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二轮复习:数列中的几个重点问题的研究(教师用)



数列中的几个重点问题的研究
一、 等差数列与等比数列的定义
1、 如 果 一 个 数 列 从 第 二 项 起 , 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 都 等 于 同 一 个 常 数 , 这 样 的 数 列 叫 做 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 , 即 若 a n ? a n ? 1 ? d ( d 为 常 数 , n ? 2, 3 ? ), 即 数 列 ? a n ? 为 等 差 数 列 .

2.如 果 一 个 数 列 从 第 二 项 起 , 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 都 等 于 同 一 个 常 数 , 这 样 的 数 列 叫 做 等 比 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比 ,即 若 an a n ?1 ? q ( q 为 常 数 , 且 q ? 0, n ? 2, 3, ? ), 则 数 列 ? a n ? 为 等 比 数 列 .

3 .等 差 数 列 的 定 义 式 可 表 示 为 : a n ? 1 ? a n ? d ( n ? 1, 2, 3, ......) 与 2 a n = a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2, 3, ......) 注 意 , 写 法 不 一 样 , n的 取 值 不 一 样 。

a n ? 1 ? a n = a n ? a n ? 1 ( n ? 2, 3, ......) 及

例题讲解 1.设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 S n ? 1 , S n , S n ? 2 成等差数列,则 q 的值可能为 ( A. ? 1 ) 。 B. ? 2 C. ? 3 D.
1 2

解法一:特值法,令 n=1。对于填空选择题,通常可以用特值法。在数列中,无论是通项公式, 还是递推关系式,都是一般形式,适合任意的正整数值,所以如果用简单的值能够得出结果, 会来得比较快。 解法二:由 S n ? S n ? 1 ? S n ? 2 ? S n ? ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? 2 a n ? 1 ? q ? ? 2 ,选(B)

2. 已 知 a 1 ? 2 , 点 ( a n , a n ? 1 ) 在 函 数 f ( x ) ? x ? 2 x 的 图 象 上 , 其 中 n=1,2,3…. 。 证 明 数 列
2

?l g(1 ? a n )? 是等比数列;
解:由已知 a n ? 1 ? a n ? 2 a n ,
2

? a n ? 1 ? 1 ? ( a n ? 1) , ? a 1 ? 2 , ? a n ? 1 ? 1 .
2

两边取对数得 lg( 1 ? a n ? 1 ) ? 2 lg( 1 ? a n ). 即
lg( 1 ? a n ? 1 ) lg( 1 ? a n ) ? 2.

? ?lg( 1 ? a n ) ? 是公比为 2 的等比数列.

3.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n, a1 ? 1 ?

2, S 3 ? 9 ? 3 2 .

1

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n 与前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 b n ?
Sn n ( n ? N ) ,求证:数列 {b n } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
? a1 ? ? 2 ? 1,
?

解: (Ⅰ)由已知得 ?

? 3 a1 ? 3 d ? 9 ? 3 2 ?

,? d ? 2 ,
2) .
2 .
2

故 an ? 2n ? 1 ?

2, S n ? n ( n ?
Sn n ? n?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ?

假设数列 {b n } 中存在三项 b p, b q, b r ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则 b q ? b p b r . 即 (q ?
2

2) ? ( p ?
2

2 )( r ?

2) .

? ( q ? p r ) ? (2 q ? p ? r ) 2 ? 0

? p, q, r ? N ,

?

? q 2 ? p r ? 0, ?? ? 2 q ? p ? r ? 0, 与 p ? r 矛盾.

? p?r? 2 ?? ( ? ? ? p r,p ? r ) ? 0, p ? r . ? 2 ?

2

所以数列 {b n } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.

二、数列性质的应用
1 ) 若 p1 ? p 2 ? q1 ? q 2 , 对 于 等 差 数 列 , 有 a p ? a p ? a q ? a q ; 对 于 等 比 数 列 , 有
1 2 1 2

a p ?a p ? a q ?a q 。 1 2 1 2

该结论可以推广到 m ( m ? N * )项,若 p1 ? p 2 ? ? ? p m ? q1 ? q 2 ? ? ? q m ,对于等差数列, 有
a p ? a p ? ? ? a p ? aq ? aq ? ? ? aq
1 2 m 1 2


m

















a p ?a p ?? ?a p ? a q ?a q ?? ?a q 。 1 2 m 1 2 m

2) 对 于 等 差 数 列 , S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , ? 也 成 等 差 数 列 ;
对 于 等 比 数 列 , S m , S 2m ? S m , S 3m ? S 2m ,? 也 成 等 比 数 列 。

3.在等差数列 ?a n ? 中,若 a 4 ? a 6 ? a 8 ? a 10 ? a 12 ? 120 , 则 2 a 10 ? a 12 ? ______. 解法一:公式法 由已知可得: 5 a1 ? 3 5 d ? 1 2 0 ,由 a1 ? 7 d ? 2 4 ,又 2 a10 ? a12 ? a1 ? 7 d ? 24 。 解法二:利用等差数列底标的特性 由 a 4 ? a 6 ? a 8 ? a10 ? a12 ? 5 a 8 ? 120, ? a 8 ? 2 4 ,则 2 a1 0 ? a1 2 ? a 8 ? 2 4 。

2

4.一个等差数列前 n 项和为 48,前 2n 项的和为 60,则它的前 3n 项的和为______. 解法一:? S n ? 48, S 2 n ? 60 ,又 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等差数列, 则 2 ? S 2 n ? S n ? ? S n ? ? S 3 n ? S 2 n ? , 即 2 ? 12 ? 48 ? S 3 n ? 60 ? S 3 n ? 36 。 提示:等差、等比数列性质: m ? N , 解法二:特值法 令 n ? 1 ,则 S 1 ? a1 ? 4 8, S 2 ? a1 ? a 2 ? 6 0 , 所以 a 2 ? 1 2, d ? ? 3 6, a 3 ? ? 2 4, S 3 ? S 2 ? a 3 ? 3 6 。

5.等差数列 ?a n ? 的前 n 项和记为 S n ,若 a 2 ? a 6 ? a 10 为一确定的常数,则下列各数中也是常数 的是( A. S 6 ) B. S 11 C. S 13 D. S 12
11 ( a 1 ? a 11 ) 2 ? 11 a 6 为常数,选 B。

解:? a 2 ? a 6 ? a 10 为常数,? a 6 为常数,则 S 11 ?

6. 已 知 命 题 : “ 若 数 列 ?a n ? 为 等 差 数 列 , 且 a m ? a , a n ? b ( m ? n , m , n ? N ), 则 a m ? n ?
?

b?n ? a ?m n?m

”. 现 已 知 数 列 ?b n ?( b n ? 0 , n ? N ) 为 等 比 数 列 , 且 b m ? a , b n ? b ( m ? n ,

m , n ? N ), 若类比上述结论,则可得到 b m ? n ? ______.

思路点拨:给出等差数列的规律,要求等比数列相应的规律,只需将等比数列转化成等差数列。 解:? ?b n ? 为等比数列,? ? lg b n ? 为等差数列,则由 a m ? n ?
(lg b ) ? n ? (lg a ) ? m n?m b a
n m 1

b?n ? a ?m n?m
1

,得

lg b m ? n ?

? lg(

) n ? m ,? b m ? n ? (

b a

n m

) n?m .

3

三、数列的通项与和的求法
7.某种细胞开始时有 2 个,一小时后分裂成 4 个并死去了 1 个,两小时后分裂成 6 个并死去了 1 个, 三小时后分裂成 10 个并死去了 1 个,……按照这种规律进行下去,100 小时后细胞的存活数是 ( A. 2
100

)个.
?1

B. 2

100

?1

C. 2

99

?1

D. 2

99

?1

解法一 思路点拨:观察法,作为选择题,可以直接通过观察得出数列的规律,比较快捷。
a 0 ? 2, a1 ? 3 ? 2 ? 1, a 2 ? 5 ? 2 ? 1, a 3 ? 9 ? 2 ? 1, ? ? a n ? 2 ? 1 . 选取 B。
2 3 n

解法二:从递推关系式推导出通项公式:
a 0 ? 2, a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) ? a n ? 2 ? 1 . 选取(B) 。
n

8. 已 知 数 列 ? a n ? 满 足 a1 ? 2, a n ? 1 ? a n ? 2 n ( n ? N ), 则 a 100 ? _ _ _ _ _ .
*

A. 9900

B. 9902

C. 9904

D. 11000

思路点拨:对于递推关系式为 a n ? 1 ? a n ? F ( n ) 的数列,通常可以采用累加法。 解? a n ? 1 ? a n ? 2 n ,? a n ? 1 ? a n ? 2 n , a n ? a n ? 1 ? 2 ( n ? 1), ? , a 2 ? a 1 ? 2.
以 上 n 个 式 子 相 加 , 得 a n ? 1 ? a 1 ? 2 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? n ( n ? 1), ? a 100 ? a 1 ? 99 ? 100 ? 9902, 故 选 B .

9. 在 数 列 ? b n ? 中 , 若 b1 ? 1, b n ? 1 ? 2 ? b n , 求 通 项 b n .
n

思路点拨:对于递推关系式为 a n ? 1 ? a n ?F ( n ) 的数列,通常可以采用累乘法。
解 :由 题 意 , 得 bn ?1 bn ? 2 ,因 此
n

b2 b1

? 2,

b3 b2

? 2 ,? ,
2

bn b n ?1

n ( n ?1 )

? 2

n ?1

, 将 以 上 ( n ? 1) 个 式 子 相 乘 , 得 b n ? 2

2

.

小结:例题 4 和 5 所用的思想方法实质上是相同的,数列给出前后两项之差或比为某个简单数 列,那么可以从原数列的第一项开始,写出一连串的式子,再通过累加或累乘,消去中间的项, 剩下首尾项,进而得出通项公式。

4

10.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 1 ? 1, S n ? 1 ? 4 a n ? 2 (1)设 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,证明数列 {b n } 是等比数列; (2)求数列 { a n } 的通项公式。 思路点拨:注意观察问题的设置,为了求出 ? a n ? ,必须先求 ? b n ? ,所以第一小问相当于第二小 问的“台阶”。必须抓住这个特点,找到解题的突破口。 解: (1)由 a 1 ? 1, 及 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ,有 a1 ? a 2 ? 4 a1 ? 2, a 2 ? 3 a1 ? 2 ? 5,? b1 ? a 2 ? 2 a1 ? 3 由 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ......① ,则当 n ? 2 时,有 S n ? 4 a n ?1 ? 2 ……②

①-②得 a n ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ?1 ,? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ( a n ? 2 a n ?1 ) 又? b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,? b n ? 2 b n ? 1 ? { b n } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (2)由(I)可得 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2
? 数列 {
an 2
n

n ?1

,?

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 4

an 2
n

} 是首项为 3 4

1 2

,公差为
3 4 1 4

3 4

的等差数列.
n?2

?

?

1 2

? ( n ? 1)

?

n?

, a n ? (3 n ? 1) ? 2

11.设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 ? a , a n ? 1 ? S n ? 3 , n ? N .
n
*

(Ⅰ)设 b n ? S n ? 3 ,求数列 ? b n ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 a n ? 1 ≥ a n , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

解: (Ⅰ)依题意, S n ? 1 ? S n ? a n ? 1 ? S n ? 3 ,即 S n ? 1 ? 2 S n ? 3 ,
n n

由此得 S n ? 1 ? 3
n

n ?1

? 2 ( S n ? 3 ) .因此,所求通项公式为
n n ?1

b n ? S n ? 3 ? ( a ? 3) 2
n

, n ? N .①
*

(Ⅱ)由①知 S n ? 3 ? ( a ? 3)2

n ?1

,n ? N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时, a n ? S n ? S n ?1
? 3 ? ( a ? 3) ? 2
n n ?1

?3

n ?1

? ( a ? 3) ? 2
n?2

n?2

? 2?3

n ?1

? ( a ? 3) 2

n?2



a n ?1 ? a n ? 4 ? 3

n ?1

? ( a ? 3)2

? 2

n?2

n?2 ? ? ?3? ? a ? 3? , ?1 2 ?? ? ?2? ? ? ? ?

5

当 n ≥ 2 时, a n ? 1 ≥ a n ? 1 2 ??

?3? ? ?2?

n?2

? a ? 3 ≥ 0 ? a ≥ ? 9 .又 a 2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ? 9, ? ? .

数列求和常用方法有: (1)公式法:利用等成等比求和公式; (2)并项法:等差数列求和公式的推导; (3)错位相减法:等比数列求和公式的推导; (4)裂项法:例如 a n ?
1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1



12.已知数列 ?a n ? , a n ? _____. 思路点拨:裂项法。 解: a n ?
1 n ? n ?1 ?

1 n ? n ?1

( n ? N ? ) ,且数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 9 , 那么 n 的值为

n ?1 ?

n ,则 S n ?

n ? 1 ? 1 ? 9 ? n ? 99 .

13.已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 11 ? 2 n , S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n , 则 S 10 的值为 解:令 a n ? 0 ? n ? 5 .5,? n ? 5, 则 S 10 ? 2( a1 ? a 2 ? ? ? a 5 ) ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a10 ) ? 50 提示:这样转化,是为了便于利用公式。我们总要寻找一种最合适,最快捷的解题方法。 思考:如果要求 Sn,该如何求呢?



14(1)已知 ?a n ? 为等差数列, a 1 ? a 3 ? a 5 ? 105 , a 2 ? a 4 ? a 6 ? 99 。以 S n 表示 ?a n ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是( A. 21 B. 20 C. 19 ) D. 18

思路点拨:对于等差数列,若公差 d≥0,则 S n 存在最小值;若 d<0,则 S n 存在最大值。对于首 项为正,公差为负的等差数列,只需求出所有正数项之和,即为 S n 的最大值。 解:由 a 1 + a 3 + a 5 =105 得 3 a 3 ? 105, 即 a 3 ? 3 5 ,由 a 2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3 a 4 ? 9 9 即 a 4 ? 3 3 ,

6

∴ d ? ? 2 , a n ? a 4 ? ( n ? 4 ) ? ( ? 2 ) ? 4 1 ? 2 n ,由 ?

? an ? 0 ? a n ?1 ? 0

得 n ? 20 ,选 B.

15.已知数列 ? a n ? 为, a n ? ?

? 2 n ? 1 ( n为 奇 数 ) ?3
n

( n为 偶 数 )

求 Sn 。

思路点拨:分段数列,分为奇数项等差和偶数项等比,所以必须分开求和。先写出前几项,1,
3 ,5, 3 ,9, 3 , ? ,容易找出规律。
2 4 6

解:当 n ? 2 k ( k ? N *) 时, S n ? 用k ?
n 2

k [1 ? 2 ( 2 k ? 1) ? 1] 2 ? 9 (3 ? 1)
n

?

9 (9 ? 1)
k

? k ( 2 k ? 1) ?

9 (9 ? 1)
k

8

8

代入可得, S n ?

n ( n ? 1) 2


k

8 ? 9 (9 ? 1) 8 ? 9 (3
n ?1

当 n ? 2 k ? 1 时, S n ? 用k ?
n ?1 2

k [1 ? 2 ( 2 k ? 1) ? 1] 2 n ( n ? 1) 2

? k ( 2 k ? 1) ?

9 (9

k ?1

? 1)

8

代入可得, S n ?

? 1)



8

注意:本题是易错题,思路比较简单,但运算过程极易出错。

四、极限思想 16.设函数 f ( x ) ?
1 x ?1 , 点 A 0 表示原点,点 A n ( n , f ( n ))( n ? N ). 若向量
?

????? ????? ??????? a n ? A0 A1 ? A1 A 2 ? ? ? A n ? 1 A n , ? n 是 a n 与 i 的夹角(其中 i ? (1, 0 ) ) ,设
S n ? tan ? 1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n , 则 lim S n ?
n? ?

y


an

解:如图
????? ? f ?n? 1 1 1 a n ? A0 A n ? ? n , f ( n ) ? , tan ? n ? ? ? ? , n n ( n ? 1) n n ?1
? S n ? tan ? 1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? 1 ? 1 n ?1 ? lim S n ? 1
n? ?

x

?1 o i 1

17.已知 A ( 0 , ), B ( 0 ,
n

2

?2 n

), C ( 4 ?

2 n

, 0 ) 其中 n 为正整数,设 S n 表示 ? ABC 外接圆的面积,则

7

lim S n ?
n? ?



解: 此题一般地考虑方法是先求出 ? ABC 的外接圆的方程, 然后得出圆的面积, 最后求得 lim S n
n? ?

的结果,但整个过程的计算比较烦琐,很容易导致计算出错。 但如果从极限的思想出发,首先考虑的是当 n ? ? 时这三个点的变化的位置, A , B 趋于原点,
C 点趋于 C ( 4 , 0 ) 然后看得圆的半径为 2,从而所求圆的面积为 4 ? 。

18.已知 { a n } 是公差为 d 的等差数列, { b n } 是公比为 q 的等比例数列。 (1)若 a n ? 3 n ? 1 ,是否存在 m , k ? N , 有 a m ? a m ? 1 ? a k ?说明理由; (2)找出所有数列 { a n } 和 { b n } ,使对一切 n ? N ,
?
?

a n ?1 an

? b n ,并说明理由;

(3)若 a 1 ? 5 , d ? 4 , b1 ? q ? 3 ,试确定所有的 p,使数列 { a n } 中存在某个连续 p 项的和 是数列 { b n } 中的一项,请证明。 [解](1)由 a m ? a m ?1 ? a k ,得 6 m ? 5 ? 3 k ? 1, 整理后,可得 k ? 2 m ?
*

4 3

,

? m , k ? N , ? k ? 2 m 为整数, ? 不存在 m , k ? N ,使等式成立
*

(2)解法一:若

a n ?1 an

? b n ,即
n ?1

a 1 ? nd a 1 ? ( n ? 1) d

? b1 q

n ?1

(*)

(i)若 d ? 0 ,则 1 ? b1 q

? bn .

当 { a n } 为非零常数列, { b n } 为恒等于 1 的常数列,满足要求 (ii)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限和 lim
a 1 nd a 1 ? ( n ? 1) d ? 1,

a? ?

(*)式等号右边的极限只有当 q ? 1 时,才可能等于 1 此时等号左边是常数,
? d ? 0 , 矛盾。

8

综上所述,只有当 { a n } 为非零常数列, { b n } 为恒等于 1 的常数列,满足要求。 解法二:设 a n ? nd ? c , 若
a n?2 a n ?1 a n ?1 an

a n ?1 an
*

? b n ,对 n ? N 都成立,且 { b n } 为等比数列,
*



/

? q ,对 n ? N 都成立,即 a n a n ? 2 ? qa n ? 1
2
2 * 2

? ( dn ? c )( dn ? 2 d ? c ) ? q ( dn ? d ? c ) 对 n ? N 都成立, ? d

? qd

2

(i)若 d ? 0 ,则 a n ? c ? 0 , (ii)若 d ? 0 ,则 q ? 1,

? b n ? 1, n ? N

*

? b n ? m (常数) ,



dn ? d ? c dn ? c

? m,

则d ? 0 , 矛盾。

综上所述,有 a n ? c ? 0 , b n ? 1 ,使对一切 n ? N ,
*

a n ?1 an

? bn

(3) a n ? 4 n ? 1, b n ? 3 , n ? N *
n

设 a m ?1 ? a m ? 2 ? ? ? a m ? p ? b k ? 3 , p , k ? N , m ? N .
k *

4 ( m ? 1) ? 1 ? 4 ( m ? p ) ? 1 2

p ? 3 ,
k

? 4m ? 2 p ? 3 ?
*

3

k

9

? p , k ? N ,? p ? 3 , ? ? N

?

取 k ? 3 s ? 2,4 m ? 3

2s?2

? 2 ? 3 ? 3 ? ( 4 ? 1)
s

2s?2

? 2 ? ( 4 ? 1) ? 3 ? 0
s

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得 (4 ? 1)
2 ? ( 4 ? 1)
N

2s?2

? 4 M 1 ? 1,

y

? 8M

2

? ( ? 1) 2 ,
s s

C

? 4 m ? 4 ( M 1 ? 2 M 2 ) ? (( ? 1) ? 1) 2 ,
? 存在整数 m 满足要求。
B1 C2 A1

故当且仅当 p ? 3 , s ? N 时,命题成立
s

A2

B2 C1

A O

B

x

五、数列与函数的联系
2 ? 从函数的的观点看,数列可以看成定义域为正整数集 N 或它的有限集 ?1,, , n ? 上的函
?

9

数 a n ? f ( n ) ,当自变量 n (项数)从小到大依次取值时,所对应的一列函数值 f ( n ) 。比如等 差 数 列 的 通 项 公 式 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , 当 d ? 0 , 可 以 理 解 为 a n 关 于 n 的 一 次 函 数 ,
S n ? n a1 ? n ( n ? 1) 2

当 同样可视为 S n 关于 n 的二次函数; 又如数列的前 n 项和 S n 与 d , d ? 0,
? S 1, 当 n ? 1时 ;
?

通项 a n 的关系 a n ? ?

? S n ? S n ? 1, 当 n ? 2, n ? N 时 .

,也可示为 a n 关于 n 的函数。借助函数的

单调性的定义,进一步还可产生递增或递减数列的概念。从定义上数列可以看作特殊的函数, 因此处理数列问题要善于沟通与函数联系,用函数的观点、思想、方法来解决数列问题。

19.已知 ?a n ? 是等差数列,公差 d ? 0 ,设 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,则在数列 ?S n ? 中( ) A. 任一项均不为零 C. 至多一项为零 B. 必有一项为零 D. 没有一项为零或无穷多项为零
2

思路点拨:本题考查等差数列求和公式的特点。等差数列求和公式形如 S n ? an ? bn ,这是二 次函数(抛物线)形式。 解:? S n ?
d 2 n ? (a1 ?
2

d 2

) n , 令 S n ? 0 ,至多只有一个正整数解,选 C。

20.已知 f (x)为偶函数,且 f (2+x) = f (2-x),当 ? 2 ? x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ,若 n ? N , a n ? f (n ) ,则
x

a 2009 = (

). B. 2 C.
1 2

A. 2009

D. ? 1

思路点拨:本题充分说明了数列与函数之间的关系,要通过函数的相关性质来解。 解:由 f (x)为偶函数,且 f (2+x) = f (2-x),则 f ( x ) ? f ( 4 ? x ), f ( ? x ) ? f ( x ) ,
? f ( 4 ? x ) ? f ( ? x ) ,则 f ( x ) 的最小正周期为 4,有 a 2009 ? a 4 ?502 ?1 ? a1 ? 2
?1

?

1 2

。选取 C。

21. 已 知 等 差 数 列 的 公 差 d<0, 前 n 项 和 记 为 S n , 满 足
S 20 ? 0 , S 21 ? 0 , 则当 n=______时, S n 达到最大值.

Sn

思路点拨:利用等差数列前 n 项和公式满足二次函数的形式,用 函数的思想来解。
21

n

o
10

10 1 0 .5 2 0

解:因为 S n ?

1 2

n ? ( a1 ?
2

d 2

) n ,由二次函数法得其顶点的横坐标的范围为 1 0 ? n ? 1 0 .5 ,如

图所示,所以当 n ? 1 0 时, S n 达到最大值。 注意:用函数思想解数列问题,注意自变量为正整数。

22.已 知 数 列 ? a n ? 是 首 项 为 2 , 公 比 为
(1) 用 S n 表 示 S n ? 1 ; ( 2 )是 否 存 在 自 然 数 c和 k , 使 得

1 2

的 等 比 数 列 , S n为 它 的 前 n项 和 .

S k ?1 ? c Sk ? c

? 2 成 立 ? 并 说 明 理 由.

解 : (1)由 S n ? 4 (1 ?

1 2
n

), 得 S n ? 1 ? 4 (1 ?

1 2
n ?1

)?

1 2

S n ? 2(n ? N )
*

( 2 )要 使

S k ?1 ? c Sk ? c 3 2

c?( ? 2, 只 要 1 2
3 2

3 2

S k ? 2) ? 0 .? ? ① 3 2
3 2

c ? Sk 1 2
k ?1

? Sk ? (

S k ? 2) ? 2 ?

Sk ?

? 0, 则 ① 可 写 成

Sk ? 2 ? c ? Sk .
1 2
k

? S k ? 1 ? S k ( k ? N ), 得
*

Sk ? 2 ?

S 1 ? 2 ? 1, 又 ? S k ? 4 (1 ?

) ? 4 ,?

3 2

Sk ? 2 ?

3 2

? 4 ? 2 ? 4.

故 要 ① 成 立 , c只 能 取 2 或 3 .

若 c ? 2 ,? S 1 ? 2 , ? 当 k ? 1时 , c ? S k 不 成 立 , 从 而 ① 不 成 立 . ? 当 k ? 2时 , 3 2 S k ? 2 ? c, 从 而 ① 也 不 成 立 .

若 c ? 3, S 1 ? 2 , S 2 ? 3, ? 当 k ? 1、时 , c ? S k 不 成 立 , 从 而 ① 不 成 立 . 2 ? 3 2 S3 ? 2 ? 13 4 ? c, 又 3 2 Sk ? 2 ? S k ?1 ? c Sk ? c 3 2 S k ? 1 ? 2 , ? 当 k ? 3时 , 3 2 S k ? 2 ? c, 从 而 ① 也 不 成 立 .

故 不 存 在 自 然 数 c和 k , 使

? 2成 立 .

11



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