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高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程


高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程
一、重点知识结构 本章以直线和圆为载体,揭示了解析几何的基本概念和方法。 直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一,而点斜 式又是其它形式的基础; 两条直线平行和垂直的充要条件、 直线 l1 到 l2 的角以及两直线的夹角、 点到直线的距 离公式也是重点内容; 用不等式(组)表示平面区域和线性规划作为新增内容,需要引起一定的注意; 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,是解决解析几何两个基本问题的依据; 圆的方程、直线(圆)与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等,因其易与平面 几何知识结合,题目解法灵活,因而是一个不可忽视的要点。 二、高考要求 1、掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式, 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系; 3、会用二元一次不等式表示平面区域; 4、了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用; 5、了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法; 6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念。 三、热点分析 在近几年的高考试题中,两点间的距离公式,中点坐标公式,直线方程的点斜式、斜 率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆 锥曲线的关系一直是高考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划内容是新教 材中增加的新内容,在高考中极有可能涉及,但难度不会大。 四、复习建议 本章的复习首先要注重基础,对基本知识、基本题型要掌握好;求直线的方程主要用 待定系数法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时, 应特别注意斜率存在和不存在的两种情形;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想, 随着高考对知识形成过程的考查逐步加强,对坐标法的要求也进一步加强,因此必须透彻 理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤,又能根据方程讨论曲线的性质;圆的 方程、直线与圆的位置关系,圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题;求圆的方 程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练掌握,还应注意恰当运 用平面几何知识以简化计算。 直线 【例题】 【例1】 已知点 B (1, , (16, , A 在直线 x-3y+3 = 0 上, 4) C 2) 点 并且使 ? ABC 的面积等于 21,求点 A 的坐标。 解:直线 BC 方程为 2x+5y-22 = 0,|BC| = BC 的距离为
| 11 y ? 28 | 29

29
1 2

,设点 A 坐标(3y-3,y),则可求 A 到
29 ? | 11 y ? 28 | 29 ? 21

,∵ ? ABC 面积为 21,∴



∴y

?

70 11

或 ?

14 11

,故点 A 坐标为(

177 11

,

70 11

)或( ?

75 11

,?

14 11

).


【例2】 已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0, 求直线 l 的方程, 使得: (1) l 与 l 平行, 且过点(-1,3) ; (2) l 与 l 垂直, 且 l 与两轴围成的三角形面积为 4. 解: (1) 由条件, 可设 l 的方程为 3x+4y+m=0, 以 x=-1, y=3 代入, 得 -3+12+m=0, 即得 m=-9, ∴直线 l 的方程为 3x+4y-9=0; (2) 由条件, 可设 l 的方程为 4x-3y+n=0, 令 y=0, 得 x 角形面积 S
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

? ?

n 4

, 令 x=0, 得 y

?

n 3

, 于是由三

?

1 2

? ?

n 4

?

n 3

? 4

, 得 n2=96, ∴ n
6 ? 0

? ?4 6

∴直线 l 的方程是 4 x ? 3 y ? 4

或4x ? 3y ? 4

6 ? 0

【例3】 过原点的两条直线把直线 2x+3y-12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等 分,求这二直线的夹角。 解:设直线 2x+3y-12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点, 则 A(0,4) ,B(6,0) ,设分点 C,D,设 ? COD
6 ? ? 2 ? xc ? 1? 2 ? 2 ,∴ ? 0? 4?2 8 CA ? yc ? ? 1? 2 3 ? 0? 2?6 ? ? 4 ? x0 ? 1? 2 ? 2 ,∴ ? 4 4 DB ? y0 ? ? 1? 2 3 ?
AD

??

为所求角。



BC

,∴C(2, ).
3

8



,∴D(4,

4 3

),∴ k OC

?

4 3

, k OD ?

1 3

.

4

∴ tg ?

?|

k OC ? k OD 1 ? k OC k OD

? 4 3

1 3 ? 1 3 ? 9 13

|?

3 1?

,∴ ?

? arctg

9 13

.

【例4】 圆 x2+y2+x-6y+c = 0 与直线 x+2y-3 = 0 相交于 P,Q 两点,求 c 为何 值时,OP ? OQ(O 为原点). 解:解方程组消 x 得 5y2-20y+12+c = 0, y 1 消 y 得 5x2+10x+4c-27 = 0, x 1 ∵OP ? OQ,∴
y1 x1 ? y2 x2 ? ? 1 ,∴
? x2 ? 1 5 ( 4 c ? 27 ) , 4 c ? 27 5 ? y2 ? 1 5 (12 ? c ) ,

12 ? c 5

? ?

,解得 c = 3.

【例5】 已知直线 y =-2x+b 与圆 x2+y2-4x+2y-15 = 0 相切,求 b 的值和切点

的坐标. 解:把 y =-2x+b 代入 x2+y2-4x+2y-15 = 0, 整理得 5x2-4(b+2)x+b2+2b-15 = 0,令 ? = 0 得 b =-7 或 b =13,] ∵方程有等根, x
? 2 (b ? 2 ) 5

,得 x =-2 或 x = 6,

代入 y = -2x-7 与 y = -2x+13 得 y =-3 或 y = 1, ∴所求切点坐标为(-2,-3)或(6,1).

【例6】 已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c. 证明:设线段的方程为 y=f(x)=(bc-1)x+2-b-c,其中|b|<1,|c|<1,|x|<1,且-1<b<1. ∵f(-1)=1-bc+2-b-c=(1-bc)+(1-b)+(1-c)>0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 ∴线段 y=(bc-1)x+2-b-c(-1<x<1)在 x 轴上方,这就是说,当|a|<1,|b|<1,|c|<1 时,恒有 abc+2>a+b+c.

【例7】 某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室, 为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框 对桌面的倾斜角为α (90°≤α <180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相 距 a m,b m,(a>b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? 解: 建立如图所示的直角坐标系, 为镜框边, 为画的宽度, AO AB O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看 画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知:A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为: kAC=tanxCA=
a sin α a cos α ? x

,
b sin α .
( a ? b ) ? x sin α ab ? ( a ? b ) x cos α ? x
2

k BC ? tan xCB ?

b cos α ? x

于是 tanACB=

k BC ? k AC 1 ? k BC ? k AC

?

?

( a ? b ) ? sin α ab x ? x ? ( a ? b ) ? cos α

由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤

( a ? b ) ? sin α 2 ab ? ( a ? b ) cos α

,当且仅当

ab x

=x,即

x= ab 时,等号成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0),因此,学生距离镜框 下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳. 【例8】 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的 总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多 少才行? 解:设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件
? 50 x ? 20 y ? 2000 ? ?y ? x 为? ? y ? 1 .5 x ? x ? 0, y ? 0 ?
200 ? ?x ? ? 50 x ? 20 y ? 2000 ? 7 , 解得 ? 由? 200 ?y ? x ?y ? ? 7 ?

∴A 点的坐标为(

200 7



200 7

)

由?

? 50 x ? 20 y ? 2000 ? y ? 1 .5 x

? x ? 25 ? , 解得 ? 75 ?y ? 2 ?

∴B 点的坐标为(25,

75 2

)
200 7

所以满足约束条件的可行域是以 A( O(0,0)为顶点的三角形区域(如右图)



200 7

),B(25,

75 2

),

由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,
75 2

),但注意到 x∈N,y∈N*,故取 y=37. 故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择. 【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若 用甲、乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食 物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 解: (Ⅰ)由题, c ? 11 x ? 9 y ? 4 z ,又 x ? y ? z ? 1 0 0 ,所以, c ? 4 0 0 ? 7 x ? 5 y . 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

(Ⅱ)由 ?

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000

,

?4 x ? 6 y ? 320 及 z ? 1 0 0 ? x ? y 得, ? , ?3 x ? y ? 130

所以, 7 x ? 5 y ? 4 5 0 . 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,
?4 x ? 6 y ? 320 ?3 x ? y ? 130 ? x ? 50 , 即? 时等号成立. ? y ? 20

当且仅当 ?

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元. 点评: 本题为线性规划问题, 用解析几何的 观点看, 问题的解实际上是由四条直线所围成的
?x ? 0 ? ?y ? 0 区域 ? 上使得 c ? 4 0 0 ? 7 x ? 5 y ?4 x ? 6y ? 320 ?3 x ? y ? 1 3 0 ?

y 3x-y=130

M 4x+6y=320 x

最大的点.不难发现,应在点 M(50,20)处 取得.

【直线练习 1】 一、选择题
10 10
2000 2001

1.设 M= A.M>N

?1 ?1

,N ?

10 20

2001 2002

?1 ?1

,则 M 与 N 的大小关系为( C.M<N )

) D.无法判断

B.M=N

2.三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( A.15 二、填空题 B.30 C.36

D.以上都不对

3.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大, 则 P 点坐标是_________. 4.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在直线方程为_________. 5.函数 f(θ )=
sin ? ? 1 cos ? ? 2

的最大值为_________,最小值为_________.

6. 设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立, x 的范围为_________. 则 三、解答题 7.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 8.设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,…),a、b 是常数且 b≠0. (1)证明:{an}是等差数列. (2)证明:以(an, 程. (3)设 a=1,b=
1 2

Sn n

-1)为坐标的点 Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方

,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在

圆 C 外时,r 的取值范围. 参考答案 一、1.解析:将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,102001) 连线的斜率大小,因为 B、C 两点的直线方程为 y= 即 M>N. 答案:A 2.解析:设三角形的另外两边长为 x,y,则
? 0 ? x ? 11 ? ? 0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?

1 10

x,点 A 在直线的下方,∴kAB>kAC,

点(x,y)应在如右图所示区域内 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11. 以上共有 15 个,x,y 对调又有 15 个,再加上(6,6) ,(7, 7) ,(8,8) ,(9,9) ,(10,10) 、(11,11)六组,所以共有 36 个. 答案:C 二、3.解析:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.

答案:P(5,6) 4.解析:光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 5.解析:f(θ )= 答案:
4 3

sin ? ? 1 cos ? ? 2

表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率.

0

6.解析:原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1-2x,-2≤m≤ 2,则 f(-2)<0,且 f(2)<0. 答案:
7 ?1 2 ? x? 3 ?1 2

三、7.(1)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,? 点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为 A 、B 在过点 O 的直线上,所以 (x1,log2x1) 2,log2x2). 、(x 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则
k OC ? log
2

log

8

x1

?

log

8

x2

,又点 C、D 的坐标分别为

x1

x2

x1

?

3 log

8

x1

x1

x1

, k OD ?

log

2

x2

?

3 log

8

x2

x2

x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 将其代入
log
8

x1

?

log

8

x2

x1

x2

,得 x13log8x1=3x1log8x1,

由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ). 9.(1)证明:由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b. 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列.
( Sn ? 1) ? ( S1 1 a n ? a1 ? 1) ? na ? n ( n ? 1) b

(2)证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 n

? a ( n ? 1) b 1 a ? ? a ? 2 ( n ? 1) b ? a 2 ( n ? 1) b 2

∴所有的点 Pn(an, 直线方程为 y-(a-1)= (3)解:当 a=1,b= C 外的条件是
1 2

Sn n
1 2

-1)(n=1,2,…)都落在通过 P1(a,a-1)且以 (x-a),即 x-2y+a-2=0.
n ? 2 2

1 2

为斜率的直线上.此

时,Pn 的坐标为(n,

),使 P1(1,0)、P2(2,

1 2

)、P3(3,1)都落在圆

? ( r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ? ( r ? 1) ? ( r ? ) ? r 2 ? ? ( r ? 3 ) 2 ? ( r ? 1) 2 ? r 2 ?

? ( r ? 1) 2 ? 0 ? 17 ? 2 即 ?r ? 5r ? ?0 4 ? ? r 2 ? 8 r ? 10 ? 0 ?

① ② ③

由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r<
5 2

- 2 或 r>

5 2

+ 2

由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1<
5 2

- 2 <4- 6 =

5 2

+ 2 <4+ 6
5 2

故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪(1,

- 2 )∪(4+ 6 ,+∞).

【直线练习 2】 1. l1 的方程为 2 x ?
y?3? 0

, l1 关于 x 轴对称的直线为 l 2 , l 2 关于 y 轴对称的直线为

l 3 ,那么直线 l 3 的方程为(

B )
y?3? 0

A. x ? 2 y ? 3 ?
2 2

0

B. 2 x ?

C. 2 x ?

y?3? 0

D. 2 x ?

y?6 ? 0

2.与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相外切,且与 y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是 。 y2
1? ? ? 6? x ? ? 2? ?

3. 已知定点 A(1,1), B(3,3), P 在 x 轴上, ? A P B 取得最大值, P 点坐标为 点 且 则 (
0 A. ?2,?

B )

B. ?

6, 0

?

C. ?

?7 ?3

? ,? 0 ?

0 D. ?4,?

解:P 点即为过 A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点,设圆方程为
(x ? a)
2

? ( y ? b)

2

?b

2

(a ? 0, b ? 0)

所以有 ?

2 2 2 ? ? (1 ? a ) ? (1 ? b ) ? b

? (3 ? a ) ?

2

? (3 ? b )

2

?b

2

? ?a ? 6 ? ? ?b ? 0 ?

4.圆 x 2 A.

? y
3 2

2

? x ? 0

上的点到直线 x ? B.
5 4

3y ? 3 ? 0

的最知距离为( A ) D.
9 4

C.

3 4

5. 条件甲: 方程

x

2

?

y

2

? 1 表示一双条双曲线, m 条件乙:

? 0 且 n ? 0 则乙是甲的 (

m

n

A



A.充分非必要条件 C.充要条件 6.设点 P 在有向线段 A. ?
? ?1 ?1

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 的延长线上,点 P 分 所成的比为 ? , 则( A
? 0

)

B. ? 1 ? ? D. ?
?1

C. 0 ? ?

7.如果 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax + By +C = 0, 不通过( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

8.若点(4, m)到直线 4 x A.(0, 10) 9.原点关于直线 8 x A. ? 2 , ?
? 2? ? 3?

? 3 y ? 1 的距离不大于

3, 则 m 的取值范围是( B )
? 1 31 ? , ? ?3 3 ?

B. ? 0 ,1 0 ?

C. ?

D. ? ? ? ,0 ? ? ?1 0 , ? ? ? ) D.(4, 3)

? 6 y ? 25 的对称点坐标为(

D

B. ?
? ax ? 2

? 25 25? , ? ? 8 6 ?

C.(3, 4)

10.如果直线 y A. a
? 1 3

与直线 y ? 3 x ? b 关于直线 y = x 对称, 那么( A ) B. a
? 1 3 , b ? ?6

,b ? 6

C.a = 3, b = -2

D.a = 3, b = 6

11.已知直线 l 1 和 l 2 的夹角的平分线为 y ? x , 如果 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0 ( ab ? 0 ) ,那么 l2 的方程是( A ) B. ax ? by ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 与直线 3 x
? y ?2? 0

A. bx ? ay ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0 12.如果直线 ax A.-3
? 2y ? 2 ? 0

平行, 那么系数 a = ( B D.
2 3

)

B.-6

C. ?

3 2

13.两条直线 A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , A. A 1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0

A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

垂直的充要条件是( A )

B. A 1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0

C.

A1 A 2 B1 B 2

? ?1

D.

B1 B 2 A1 A 2

?1

14. 如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位, 又回到原来的 位置, 那么直线 l 的斜率是( A A. ?
1 3

) C.
1 3

B.-3

D.3
A· x ? ay ? c ? 0

15. a、 c 分别是△ABC 中, ? A、 设 b、 ?B、 所对边的边长, 则直线 sin ?C 与 bx
? sin B · y ? sin C ? 0

的位置关系是( C C.垂直

) D.相交但不垂直 。 (3,

A.平行

B.重合

16.求与点 A(1, 2)的距离等于 4, 且到 x 轴的距离等于 2 的点的坐标: 2) 17.直线 L:y=kx-1 与曲线 A. 18.
1 2 y? 2 x?1 ? 1 2

不相交,则 k 的取值范围是( A D.[
1 2

)

或3

B.

1 2

C.3

,3]

2.如果 a·c<0,b·c<0,那么直线 ax+by+c=0 不通过( C ) B.第二象限
? ( y ? 1)

A.第一象限

C.第三象限
2

D.第四象限

19.直线 y=-x-1 被圆 ( x ? 3 ) 2 A.
98

? 25

,所截的弦长为( C )
98 ? 4
? 0

B.40

1 4

C.

82

D.

3

20.斜率为 1 的直线与两直线 2x+y-1=0, x ? 2 y ? 2 的 中点的轨迹方程为( A、 x ?
y ?1? 0 0

分别相交于 A,B 两点,线段 AB

B ) B、 x ?
y ?1 ? 0 0

C、 x ? 2 y ? 3 ?

D、 x ? 2 y ? 3 ?
( x ? 2) 49
2

21. 已知双曲线 C 1 和椭圆 C 2 : 和 e 2 ,且
1 e1 ? 1 e1 ? 2

?

( y ? 1) 24

2

? 1 有公共的焦点, 它们的离心率分别是 e 1

。 (1)求双曲线 C 1 的方程; (2)圆 D 经过双曲线 C 1 的两焦点,

且 与 x 轴有两个交点,这两个交点间的距离等于 8,求圆 D 的方程。 解: (1)椭圆 C 2 的两个焦点坐标是 F1 ( ? 7 ,1), F 2 ( 3 ,1) 离心率 e 2 由
1 e1 1 e2
? 5 7

?

? 2

可知双曲线 C 1 的离心率 e1 ?

5 3

∴c2

? 25 , a

2

? 9, b

2

? c

2

?a

2

? 16

故双曲线 C 1 的方程为

( x ? 2) 9

2

?

( y ? 1) 16

2

?1

(2)∵圆 D 经过双曲线的两个焦点,∴圆心 D 在直线 x= –2 上 设圆 D 的方程为 ( x ? 整理得: x 2
? y
2

2)

2

? ( y ? b)

2

? 5

2

? ( b ? 1)

2

? 4 x ? 2 by ? 2 b ? 22 ? 0

令 y=0,得 x 2

? 4 x ? 2 b ? 22 ? 0

设圆 D 与 x 轴的两个交点为( x1 , 0 )( x 2 , 0 ) , ,则
x 1 ? x 2 ? ? 4 , x 1 x 2 ? 2 b ? 22

依题意| x 1

? x 2 |=

( x1 ? x 2 )

2

? 4 x1 x 2 ? 8

即 16–4(2b–22)=64,解得 b=5 所以圆的方程为 ( x ?
2)
2

? ( y ? 5)

2

? 41

高三数学专题复习 圆 【例题】 【例1】 设正方形 ABCD 的外接圆方程为 x2+y2–6x+a=0(a<9), C、 D点所在直线 l 的斜率为
1 3

,求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率。

解:由(x–3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3,0) 依题意: ? ABM
? ? BAM ?

?
4

, k AB ?

1 3

.

MA,MB 的斜率 k 满足:
1 2

k ? 1?
1 3

1 3

?1

k

解得:kAC= ?

, k BD ? 2
2 2 2

【例2】 设 圆 C 1 的 方 程 为
y ? x?m ?2

( x ? 2)

? ( y ? 3m ? 2)

? 4m

,直线 l 的方程为



(1)求 C 1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程; (2)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆 的公切线方程.

解: (1)圆 C1 的圆心为 C1(-2,3m+2) ,设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b)
? b ? 3m ? 2 ? ? 1       ? 则? a ? 2 3m ? 2 ? b a?2 ? ? ?m ?2 2 2 ?
?a ? 2m ? 1 ? b ? m ?1

解得: ?

∴圆 C2 的方程为 ( x ? 2 m ? 1) 2 (2)由 ?
?a ? 2m ? 1 ? b ? m ?1

? ( y ? m ? 1)

2

? 4m

2

消去 m 得 a-2b+1=0

即圆 C2 的圆心在定直线 x-2y+1=0 上。 设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,则
k ( 2 m ? 1) ? ( m ? 1) ? b 1? k
2

? 2m

即 (?4k

? 3) m

2

? 2 ( 2 k ? 1)( k ? b ? 1) m ? ( k ? b ? 1)

2

? 0

∵直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的 m 值都成立,所以有:
? ? 4 k ? 3 ? 0       ? ? 2 ( 2 k ? 1)( k ? b ? 1) ? 0 ? ( k ? b ? 1) 2 ? 0      ?

3 ? ?k ? ? 4 解之得: ? 7 ? b ? 4 ?
? ? 3 4 x? 7 4

所以 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程为: y 【例3】 已知圆 C: x 2
? y
2

? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l

被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理 由。 解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2
? ( y ? 2)
2

?3

2

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥l,∴kCM?kl= -1 ∴kCM=
b? 2 a ?1 ? ?1 ,

y

O B

x

即 a+b+1=0,得 b= -a-1 直线 l 的方程为 y-b=x-a, 即 x-y+b-a=0


C M

A

CM=

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴
MB
2

MA ? MB ? OM
2

? CB

2

? CM
2

2

? 9?

(b ? a ? 3) 2

, OM

2

? a

2

?b

2

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2

? a
2

2

?b

2


3 2 或 a ? ?1

把①代入②得 当a
? 3 2 ,时 b ? ?

2a
5 2

? a ? 3 ? 0 ,∴ a ?

此时直线 l 的方程为 x-y-4=0;

当 a ? ? 1, 时 b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 【例4】 已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x2+y2 = m2,当圆 C 与线段 AB .. 没有公共 点时,求 m 的取值范围. 解:∵过点 A、B 的直线方程为在 l:x-y+1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P,连结 OB. 由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段 AB 与圆 x2+y2 = m2 无交点. (I)当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
| m |? |1 | 2 ? | m |? 2 2

,即 ?

2 2

? m ?

2 2

.

B

(II)当 m >OB 时,
| m |? 3 ? 2 ? | m |?
2 2

13

,

P A O



m ? ? 13 或 m ?
2 2 2 2

13

.

∴当 ?

? m ?

和 m ? ? 13 与 m ? 13 且 m ? 0 时,

圆 x2+y2 = m2 与线段 AB 无交点. 【例5】 已知⊙M:x 2 B 两点, (1)如果 |
AB | ? 4 2 3

? ( y ? 2)

2

? 1, Q 是 x

轴上的动点, QA, 分别切⊙M 于 A, QB

,求直线 MQ 的方程;

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解: (1)连接 MB,MQ,设 P ( x , y ), Q ( a , 0 ),

由|

AB | ?

4 3

2


2

可得 | MP

|?

| MA | ? (

| AB | 2

)

2

?

1 ?(
2

2 2 3

)

2

?

1 3

,

由射影定理,得 在 Rt△MOQ 中,
| OQ |?

| MB | ? | MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3 ,
2

| MQ | ? | MO |
2

2

?

3 ?2
2

2

?

5



故a

?

5或 a ? ? 5

,所以直线 AB 方程是
5 y ? 2 5 ? 0;

2x ?

5 y ? 2 5 ? 0或 2 x ?

(2)由点 M,P,Q 在一直线上, 得
2 ?a ? y?2 x , (*)

由射影定理得 | MB | 2 ? | MP | ? | MQ |, 即
x
2

? ( y ? 2)

2

?

a

2

? 4 ? 1, (**)

把(*)代入(**)消去 a, 并注意到 y
? 2

,可得 x 2

? (y ?

7 4

)

2

?

1 16

( y ? 2 ).

【例6】 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地 之一购得 商品后回运的运费是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A、 B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选 择购货地点. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(-5,0) ,B(5,0). 设某地 P 的坐标为(x,y) ,且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费 为 3a 元/km,则 B 地运费为 a 元/km. 由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A 地运费≤价格+B 地运费 , 即 3a
( x ? 5) ? y
2 2

? a ( x ? 5) ? y
2

2

,整理得 ( x ?

25 4

)

2

? y

2

? (

15 4

)

2

.

所以,以点 C ( ?

25 4

,0 )

为圆心, 15 为半径的圆就是两地居民购货的分界线.
4

圆内的居民从 A 地购货费用较低; 圆外的居民从 B 地购货费用较低; 圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从 A、B 两地之一购货. 【例7】 例 8、 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, Pn ( x n , y n ), ? 在 对每个自然数 n ,点 Pn 位于函数

y
y ? x ( x ? 0)
2

的图象上. 以点 Pn 为

圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切,且⊙
Pn

与⊙ Pn ? 1 又彼此外切. x 1 若
? xn

?1,

Pn
Pn+1

且 x n ?1

(n ? N ? ) .
1 xn }

o

(1)求证:数列 {

是等差数列;
? S1 ? S 2 ? ??? ?
2

x
3 ? 2

(2)设⊙ Pn 的面积为 S n , T n

Sn

,求证: T n

?

解: (1)依题意,⊙ Pn 的半径 rn ? y n ? x n ,? ⊙ Pn 与⊙ Pn ? 1 彼此外切,
? Pn Pn ?1 ? rn ? rn ?1 , ?
( x n ? x n ?1 ) ? ( y n ? y n ?1 )
2 2

? y n ? y n ?1 ,
2 2 2

两边平方,化简得 ( x n

? x n ?1 )

2

? 4 y n y n ?1 ,

即 ( x n ? x n ?1 ) ? 4 x n x n ?1 .
? 1 x n ?1 ? 1 xn ? 2(n ? N ? ) .

? x n ? x n ?1 ? 0 , ? x n ? x n ? 1 ? 2 x n x n ?1 ,

∴ 数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列. ? xn ?
1 xn
?

(2) 由题设, x 1 ? 1 ,∴

?

1 x1

? ( n ? 1) ? 2 ? x n ?

1 2n ? 1

,

S n ? ? rn

2

? ?y n

2

? ?xn

4

?
( 2 n ? 1)
4

,

Tn ?
? ?

S1 ?

S2 ? ??? ?

Sn
? ? ? ( 2 n ? 1) ? 1
2

?

? ?1 ?

1 3
2

?

1 5
2

?? ?

? ?1 ?
?

?

1 1?3

?

1 3?5

?? ?

? ? ( 2 n ? 3 ) ? ( 2 n ? 1) ? 1

= ? ?1 ?
?

?

1 ? 1 1 1 1 1 ?? ? (1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2 n ? 3 ? 2 n ? 1 ) ? ? 2 ? ??
3 ? 2

= ?

1 1 ? ? ?1 ? 2 (1 ? 2 n ? 1 ) ? ? ?

?

?

?
2 ( 2 n ? 1)
2

?

3 ? 2
2


2 2

【例8】 已知圆 C : x ? ( y ? 1) ? 1 和圆 C 1 : ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 ,现在构造 一系列的圆 C 1 , C 2 , C 3 , ? , C n , ? ,使圆 C n ? 1 同时与 C n 和圆 C 都相切,并都与 OX 轴相 切.回答: (1)求圆 C n 的半径 r n ; (2)证明:两个相邻圆 C n ? 1 和 C n 在切点间的公切线长为 (3)求和 lim
( 1 C
2 2

1 Cn
2

;

n? ?

?

1
2 C3

?? ?

1 Cn
2

)

.

解:(1)在直角梯形 O D C n ? 1C 中, AC=1- r n , C C n =1+ r n , C C n ?1 =1+ rn ?1 , C n C n ? 1 = r n + rn ?1 . C n ?1 B = rn ?1 - r n . ∴有 A C n ?
E C n ?1 ?

? 1 ? rn ?

2

? ? 1 ? rn ?
2

2

, BCn ?
2

? rn ?1 ? rn ?

2

? ? rn ? 1 ? rn ?

2

? 1 ? rn ?1 ?
?2
?

? ? 1 ? rn ? 1 ? , E C n ?1 ? A B = A C n ? B C n
? rn

∴ ?1 ? ∴

rn

?2

? ?1 ? rn

? r n ?1

?2

? ? rn ?1 ? rn

?2

?

?1 ? rn ?1 ? 2
.

? ?1 ? rn ?1 ?

2

4 rn ?

4 rn rn ?1 ?
1 rn ? 1 rn ?1

4 rn ?1
?1

.即

rn ?1 ?

rn ?

rn rn ?1

由此可得 ∴{ ∴
1 rn
1 rn

.

}成等差数列, r1 ? 1 .
? 1 r1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n

,∴ r n
2.4 2.2

?

1 n
2

.

2

1.8

1.6

1.4

1.2

C

1

C1

0.8

0.6

0.4

-1

-0.5

E A O
0.2 -0.2 -0.4

0.5

Cn-1 Cn B D
1

1.5

2

2.5

3

(2)公切线长为 l n ?

? rn

? rn ? 1 ? ? ? rn ? 1 ? rn ? ? 2 rn ? 1 rn ?
2 2

2 ( n ? 1) n

?

1 Cn
2

.

(3)

1 C2
2

?

1 C3
2

?? ?

1 Cn
2

? 2 (1 ?

1 2

) ? 2(

1 2

?

1 3

) ? ? ? 2(

1 n ?1

?

1 n

) = 2 (1 ?

1 n

).

∴ lim (
n? ?

1 C
2 2

?

1 C
2 3

?? ?

1 Cn
2

) =2.

【圆·练习】 一、选择题 1、直线 x 系是 (A)直线与圆相切 (C)直线与圆相离 2、点 M ? x 0 , y 0 ? 是圆 x 2 的位置关系是 A.相切 B.相交
2

?

3y ? 0

绕原点按顺时针方向旋转 30°所得直线与圆 ( x ( (B) 直线与圆相交但不过圆心 (D) 直线过圆心
? y
2

? 2)

2

? y

2

? 3 的位置关

).

? a

2

?a

? 0?

内不为圆心的一点,则直线 x 0 x ? ( C.相离
2

y0 y ? a

2

与该圆

) D.相切或相交

3、直线 ax ? by ? c ? 0 ? ab ? 0 ? 截圆 x ? y ? 5 所得弦长等于 4,则以|a|、|b|、|c|为边长 的确良三角形一定是 (A)直角三角形 ( )

(B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)不存在

4、已知两点 A(–2,0),B(0,2), 点 C 是圆 x2+y2–2x=0 上的任意一点,则△ABC 面积的最小值 是( )
2

(A) 3 ?

(B)

3?

2

(C)

6? 2

2

(D)

3? 2

2

5、已知集合 p

? ? 2 ? ? ( x , y ) y ? ? 25 ? x , x 、 y ? R ? 及 Q ? ?( x , y ) y ? x ? b , x 、 y ? R ?, 若 P ? Q ? ? ? ?



则实数 b 的取值范围是 ( (A)[–5,5]


2 ,5 )

(B) ( ? 5

(C) [ ? 5

2 ,5 ]

(D) [ ? 5

2 ,5 2 ]

6、 若曲线 x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身, 则实数 a= ( (A) ?
1 2

) .

(B) ?

2 2

(C)

1 2

或 ?

2 2

(D) ?

1 2



2 2

7、若圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1,则半径 R 的取值范围是 (A)R>1 (B)R<3 (C)1<R<3 (D)R≠2 ( ) .

二、填空题
( 8、已知圆 C 1: x ? 2 ) 2 ? ( y ? 1)
2

? 10 与圆 C 2 :x ? 6 ) (

2

? ( y ? 3)

2

? 50

交于 A、B 两点,则 AB 所

在的直线方程是_______________________。 9、直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2
? y
2

? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离是

。 。

10、已知圆的方程是 x2+y2=1,则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为

11、过 P(-2,4)及 Q(3,-1)两点,且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是

三、解答题 12、半径为 5 的圆过点 A(-2, 6),且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 13、已知圆 x 2
? y
2

5

,求此圆的方程。
? 90 ? 。

? 4x ? 2 y ? m ? 0

与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ? APB

求 m 的值。 14、已知定点 A ( 2 , 0 ) , P 点在圆 x 2
? y
2

? 1 上运动, ? AOP

的平分线交 PA 于 Q 点,其中

O 为坐标原点,求 Q 点的轨迹方程.

【圆参考答案】 一、选择题 1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 二、填空题 8、2x+y=0 9、 2
2 ?1

7、C

10、 y

? x?

2或 y ? ? x ?

2

11、(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25 三、解答题 12、解:设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=25, ∵ (-2, 6)在圆上,∴ (a+2)2+(b-6)2=25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 ∴ |PM|2=r2- 联立方程组 ?
5
2

5



, 即(a-5)2+(b-4)2=20, , 两式相减得 7a-2b=3, 将 b=
7a ? 3 2

2 2 ? ? ( a ? 2 ) ? ( b ? 6 ) ? 25

?(a ? 5) ?

2

? (b ? 4 )

2

? 20

代入

得 53a2-194a+141=0, 解得 a=1 或 a=

141 53

, 相应的求得 b1=2, b2= )2+(y-
414 53

414 53

,

∴ 圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=25 或(x-

141 53

)2=25

13、解:由题设△APB 是等腰直角三角形,∴圆心到 y 轴的距离是圆半径的 将圆方程 x 2
? y
2

2 2



? 4x ? 2 y ? m ? 0

配方得: ( x ? 2 ) 2

? ( y ? 1)

2

?5?m

圆心是 P(2,-1),半径 r= ∴
5?m ? 2 ?2

5?m

解得 m= -3
y

14、解:在△AOP 中,∵OQ 是?AOP 的平分线 ∴
AQ PQ ? OA OP ? 2 1 ? 2

P Q O A x

设 Q 点坐标为(x,y) 点坐标为(x0, ;P y0)
2 ? 2 x0 3x ? 2 ? ? ?x ? ? x0 ? 1 ? 2    即 2 ∴? ? 0 ? 2 y0 3 ?y ? ? y0 ? y    2 ? 1? 2 ?

∵ P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上运动,∴x02+y02=1 即?
? 3x ? 2 ? ? 2 ? ?
2

?3 ? ? ? y? ?2 ?

2

?1

∴? x ?
?

?

2? ? 3?

2

? y

2

?

4 9

此即 Q 点的轨迹方程。



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