 16.若函数 f ( x) ?
1 3 x ? x 在 a,10 ? a 2 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 3

?

?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 ax ?1 ? a ? 1 (a ? ?1). 18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列, cos B ? (1)求 cot A ? cot C 的值; ??? ? ??? ? 3 (2)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2 19. (本小题满分 12 分)
? 已知函数 f ( x) ? 2sin2 ( ? x) ? 2 3cos2 x ? 3
4

3 . 4

(I)求 f ( x ) 最小正周期和单调递减区间; (II)若 f ( x) ? m ? 2在x ?[0, ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 6 20. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等, 且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ???? ? 2 n?1an ? 8n 对任意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;

?

(Ⅱ)是否存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1)?请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)
x ? t ?1 ? 已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1),当点P( x0 , y0 )在y ? f ( x) 的图象上移动时, 点 Q? , y0 ?(t ? R)在函数y ? g ( x) 的图 ? 0
2

?

2

?

象上移动. (I)点 P 的坐标为(1,-1) ,点 Q 也在 y ? f ( x) 的图象上,求 t 的值; (II)求函数 y ? g ( x) 的解析式;

x 2x (III)若方程 g ( ) ? log 1 的解集是 ? ,求实数 t 的取值范围. 2 x ?1 2
22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a( x ? 1) . x ?1

(I)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 m ? n ? 0, 求证 : ln m ? ln n ?
2(m ? n) . m?n

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.A. 2.B. 3.C. 4.A. 5.D. 6.C. 7.B. 8.A. 9.C. 10.B. 11.D. 12.D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

2

14. a ? 1

15. 4020

16. ? 2 ? a ? 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分, 17. (本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 ax ? 1 ? a ? 1(a ? ?1). 解: ax ? 1 ? a ? 1 ? ax ? 1 ? a ? 1 或 ax ? 1 ? ?a ? 1 ? ax ? a ? 2 或 ??????????????????2 分 a?2 当 ? 1 ? a ? 0 时, x ? 或 x ? ?1 ,原不等式的解集为 a a?2 (?? , ) ? (?1,?? ). ????????????????5 分 a 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? . ???????????7 分 当 a ? 0 时, x ?
(?? ,?1) ? ( a?2 , 或 x ? ?1 ,原不等式的解集为 a

ax ? ?a.

a?2 ,?? ). a

?????????????????10 分

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列, cos B ? (3)求 cot A ? cot C 的值 ??? ? ??? ? 3 (4)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2 解:(1)由 cosB ? 3 得 sinB ?
4

3 . 4

7 由 b 2 ? ac 及正弦定理得 4

sin 2 B ? sin A sin C

?????????????2 分

? cot A ? cot C ?

cos A cos B sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? sin A sin B sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 4 7 ? ? 2 sin B sin B 7

即 cot A ? cotC ? 4 7

7 3 (2)由 BA ? BC ? 得 ca ? cos B ? 3 2 2 3 ? cos B ? ? ca ? 2 ? b 2 ? 2 4

???????6 分

???????8 分 ?????10 分 ?12 分

由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 5
?(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ? a ? c ? 9

? ? (II)由 f ( x) ? m ? 2在x ?[0, ] 上恒成立,得 f ( x)max ? m ? 2, x ? [0, ]
6 6

由0? x ?

?
6

,有

?
3

? 2x ?

?

3 ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ? ,则 2 3 3 3

故 ?1 ? f ( x) ? 1 ? 3 , 则 m ? 2 ? 1 ? 3 ,即 m ? ?1 ? 3 , 所以实数 m 的取值范围是 m ? ?1 ? 3 .

?????????10 分

???????12 分

20. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等, 且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ????? 2 n?1an ? 8n 对任意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (Ⅰ) (Ⅱ) 求数列{an}与{bn}的通项公式; 是否存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1)?请说明理由.

解:(Ⅰ) 已知 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ???? ? 2 n?1an ? 8n(n ? N ? ) ① n≥2 时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*).② ①-②得 2n-1an=8,解得 an=24-n, 在①中令 n=1,可得 a1=8=24-1, 所以 an ? 24?n (n∈N*). ???? 4分

由题意 b1=8,b2=4,b3=2,所以 b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2, ∴bn+1-bn=-4+(n-1)× 2=2n-6, bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =8+(-4)+(-2)+…+(2n-8) =n2-7n+14(n∈N*). ???8 分 2 4-k (Ⅱ) bk-ak=k -7k+14-2 , 7 7 当 k≥4 时,f(k)=(k-2)2+4-24-k 单调递增, 且 f(4)=1,所以 k≥4 时,f(k)=k2-7k+14-24-k≥1. 又 f(1)=f(2)=f(3)=0,
[

所以,不存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1). 21. (本小题满分 12 分)

??? 12 分

x ? t ?1 ? 已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1),当点P( x0 , y0 )在y ? f ( x) 的图象上移动时,点 Q? , y0 ?(t ? R)在函数y ? g ( x) ? 0
2

?

2

?

的图象上移动. (I)点 P 的坐标为(1,-1) ,点 Q 也在 y ? f ( x) 的图象上,求 t 的值; (II)求函数 y ? g ( x) 的解析式;

x 2x (III)若方程 g ( ) ? log 1 的解集是 ? ,求实数 t 的取值范围. 2 x ?1 2
21.解: (I)当点 P 坐标为(1,-1) ,点 Q 的坐标为 ( 2 ? t , ?1) ,
2

?点Q也在y ? f ( x) 的图象上,
? ?1 ? log 1 (1 ?
2

t ? 1) ? t ? 0. 2

???????4 分

(Ⅱ)设 Q( x, y)在y ? g ( x) 的图象上,
x0 ? t ? 1 ? ? x0 ? 2 x ? t ? 1 ?x ? 则? ?? 2 ? y0 ? y ? ? y ? y0

???????6 分

而点 P( x0 , y0 )在y ? f ( x) 的图象上。
t? ? ? y0 ? log 1 ( x0 ? 1)代入得 : y ? g ( x) ? log 1 (2 x ? t ) ? x ? ? ? 即为所求?8 分 2? ? 2 2
? 2x ?t?x (Ⅲ)原方程可化为 ? ? x ?1 ? ? x ? 0或x ? ?1

令 h ? x? ?

2x 2 ? x ? ?[ ? ( x ? 1)] ? 3 x ?1 x ?1

??????10 分

①当 x ? 0 时,

2 ? ( x ? 1) ? 2 2( x ? 2 ? 1 时取等号) x ?1

? h( x) ? 3 ? 2 2 ;

②当 x ? ?1时,

2 , ? ( x ? 1) ? ?2 2( x ? ? 2 ? 1 时取等号) x ?1
[

? h( x) ? 3 ? 2 2

故方程 h( x) ? t 的解集为 ? 时, t 的取值范围为 3 ? 2 2,3 ? 2 2 . ??????????????????? 12 分 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a( x ? 1) . x ?1

?

?

(I)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)设 m ? n ? 0, 求证 : ln m ? ln n ?

2(m ? n) . m?n

解: (I) f ?( x) ?

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ? x ( x ? 1)2

?

( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? . x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

??????3 分

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数, 所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立.
即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 1 得2 a ? 2 ? x ? . x 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??). x 1 1 g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x

所以2a ? 2 ? 2. 所以a ? 2.

所以 a 的取值范围是 (??, 2]. (II)
要证 ln m ? ln n ? 2(m ? n) , m?n

????6 分

m 2( ? 1) m 只需证 ln ? n . m n ?1 n

m 2( ? 1) m 只需证 ln ? n ? 0. m n ?1 n

????10 分

设h( x) ? ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

由(I)知 h( x)在(0, ??) 上是单调增函数,又
m 所以h( ) ? h(1) ? 0. n m 2( ? 1) m 即 ln ? n ? 0成立. m n ?1 n

m ?1, n

所以

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

????12 分



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