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2015-2016学年高一下学期期末考试试题理科(含答案)



2015—2016 年学年度第二学期

高一年级期末试题 理科数学

9 . 已 知 {a n } 是 首 项 为 a1 , 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , S n 是 {a n } 的 前 n 项 和 .? S n ? 2016.7

a1 (1 ? q n ) ;?若 1? q


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟

* 则 m? n ? s ?t ; ? Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等比数列 (k ?N ) 以上说法正确的有 ( am ? an ? as ? at ,

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | y ? 2 ? x} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 0} ,则 A.A∩B=? B.A∪B=R C. B ? A ) D. A ? B

个. A.0 B. 1 C. 2 D. 3 )

10.已知不等式 mx 2 ? nx ? A.

1 2

1 1 ? 0 的解集为 {x | x ? ? 或 x ? 2} .则 m ? n ? ( m 2 5 5 1 B. ? C. D. ? 2 2 2

2.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A. f ? x ? ? 2
x

11.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别是

B. f ? x ? ? ln x
2

C. f ? x ? ? log 1 x
3

1 D. f ? x ? ? x

AA1,A1D1,CC1,BC 的中点,给出以下四个结论: ①A1C⊥MN; ②A1C∥平面 MNPQ; ③A1C 与 PM 相交; ④NC 与 PM 异面.其中不正确的结论是( A.① 12.已知 an ?
a b D. 2 ? 2

1 3.若函数 f ( x) ? sin x ? ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( ) 2 π A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 2
C.最小正周期为 2 π 的偶函数 4.设 a ? b ,则下列不等式成立的是 ( ) A. a 2 ? b 2 ? ab B. D.最小正周期为 π 的偶函数

)

B.②

C.③

D.④ )

1 n? sin , S n 是 {a n } 的前 n 项和.则在 S1,S2,S3 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
B.50 C.75 D.100

b?a ?0 ab
C. ?1

C. a 2 ? b 2 )

A.25

5.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-2ax+a2-1=0 相内切,则 a=( A.1 B.-1 D. ?2

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )

6.已知 | a |?| b |? 2 ,向量 a 与 b 的夹角为 60 ,则 | a ? b | 等于(
?

?

?

?

?

? ?

1 A. 2

3 B. 2

C.2

D.4 )

?x≥y 13.若 x、y 满足条件?x+y≤1 ?y≥-1
15.函数 y ? 2 sin(

,则 z=-2x+y 的最大值为_______.

7.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( 1 B. 2
2

14.若 a ? 0, b ? 0 ,且 2a ? b ? 2 ? 0 ,则 ab 的取值范围为_______.

?
3

A.1

3 C. 4
2

3 D. 2

? 2 x) 的单调递增区间为___________.

16.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔, 海轮在 A 处观察灯塔, 其方向是东偏南 20° , 在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65° , 那么 B、C 两点间的距离是___________.

8.已知圆 ?x ? 1? ? ? y ? a? ? 4?a ? 0? 被直线 x ? y ? 1 ? 0 截得的 弦长为 2 3 ,则 a 的值为 ( A. 2 B. 3 ) C. 2 ? 1 D. 3 ? 1

2015—2016 年学年度第二学期遂溪一中高一年级期末试题 数学 第 1 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知点 P(2,?1) 。 (Ⅰ)求过点 P 且经过直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和直线 x ? 3 y ? 19 ? 0 交点的直线 l 的方程; (Ⅱ)求过点 P 且与原点距离为2的直线 l1 的方程;.

21.(本小题满分 12 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;
2 2 2 (2) 在 ?ABC 中 , ?A、?B、?C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c, 若 a ? b ? c ? ab, 且

?
12

,1).

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 2 ? kx .

f(

A ? 2 ? )? . 求 sin B. 2 2 12

(1)若对于区间 ? 0, ?? ? 内的任意 x ,总有 f ( x) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在区间 ?0,2? 内有两个不同的零点 x1 , x2 ,求: ①实数 k 的取值范围;

19.(本小题满分 12 分)



设 Sn 为各项不相等的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a3a5 ? 3a7 , S3 ? 9 .

1 1 ? 的取值范围 x1 x2

(1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设 Tn 为数列 ?

? 1 ? an ? 1 的最小值. ? 的前 n 项和,求 Tn ? an an ?1 ?

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的底面中,

DB ? 4 , ?DAB ? ?DCB ? 90? , ?BDC ? ?BDA ? 60? .
(1)求证: 平面BDD 1 B1 ? 平面ACC1 A 1; (2)若 DD1 ? 2 ,求二面角 B ? A1 C1 ? A 的正切值. .

2015—2016 年学年度第二学期遂溪一中高一年级期末试题 数学 第 2 页

2015—2016 年学年度第二学期 高一年级期末试题 理科数学答题卡
分数
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案 题 号 答 案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6

18.(本小题满分 10 分)

19.(本小题满分 12 分)

7

学号

13. 15.

14. 16.

1 2

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

班级:

姓名

?
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20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分)

22.(本小题满分 12 分)

2015—2016 年学年度第二学期遂溪一中高一年级期末试题 数学 第 4 页

? cos A ?

2015—2016 年学年度第二学期遂溪一中高一年级期末

2 ……………..…………………………..………………………..……..8 分 2

?0 ? A ? ? , ? A ?
2016.7

?

理科数学参考答案及评分标准
一.选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)。 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B 11 B 12 D

4 5? ? B ? ? ? ( A ? C) ? , 12 5? ? ? ? sin B ? sin ? sin( ? ) 12 6 4

? sin

?
6

cos

?

? ? 1 2 3 2 2? 6 ……….12 分 ? cos sin ? ? ? ? ? 2 2 2 4 4 6 4 2
?? a1 ? 2d ?? a1 ? 4d ? ? 3 ? a1 ? 6d ? ? , 3? 2 d ?9 ?3a1 ? ? 2
………5 分

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 1 ; 14. ? 0, ? ; 2

? ?

1? ?

15. ?

11 ? ? 5? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) ; 12 ? 12 ?

16. 10 2海里 。

19.解:(1)设 ?an ? 的公差为 d ,则由题知 ?

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

x ?1 2x ? y ? 8 ? 0 17.解:(1)联立直线方程 { 可得 { 故交点坐标为 ?1, 6? ……………..……..2分 y?6 x ? 3y - 19 ? 0

解得 ?

又 l 过点P,故 kl ?

6 ? (?1) ? ?7, 故l : y ? 6 ? ?7( x ? 1) 1? 2
……………..……..4分

?d ? 0 ?d ? 1 (舍去)或 ? ,?an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ? 1 . ?a1 ? 3 ?a1 ? 2 1 1 1 1 (2) ? , ? ? ? an an?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2

即直线 l 的方程为 7 x ? y ? 13 ? 0

?Tn ?

(2)当直线 l1 的斜率不存在时,显然满足题意,此时 l1 的方程为 x ? 2 …..……..6分 当直线 l1 的斜率存在时,设 l1:y ? (?1) ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ..……..7分

1 1 1 1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 ? 2 3 ? ? 3 5 ? ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 n ? ? ………10 分 ? 2 n ? 2 2 ? n ? 2?

故有

k ? 0 ? 0 ? 2k ? 1 k 2 ?1
3 4

? 2.

…….8分

化简得 k ?

…….9分

此时直线 l1 的方程为 3x ? 4 y ? 10 ? 0 18.解:(1)由 f (

an ? 1 n?2 2(n ? 2) 2 4 4 ? ? ? 2(n ? ? 4) ? 2(2 n ? ? 4) ? 16 , n Tn n n n 2(n ? 2) 4 当且仅当 n ? ,即 n ? 2 时“=”成立, n a ?1 即当 n ? 2 时, n 取得最小值 16 . ………12 分 Tn ?

.…….10分

?
12

) ? 1 得 sin(

?
6

? ? ) ? 1 ……………..…..……………..………………………1 分

?0 ? ? ? ? , ?
2 2 2

?
6

?? ?

?
6

?

7? ? ? ? , 故 ? ? ? , ? ? ? ………………..…..5 分 6 6 2 3

(2)? a ? b ? c ? ab , ? cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ……………..………………….6 分 2ab 2

?0 ? C ? ? , ?C ?

?
3

由(1)知 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

), ? f(

A ? ? ? ) ? sin( A ? ) ? cos A 2 12 2

20.解:(1)由 BD ? BD, ?DAB ? ?DCB ? 90?, ?BDA ? ?BDC ,有 ?BDA ? ?BDC , 故有 BA ? BC, ?DBC ? ?DBA,故 BD ? AC (等腰三角形三线合一)。 又直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,故 AA 1 ? 平面ABCD ,故 AA 1 ? BD , ? CA ? A BD ? 平面 ACC A 又 AA , 故 1 1 1 B 平面 BDD 又 BD ? 平面BDD , 故有 ………6 分 1 1 1 B1 ? 平面ACC1 A 1 (2)设 BD ? CA ? O ,作 OE ? A1C1交A1C1于点E, 连BE 由 BD ? 平面ACC1 A1 , A1C1 ? 平面ACC1 A1 ,有 BD ? C1 A1 又 BD ? OE ? O ,故 C1 A1 ? 平面BOE , C1 A1 ? BE 故 ?BEO 为二面角 B ? A1 C1 ? A 的平面角。

BO ? BC ? cos?CBD ? BD ? sin ?BDC ? sin ?BDC ? 4 ?

3 3 ? ?3 2 2

2015—2016 年学年度第二学期遂溪一中高一年级期末试题 数学 第 5 页

BO 3 ? OE 2 3 故二面角 B ? A1 C1 ? A 的正切值为 2
故有 tan ?BEO ? 21.解:(1)由 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,
2

OE ? AA 1 ? DD 1 ?2

22.解:(1) f ( x) ? 0 ? x ? 1 ? x ? kx ? 0 ? k ? ?
2 2

x2 ?1 ? x2 x

, x ? ? 0, ?? ? ,

记 g ( x) ? ?

x2 ?1 ? x2 x

? 1 ? , x ? ? 0,1? ? ? x ?? ,易知 g ( x) 在上 ? 0,1? 递增,在 1 ??2 x ? , x ? ?1, ?? ? ? x ?

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ;

……………2 分

?1, ??? 上递减,
∴ g ( x)max ? g ?1? ? ?1,∴ k ? ?1 即可 5分

( 2 ) 设 M ? x, y ? , 则 ∵ 点 M 为 弦 AB 中 点 即

C1M ? AB ,
∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

(2)①ⅰ) 0 ? x ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 化为 kx ? 1 ? 0 , k ? 0 时,无解; k ? 0 时, x ? ?

1 ; k

y y ? ? ?1 ,……………4 分 x ?3 x

2 ⅱ ) 1 ? x ? 2 时 , 方 程 f ( x) ? 0 化 为 2 x ? kx ? 1 ? 0 , x ?

? k ? k2 ? 8 , 而 其 中 4

∵ 动 直 线 l 与 圆 C1 相 交 , ?

3m m2 ? 1

?2 ,

4 4 4 ,? y 2 ? m 2 x 2 ? x 2 ,? 3 x ? x 2 ? x 2 , 5 5 5 5 5 解得 x ? ,或 x ? 0 ,又? 0 ? x ? 3,? ? x ? 3 。 3 3 ? m2 ?
∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ?

? k ? k2 ? 8 ? k ? k2 ? 8 ? k ? k ; ? ? 0 ,故 f ( x) ? 0 在区间 ?1,2? 内至多有一解 x ? 4 4 4
综合ⅰ)ⅱ)可知, k ? 0 ,且 0 ? x ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 有一解 x ? ?

1 ,故 k ? ?1 ;1 ? x ? 2 时,方 k

? ?

3? 2?

2

程 f ( x) ? 0 也仅有一解 x ?

9?5 ? ? ? x ? 3 ? ;……………7 分 4? 3 ?

? k ? k2 ? 8 ? k ? k2 ? 8 7 ? 2 ,得 ? ? k ? ?1 ,所以实数 k 的取 ,令 1 ? 2 4 4
9分

值范围是 ?

(3) 由 (2) 知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

7 ? k ? ?1 ; 2

3 为半径的部分圆弧 EF(如图所示, 不包括两端点) , 2

②方程 f ( x) ? 0 的两解分别为 x1 ? ?

? k ? k2 ? 8 1 , x2 ? , k 4

且 E? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? , F ? ,? ? ?, ?3 3 ? ?3 3 ? ? ? ? ?

又直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0 ? ,当直线 L 与圆 C 相切时,

2 1 1 4 k ? k 2 ? 8 ? ?k ? k ? 8 ? 2x2 ? ? 2,4? ? ? ?k ? ? ?k ? 2 x1 x2 2 ? k ? k2 ? 8



?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k ? ? ,又 k DE ? ?k DF 4 2

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ?? ? ,………10 分 5 7 4? 3

结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ?

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? , ? 时, 7 ? ? 4 4? ? 7

直线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点.……………12 分

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