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河北省沧州市献县一中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题



沧州市献县一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试

高一数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设 A,B,C 为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N 则必有 ( ) A.C∩P=C B.C∩P=P C.C∩P=C∪P D

.C∩P= ? ( B. {x | x ? ?6或x ? 1} D. {x | ?6 ? x ? 1} )

2.不等式|2x+5|≤7 的解集是 A. {x | ?6 ? x ? 1} C. {x | x ? ?6或x ? 1} 3.若 f (1 ? 2 x) ?

1 ?x2 1 ( x ? 0),那么f ( ) ? 2 2 x





A.1 B .3 C.15 D.30 4.设非空集合 A、B、C,若“a∈A”的充要条件是“a∈B 且 a∈C” ,那么“a∈B”是“a ∈A”的 ( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

的定义域是 B. (??,0) D. (??,?1) ? (?1,0)





A. (0,??) C. (??,?1) ? (?1,0) ? (0,??) 6.函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 的值域是 A.[0,1] B.[0,2]

( C.[-1,1] D.[1,2]



7.设 f ( x)(x ? R) 为偶函数且 f ( x)在[0,??) 上是增函数,则 f (?2)、f (?? )、f (3) 的大小顺 序是 A. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) 8. 若 f ( x) ? B. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D. f (?? ) ? f (?2) ? f (3)
?1





x?a (a、b、c 为常数) 的反函数是 f bx ? c

( x) ?

3x ? 1 , 则 a、 b、 c 的值是 ( 2x ? 1



A.a=3,b=2,c=1 C.a=1,b=2,c=-3
x

B.a=-3,b=1,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 ( D. a ? 2 1 , 3 , 5 ( ) )

9.已知不等式 a ? 2 x对于x ? 2 恒成立,则实数 a 的取值范围是

1 且a ? 1 B.a>2 2 2 10.不等式 | x |? 的解集为 x ?1
A. a ? A. {x | x ? 1 ,或x ? 2} C. {x | x ? 2,或x ? ?1} 11.设函数 f ( x) ?

C.a>1

B. {x | ?1 ? x ? 2} D. {x | 1 ? x ? 2}

1 ? 2x ,函数 g ( x)的图象与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y=x 对称,则 1? x
( )

g (1) =
A. ?

3 2

B.-1

C. ?

1 2

D.0

12. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 1 ? x 2 , 构造函数 F ( x) : 当 | f ( x) |? g ( x) 时,F ( x) ?| f ( x) | , 当 | f ( x) |? g ( x)时,F ( x) ? ? g ( x),那么F ( x) A.有最小值 0,无最大值 B.有最小值-1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 D.无最小值,也无最大值 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。答案填在题中横线上。 13.已知点(x,y)在映射 f 下的象是( xy, 14.函数 y ? ( )

x ) ,则点(1,2)的原象是 y

x 的单调增区间是 1? x

15. f ( x) 的定义域为[0,1],则 f (4 x ? 3) 的定义域为 16.若 ? , ?是关于 x的方程x ? (k ? 2) x ? k ? 3k ? 5 ? 0 的两个根,则 ? ? ? 的最大值
2 2 2 2

是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应实际情况出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 1 2 设 f ( x) ? x ? ax ? b,A ? {x | f ( x) ? x} ? {a} ,求a、b 的值。 , 3 , 5

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p: 函数 f
?1

实数 m 满足不等式 f ?1 (m) ? 2 , ( x)是函数f ( x) ? 1 ? 3x 的反函数,

命题 q:实数 m 使方程 2 x ? m ? 0( x ? R) 有实根,若命题 p、q 中有且只有一个真命题, 求实数 m 的范围。

19. (本题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? a ?

3 c 与函数 g ( x) ? 1 ? 互为反函数,求 a、b、c 的值。 x?b 2x ? 1

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ( x ? R)
2

(1)写出函数 f ( x) 的单调增区间,并用定义加以证明: (2) 设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 (2 ? x ? 3) 试利用 (1) 的结论直接写出该函数的值域 (用
2

区间表示) 。

21. (本小题满分 12 分) 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润,依次是 P 和 Q(万元) , 它们与投入的资金 x(万元)的关系有公式, P ?

1 3 x,Q ? x ,今有 3 万元资金投 5 5

入经营甲乙两种商品,设投入乙的资金为 x(万元) ,获得的总利润 y(万元) 。 (1)用 x 表示 y;

(2)x 为何值时,y 有最大值,并求出这个最大值。

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)(x ? R, 且x ? 0) ,对于定义域内任意 x、y 恒有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),

并且x ? 1时,f ( x) ? 0 恒成立。
(1)求 f (1) ; (2)证明方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根;

f( (3)若 x ? [1,??)时,不等式

x 2 ? 2x ? a ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 x

数学试题参考答案
一、选择题: BDCBD DACDA AB 二、填空题 1 , 2 2 13. ( 2 , )或(? 3 2 ,? ) 2 2 , 三、解答题: 5

14. (??,1)和(1,??)

15. [ ,1]

3 4

16.18

17.解:由 f ( x) ? x得x 2 ? ax ? b ? x即x 2 ? (a ? 1) x ? b ? 0 ∵A={a} ∴方程 x 2 ? (a ? 1) x ? b ? 0 有两个相等实根为 a, ①

∴将 a 代入方程得: a 2 ? a(a ? 1) ? b ? 0 又由△=0 得

1 1 a ? ,b ? 3 9 1? y 1 ? x ,故 f ?1 ( x) ? 18.解:由 y ? 1 ? 3 x,所以 x ? 3 3 1 ? m ?1 ? ?2 ? ?5 ? m 又 f ( m) ? 2 3

(a ? 1) 2 ? 4b ? 0

② 解得

∴p:-5<m 因为方程 2 ? m ? 0( x ? R)有实根, 2 ? 0,? m ? 0
x x

∴q:m<0 若命题 p、q 中有且只有一个真命题,存在两种情况: (1)当 p 为真命题,q 为假命题时, ?

?? 5 ? m ?m ? 0 ?m ? ?5 ?m ? 0

?m ? 0

(2)当 q 为真命题,p 为假命题时, ?

? m ? ?5

综上当命题 p、q 中有且只有一个真命题时, m ? ?5 ,或 m ? 0 19.解:∵ g ( x) ? 1 ?

c 1? c ? x 的值域 g ( x) ? 1 ? g ?1 ( x) ? 2x ? 1 2x ? 2 1 1? c 1 1? c ? x? ? x? ax ? ab ? 3 2 x 恒成立, 2 ∵ ? 2 ? 2 x ?1 x?b x ?1 1 1? c 比较对应项得 -b=-1, a ? ? ,? ac ? 3 ? 2 2 1 即 a ? ? , b ? 1, c ? 6 2

20.解: (1) f ( x) 的单调增区间为 [1,??) 下面用定义证明:设 x1、x2 是 [1,??) 上任意两个值且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 2x1 ? 3 ? ( x2 ? 2x2 ? 3) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2)
? x1 ? 1 ? ∵ ? x2 ? 1 ?x ? x 2 ? 1
又 x1 ? x 2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x)在[1,??) 上是增函数。 (2) f ( x) 的最大值 f (3) ? 6,最小值f (2) ? 3 ,值域为[3,6] 21.解: (1) y ? ∴ x1 ? x2 ? 2 ? 0

2

2

1 3 (3 ? x) ? x 5 5

(0 ? x ? 3)

(2)令 x ? t ,则

3 1 2 3 ? t ? t (0 ? t ? 3 ) 5 5 5 2 9 21 当 t= 即x ? 时, y max ? 3 4 20 9 9 3 21 答:当 x ? 即投入乙为 万元甲 万元时,总利润最大为 万元。 4 4 4 20 y?
22.解: (1)令 x=y=1, ∴ f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ; (2)任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 x ? 1,由题意f ( 2 ) ? 0 x1 x1

又定义域内任意 x、y 恒有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),所以f ( xy) ? f ( y) ? f ( x) ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 )?0 x1

? f ( x2 ) ? f ( x1 )

∴函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,由(1)和 f (1) ? 0 ,所以 1 为方程 f ( x) ? 0 的一 个实根,若还存在一个 x0,且x0 ? 0,使得f ( x0 ) ? 0 ,因为函数 f ( x) 在其定义域内为 增函数,必有 x0 ? 1 ,故方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根;

(3)由(2)知函数 f ( x) 在其定义域内为增函数

f( 当 x ? [1,??)时,不等式

x 2 ? 2x ? a x 2 ? 2x ? a ) ? f (1)恒成立,即 ? 1 恒成立 x x

即 x 2 ? 2 x ? a ? x,即a ? ? x 2 ? x在x ? [1,??) 时恒成立 ∵ ? x ? x ? ?( x ? ) ?
2 2

1 2

1 ? ?2, ? a ? ?2 4



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