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2017-2018学年高中数学(苏教版必修2)同步课件:第2章2.1.2第1课时点斜式


阶 段 一

2.1.2

直线的方程 点斜式

阶 段 三

第1课时
阶 段 二

学 业 分 层 测 评

1.掌握直线的点斜式与斜截式方程.(重点、难点) 2.能利用点斜式求直线的方程.(重点) 3.了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系.(易混点)

[ 基础· 初探] 教材整理1 直线的点斜式方程 阅读教材P80~P81,完成下列问题. 1.过点P1(x1,y1)且斜率为k的直线方程 斜式方程. 2.过点P1(x1,y1)且与x轴垂直的方程为 x=x1 .

y-y1=k(x-x1)

叫做直线的点

1.过点(2,3),斜率为-1的直线的方程为________.
【解析】 由点斜式方程得:y-3=-1· (x-2), ∴y-3=-x+2,即y=-x+5.

【答案】 y=-x+5

2.过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________,垂直于x轴的直线方程为 ________. 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y=1,垂直于x轴的直线方程为 x=1.

【答案】 y=1 x=1 3.若直线l过点A(-1,1),B(2,4),则直线l的方程为________.
4-1 【解析】 k= =1,l的方程为y-1=1· (x+1),即y=x+2. 2-?-1? 【答案】 y=x+2

教材整理2 直线的斜截式方程 阅读教材P82探究以上部分内容,完成下列问题. 斜截式方程: y=kx+b ,它表示经过点P(0,b),且斜率为k的直线方程.其 中b为直线与y轴交点的纵坐标,称其为直线在y轴上的 截距 .

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0° 时,过(x0,y0)的直线l的方程为y=y0.( √ ) (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念.( × ) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线.( √ ) (4)当直线的斜率不存在时,过点(x1,y1)的直线方程为x=x1.( √ )

2.已知直线的倾斜角为60° ,在y轴上的截距为-2,则此直线方程为 ________. 【导学号:41292066】

【解析】 k=tan 60° = 3,且过点(0,-2),所以直线方程为y+2= 3(x- 0),即 3x-y-2=0.
【答案】 3x-y-2=0

[小组合作型]
利用点斜式求直线的方程
根据下列条件,求直线的方程. (1)经过点B(2,3),倾斜角是45° ; (2)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (3)经过点A(1,1),B(2,3).

【精彩点拨】 先求直线的斜率,再用点斜式求直线的方程.

【自主解答】

(1)∵直线的倾斜角为45° ,

∴此直线的斜率k=tan 45° =1, ∴直线的点斜式方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. (2)∵直线与x轴平行, ∴倾斜角为0° ,斜率k=0, ∴直线方程为y+1=0×(x+1), 即y=-1.

3-1 (3)∵直线的斜率k= =2. 2-1 ∴直线的点斜式方程为y-3=2×(x-2), 即2x-y-1=0.

1.求直线的点斜式方程的前提条件是:(1)已知一点P(x0,y0)和斜率k;(2)斜 率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程. 2.求直线的点斜式方程的步骤是:先确定点,再确定斜率,从而代入公式 求解.

[ 再练一题] 1.求倾斜角为135° 且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(-1,2); (2)在x轴上的截距是-5. 【解】 (1)∵所求直线的倾斜角为135° , ∴斜率k=tan 135° =-1,又直线经过点(-1,2), ∴所求直线方程是y-2=-(x+1), 即x+y-1=0.

(2)∵所求直线在x轴上的截距是-5,即过点(-5,0),又所求直线的斜率为- 1, ∴所求直线方程是y-0=-(x+5), 即x+y+5=0.

利用斜截式求直线的方程

根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150° ,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60° ,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

【精彩点拨】 (1)直接利用斜截式写出方程; (2)先求斜率,再用斜截式求方程; (3)截距有两种情况.

【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知,所求直线方程为y=2x+5. 3 (2)∵倾斜角α=150° ,∴斜率k=tan 150° =- 3 . 3 由斜截式可得方程为y=- 3 x-2.
(3)∵直线的倾斜角为60° ,∴其斜率k=tan 60° = 3, ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线方程为y= 3x+3或y= 3x-3.

1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在. 2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时,可以直接写出直线的斜截 式方程;当斜率和纵截距不直接给出时,求直线的斜截式方程可以利用待定系数 法求解.

[ 再练一题] 2.根据下列条件,求直线的斜截式方程. (1)倾斜角是30° ,在y轴上的截距是0. (2)倾斜角为直线y=- 3x+1的倾斜角的一半,且在y轴上的截距为-10. 【导学号:41292067】

【解】

3 (1)由题意可知所求直线的斜率k=tan 30° =3,

3 由直线方程的斜截式可知,直线方程为y= 3 x. (2)设直线y=- 3x+1的倾斜角为α,则tan α=- 3, ∴α=120° ,∴所求直线的斜率k=tan 60° = 3. ∴直线的斜截式方程为y= 3x-10.

[探究共研型]
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用

探究1 对于直线y=kx+1,是否存在k使直线不过第三象限?若存在,k的取 值范围是多少?

【提示】 直线y=kx+1过定点(0,1),直线不过第三象限,只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x+y-1=0,求直线的斜率k在y轴上的截距b, 以及与y轴交点P的坐标. 【提示】 ∵2x+y-1=0可变形为y=-2x+1,斜率k=-2.令x=0,得y= 1,即b=1,直线l与y轴的交点为(0,1).

已知直线l经过点P(4,1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的 面积为8,求直线l的点斜式方程.

【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程,表示出横、纵截距,利用三角形面 积得斜率方程,求解即可.

【自主解答】

设所求直线的点斜式方程为:y-1=k(x-4)(k<0),

1 当x=0时,y=1-4k;当y=0时,x=4-k .
? 1? 1 由题意,得2×(1-4k)×?4-k ?=8. ? ?

1 1 解得k=-4.所以直线l的点斜式方程为y-1=-4(x-4).

在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距,从而进一步表示直 线与坐标轴围成的三角形面积时,要注意截距并非一定是三角形的边长,要根据 斜率进行判断,当正负不确定时,要进行分类讨论.

[ 再练一题] 1 3.已知直线l的斜率为6,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的方程.
1 【解】设直线方程为y=6x+b,则x=0时,y=b;y=0时,x=-6b.由已知可得 1 |b|· |-6b|=3, 2· 即6|b|2=6,∴b=± 1. 1 1 故所求直线方程为y=6x+1或y=6x-1, 即x-6y+6=0或x-6y-6=0.

1.直线y-2=- 3(x+1)的倾斜角和所过的点分别为________.
【解析】 由点斜式方程知,直线过点(-1,2),斜率为- 3 ,∴倾斜角为

120° . 【答案】 120° ,(-1,2)

2.已知直线的方程为y+2=-x-1,则直线的斜率为________.
【解析】 化直线方程为斜截式:y=-x-3, ∴斜率为-1.

【答案】 -1

2 3.经过点(-1,1),斜率是直线y= 2 x-2的斜率的2倍的直线方程是_____. 2 【解析】 由方程知,已知直线的斜率为 2 ,

∴所求直线的斜率是 2 ,由直线方程的点斜式可得方程为y-1= 2 (x+1), 即 2x-y+ 2+1=0.
【答案】 2x-y+ 2+1=0

4.直线x+y+1=0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________. 【导学号:41292068】 【解析】 直线x+y+1=0变成斜截式得y=-x-1,故该直线的斜率为- 1,在y轴上的截距为-1.若直线的倾斜角为α,则tan α=-1,即α=135° .

【答案】 135° ,-1

5.求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.

【解】 设直线方程为y-4=k(x+3)(k≠0). 当x=0,y=4+3k, 4 当y=0,x=-k-3, 4 ∴3k+4-k -3=12,即3k2-11k-4=0, 1 ∴k=4或k=-3.
1 ∴直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=-3(x+3),即4x-y+16=0或x+3y-9=0.


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