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山东省滨州市邹平县黄山中学2014-2015学年高三上学期12月质检数学试卷(文科)



2014-2015 学年山东省滨州市邹平县黄山中学高三(上)12 月质检数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 M={0,1,2},N={x|x +x﹣2≤0},则 M∩N=( A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}

/>2



2.全称命题:任意 x∈R,x >0 的否定是( A.任意 x∈R,x ≤0 B. 存在 x∈R,x >0 C. 存在 x∈R,x <0 D. 存在 x∈R,x ≤0
2 2 2 2

2



3.若复数 i 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( A. (1,1) B. (1,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)



4.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a6 的值为( A. 10 B. 9 C. 8 D. 7



5.已知正数 x,y 满足 A. 8 B. 4 C. 2 D. 0

,则 x+2y 的最小值为(



6.函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)



7.函数 y=cos2x 的图象可以看作由 y= A. 向左平移 C. 向左平移

cos2x+sinxcosx 的图象( 个单位长度 单位长度

)得到.

个单位长度 B. 向右平移 单位长度 D. 向右平移

8.已知直线 l,m 平面α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题: ①若α ∥β ,则 l⊥m;②若 l⊥m,则α ∥β ;③若α ∥β ,则 l∥m;④若 l∥m,则α ⊥β . 其中真命题是( )

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④

9.圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 与直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系是( A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能

2

2



10.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60°, 则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. ) D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11.已知向量 = .

12.已知若 9 =3,log3x=a,则 x=

a



13.若 x、y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是



14.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆

2

=1 的右焦点重合,则 P 的值为



15.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.已知向量 =(﹣cosA,sinA) , =(cosB,sinB) ,且 ABC 的三边 a,b,c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. = ,其中 A,B,C 分别为△

17.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

2

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中 点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. AD.

19.已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函 数 f(x)在区间上单调递增,求 m 的取值范围.

3

2

20.已知椭圆的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x﹣y+2 离为 3. (1)求椭圆的方程;

=0 的距

(2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范 围.

2014-2015 学年山东省滨州市邹平县黄山中学高三(上)12 月质检数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 M={0,1,2},N={x|x +x﹣2≤0},则 M∩N=( A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}
2



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 x +x﹣2≤0 求出集合 N,再由交集的运算求出 M ∩N. 解答: 解:由 x +x﹣2≤0 得,﹣2≤x≤1,则集合 N={x|﹣2≤x≤1}, 又 M={0,1,2},所以 M∩N={0,1}, 故选:C. 点评: 本题考查交集及其运算,以及二次不等式的解法,属于基础题.
2 2

2.全称命题:任意 x∈R,x >0 的否定是( A.任意 x∈R,x ≤0 B. 存在 x∈R,x >0 C. 存在 x∈R,x <0 D. 存在 x∈R,x ≤0 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型.
2 2 2 2

2



分析: 欲写出命题的否定,必须同时改变两个地方:①: “任意” ;②: “>”即可,据此分 析选项可得答案. 解答: 解:命题:任意 x∈R,x >0 的否定是: 存在 x∈R,x ≤0. 故选 D. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是” .特 称命题的否定是全称命题, “存在”对应“任意” .
2 2

3.若复数 i 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( A. (1,1) B. (1,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)



考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知等式两边同时乘以 解答: 解:由 z(1+i)=2i,得 . ∴在复平面内 z 对应的点的坐标是(1,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. ,然后利用复数的除法运算化简,则答案可求.

4.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a6 的值为( A. 10 B. 9 C. 8 D. 7



考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 依题意,利用等差数列的性质,可知 a3+a6+a9=27,再利用等差中项的性质可得答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33, ∴a3+a6+a9=27, ∴3a6=27, ∴a6=9, 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,求得 a3+a6+a9=27 是关键,属于基础题.

5.已知正数 x,y 满足 A. 8 B. 4 C. 2 D. 0

,则 x+2y 的最小值为(



考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先把 x+2y 转化成 x+2y=(x+2y) ( ? 等号成立的条件. 解答: 解:∵ ∴x+2y=(x+2y) ( ? 当且仅当 , )=4+ ≥4+2 =8, )展开后利用均值不等式即可求得答案,注意

即 x=2y=4 时等号成立,

∴x+2y 的最小值为 8. 故选 A. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.基本不等式一定要把握好“一正, 二定,三相等”的原则.属于中档题.

6.函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)



考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值 符号相反. 解答: 解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0, 而 f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0, ∴函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间是 (1,2) , 故选 B. 点评: 本题考查函数的零点的判定定理,连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间 端点处的函数值异号.

7.函数 y=cos2x 的图象可以看作由 y=

cos2x+sinxcosx 的图象(

)得到.

A. 向左平移 C. 向左平移

个单位长度 B. 向右平移 单位长度 D. 向右平移

个单位长度 单位长度

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式化简函数 y= cos2x+sinxcosx 的解析式为 cos(2x﹣ ) ,再根据

y=Asin(ω x+?)的图象变换规律得出结论. 解答: 解:由于函数 y= 把它的图象向左平移 故选 A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+?)的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题. cos2x+sinxcosx= =cos(2x﹣ ) ,

个单位,可得 y=cos=cos2x 的图象,

8.已知直线 l,m 平面α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题: ①若α ∥β ,则 l⊥m;②若 l⊥m,则α ∥β ;③若α ∥β ,则 l∥m;④若 l∥m,则α ⊥β . 其中真命题是( )

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④

考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 在空间中:①由α ∥β ,且 l⊥α ,m? β ,容易得出 l⊥m;②由 l⊥m,且 l⊥α , m? β ,不一定有α ∥β ; ③由α ∥β ,且 l⊥α ,m? β ,不能得出 l∥m;④由 l∥m,且 l⊥α ,m? β ,可 以得出β ⊥α . 解答: 解:①是真命题,因为当α ∥β ,且 l⊥α 时,有 l⊥β ,又 m? β ,∴l⊥m; ②是假命题,因为当 l⊥m 时,由 m? β ,不能得出 l⊥β ,故不能得α ∥β ; ③是假命题,因为当α ∥β 时,由 l⊥α ,得 l⊥β ,且 m? β ,∴l⊥m,故 l∥m 错误; ④是真命题,因为当 l∥m 时,由 l⊥α ,得 m⊥α ,又 m? β ,∴α ⊥β . 所以,正确的命题有①④;

故选 C. 点评: 本题通过几何符号语言考查了空间中线线,线面,面面之间的平行和垂直关系,是基 础题,也是易错题.

9.圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 与直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系是( A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能

2

2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 观察动直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)可知直线恒过点(1,﹣2) ,然后判定点(1, ﹣2)在圆内,从而可判定直线与圆的位置关系. 解答: 解:直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0 恒过(1,﹣2) 而 1 +(﹣2) ﹣2×1+4×(﹣2)﹣4=﹣9<0 ∴点(1,﹣2)在圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 内 则直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0 与圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 相交 故选 C. 点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定,解题的关键找出直线恒过的定点,属于 基础题.
2 2 2 2 2 2

10.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60°, 则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. ) D. 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算 题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题设条件,先设∠B2F1B1=60°,求出双曲线的离心率.再设∠F1B2F2=60°,求出 双曲线的离心率. 解答: 解:设双曲线 C 的焦点坐标是 F1 和 F2,虚轴两个端点是 B1 和 B2,则四边形 F1B1F2B2 为 菱形.

若∠B2F1B1=60°,则∠B2F1F2=30°. 由勾股定理可知 c= b,∴a= = b, . c,不满足 c>b,所以不成立.

故双曲线 C 的离心率为 e=

若∠F1B2F2=60°,则∠F1B2B1=30°,由勾股定理可知 b= 综上所述,双曲线 C 的离心率为 故选:C. .

点评: 解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率.解题时要 注意 a,b,c 中 c 最大.

二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11.已知向量 = ﹣3 .

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由已知中三个向量坐标,利用向量线性运算可得 直的数量积为 0,构造关于 k 的方程,解方程可得 k 值. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ k+3 =0 =( ,3) , 的坐标,进而根据两个向量垂

解得 k=﹣3 故答案为:﹣3 点评: 本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系,其中熟练掌 握两个向量垂直向 量积为 0 是关键.

12.已知若 9 =3,log3x=a,则 x=

a



考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件求出 a,然后利用对数的运算法则求解即可. 解答: 解:9 =3,∴ ∴log3x=a= , 解得 x= . .
a



故答案为:

点评: 本题考查指数函数以及对数函数的运算法则的应用,函数的零点的求法,基本知识的 考查.

13.若 x、y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是 11 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x+3y 得 y= ,平移直线 y= ,当直线 y= 经过点 A 时,

对应的直线的截距最大,此时 z 也最大, 由 ,

解得

,即 A(2,3) ,此时 z=2+3×3=11,

故答案为:11

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.

14.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆

2

=1 的右焦点重合,则 P 的值为 4 .

考点: 椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标,在于抛物线的性质可确定 p 的值. 解答: 解:椭圆
2

=1 的右焦点为(2,0) ,

所以抛物线 y =2px 的焦点为(2,0) ,则 p=4, 故答案为:4. 点评: 本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的简单性质,基本知识的考查.

15.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可. 解答: 解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为 3 高为 2,一个是底面半径为 2, 高为 4, 组合体体积是:3 π ?2+2 π ?4=34π . 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为:3 π ×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为: 故答案为: 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算 能力. = .
2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.已知向量 =(﹣cosA,sinA) , =(cosB,sinB) ,且 ABC 的三边 a,b,c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. = ,其中 A,B,C 分别为△

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: (1)由两向量的坐标以及平面向量的数量积运算法则化简已知等式,求出 cosC 的值, 即可确定出 C 的度数;

(2)利用三角形面积公式列出关系式,把 b,sinC 以及已知面积代入求出 a 的值,再利用余 弦定理即可求出 c 的值即可. 解答: 解: (1)∵向量 =(﹣cosA,sinA) , =(cosB,sinB) ,且 ∴﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣cos(A+B)=cosC= ∵C 为三角形内角, ∴C= ; ,△ABC 的面积为 6, , , = ,

(2)∵b=4,sinC= ∴ ×4a×

=6,即 a=3
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=18+16﹣24=10, 则 c= .

点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,以及三角形面积公式,熟练掌握余弦 定理是解本题的关键.

17.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)解出方程的根,根据数列是递增的求出 a2,a4 的值,从而解出通项; (2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和. 解答: 解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的根为 2,3.又{an}是递增的等差数列, 故 a2=2,a4=3,可得 2d=1,d= , 故 an=2+(n﹣2)× = n+1,
2

(2)设数列{

}的前 n 项和为 Sn,

Sn=

,①

Sn=

,②

①﹣②得 Sn=

=



解得 Sn=

=2﹣



点评: 本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中 点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB ⊥平面 PCD. AD.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点,利用三角形中位线的性质,可知 EF ∥PA,利用线面平行的判定定理,即可得出结论; (2)先证明 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥PA,再证明 PA⊥PD,可得 PA⊥平面 PCD,从而可得平 面 PAB⊥平面 PCD. 解答: 证明: (1)连结 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点, 故在△CPA 中,EF∥PA,?(2 分) ∵PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD,

∴EF∥平面 PAD?(6 分) (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD⊥AD, 所以,CD⊥平面 PAD, ∵PA? 平面 PAD, ∴CD⊥PA 又 , ,即 PA⊥PD

所以△PAD 是等腰直角三角形,且 又 CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD, 又 PA? 平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PCD?(12 分)

点评: 本题考查线面平行的判定,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.

19.已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间上单调递增,求 m 的取值范围.

3

2

考点: 函数的单调性与导数的关系;导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)将 M 的坐标代入 f(x)的解析式,得到关于 a,b 的一个等式;求出导函数,求 出 f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1,列出关于 a,b 的另一个等 式,解方程组,求出 a,b 的值.

(2)求出 f′(x) ,令 f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知? (﹣∝,﹣2] ∪ ∵函数 f(x)在区间上单调递增 ∴? (﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 点评: 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率;直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣ 1.

20.已知椭圆的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x﹣y+2 离为 3. (1)求椭圆的方程;

=0 的距

(2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范 围.

考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)依题意可设椭圆方程为 ,由题设 解得 a =3,故
2

所求椭圆的方程为



(2)设 P 为弦 MN 的中点,由

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0,由于直线与椭

2

2

2

圆有两个交点,∴△>0,即 m <3k +1.由此可推导出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)依题意可设椭圆方程为 ,

2

2

则右焦点 F(

)由题设

解得 a =3 故所求椭圆的方程为

2



(2)设 P 为弦 MN 的中点,由

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0 由于直线与椭圆有两个交点,∴△>0,即 m <3k +1① ∴ 从而
2 2

2

2

2



又|AM|=||AN|,∴AP⊥MN,


2

即 2m=3k +1② 解得 .

2

把②代入①得 2m>m 解得 0<m<2 由②得 故所求 m 的取范围是( ) .

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.



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