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高中数学圆锥曲线性质及解题技巧



李老师作品


1. 2.



点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ

为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 6. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切 a b xx y y 点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a 2 b2 b2 kOM ? k AB ? ? 2 , a 2 b x 即 K AB ? ? 2 0 。 a y0

双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支)

李老师作品

5.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 是

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

6.

7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切 a 2 b2 xx y y 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b ? 2 一点 ?F . 1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB a 2 b2 b 2 x0 b 2 x0 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a y0

x2 y 2 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a b 2 xx y y x y2 程是 02 ? 02 ? 02 ? 02 . a b a b 2 x y2 ? ? 1(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 13. 若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x2 y 2 x x y y 是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . a b a b

椭圆与双曲线的对偶性质-椭
1. 椭圆



x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直 a 2 b2 x2 y 2 线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b

李老师作品

2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a 2 b2 b2 x 交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
过椭圆

3.

x2 y 2 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , a b

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a 2 b2

任意一点,在△ PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? ,则有

sin? c ? ? e. sin? ? sin ? a
5. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0 a 2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的 比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点, a 2 b2

则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF 1 |? 2a? | AF 1 | , 当且仅当 A, F 2 , P 三点共线时,等号成 立. 7. 椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By? C ?0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 . A2a 2 ? B 2b 2? ( Ax0 ? By0 ? C) 2

8.

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) , O 为坐标原点, P 、Q 为椭圆上两动点,且 a 2 b2 4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 OP ? OQ .(1) ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 2 ; a ?b | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a 2b 2 . a 2 ? b2

(3) S?OPQ 的最小值是 9.

x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a b | PF | e ? . MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2

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10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a 2 b2

11. 设 P 点是椭圆

? 2b2 2 记 ?F .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 1 || PF2 |? 1 PF2 ? ? ,则(1) | PF 2 1 ? cos ?
x2 y 2 12. 设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有
(1) | PA |?

2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 S ? cot ? . .(2) .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 a 2 ? c 2co s2 ?

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a 2 b2

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--

李老师作品

双曲线
1.

2.

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴 a b x2 y 2 平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补 a b b2 x 的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
若 P 为双曲线

3.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, a 2 b2
c?a ? ? ? t a n co t ( 或 c?a 2 2

F

2

是 焦 点 , ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则

c?a ? ? ? t a n co t ). c?a 2 2
4. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) a 2 b2

为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

x2 y 2 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, a b
则当 1<e≤ 2 ? 1 时, 可在双曲线上求一点 P, 使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内 a 2 b2

P和 一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF 1 | , 当且仅当 A, F 2 , P 三点共线且

A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条 a 2 b2 2 2 2 2 2 件是 A a ? B b ? C . x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动 a b
双曲线

李老师作品 点,且 OP ? OQ .

4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 (1) ;(3)S?OPQ ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 a 2b 2 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 a b | PF | e M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 x ? ? 垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 0 . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 a b ? 2b2 2 | PF || PF | ? 为其焦点记 ?F , 则 (1) .(2) S ?PF1F2 ? b cot . PF ? ? 1 2 1 2 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的 a b 一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离
10. 已知双曲线

2ab2 | cos ? | 心率,则有(1) | PA |? 2 . | a ? c 2co s2 ? | 2a 2 b 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2
13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲 a 2 b2

线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 B 两点,点 C 在右准线 l 上, 且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率).

李老师作品

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

李老师作品

圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问 题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题 灵活运用定义,方法往往直接又明了。

y2 ? 1 ,P 为双曲线上一点。 例 1. 已知点 A(3,2) ,F(2,0) ,双曲线 x ? 3 1 求 | PA|? | PF | 的最小值。 2
2

解析:如图所示,

1 ?双曲线离心率为 2,F 为右焦点,由第二定律知 | PF | 即点 P 到准线距离。 2 1 5 ?| PA|? | PF | ?| PA|?| PE | ? AM ? 2 2
二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点 F 到准线 l 的距离为 p(定值) ,椭圆中心坐标为 M(t,0) (t 为 参数)

?p?

b2 ,而 c ? t c ? b 2 ? pc ? pt
再设椭圆短轴端点坐标为 P(x,y) ,则

?x ? c ? t ? ? ? y ? b ? pt ?
消去 t,得轨迹方程 y
2

? px

三. 数形结合,直观显示 将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数, 结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦 的问题。 例 3. 已知 x , y

? R ,且满足方程 x 2 ? y 2 ? 3( y ? 0) ,又 m ?

y?3 ,求 m 范围。 x?3

李老师作品
解析:? m 斜率,如图所示

?

y?3 2 2 的几何意义为,曲线 x ? y ? 3( y ? 0) 上的点与点(-3,-3)连线的 x?3

k PA ? m ? k PB

?

3? 3 3? 5 ?m? 2 2

四. 应用平几,一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知 识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 ( x ? 3)

? OQ| 的值为________。 ? y 2 ? 4 和直线 y ? mx 的交点为 P、Q,则 | OP|| 解:? ?OMP ~ ?OQN | OP|| ? OQ| ?| OM || ? ON | ? 5
2

五. 应用平面向量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ? 1 ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R, 12 8 24 16 2 点 Q 在 OP 上且满足 | OQ|| ? OP| ?| OR| ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程。
例 5. 已知椭圆:

分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的 条件便可简便地解出。

? ? OR ? ( ?x,?y ) , OP ? ( ?x,?y )

解:如图, OQ , OR , OP 共线,设 OR

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? OQ , OP ? ? OQ , OQ ? ( x,y ) ,则

? ? ?2 ?| OQ|| ? OP| ?| OR| ?2 ? ? ?| OQ| ? ?2 | OQ|2

? ? ? ?2

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?点 R 在椭圆上,P 点在直线 l 上 ?x ?y ? 2 x 2 ?2 y 2 ? ?1 ? ? ? 1, 12 8 24 16 x2 y2 x y ? ? ? 即 24 16 12 8
化简整理得点 Q 的轨迹方程为:

2 ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 (直线 y ? ? x 上方部分) 5 5 3 2 3
六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方 法和技巧之一。 例 6. 求 经 过 两 圆

x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的 交 点 , 且 圆 心 在 直 线

x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 (1 ? ? ) x 2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6x ? 6?y ? (28? ? 4) ? 0 ?3 ?3? , ) ,在直线 x ? y ? 4 ? 0 上 则圆心为 ( 1? ? 1? ? ?解得 ? ? ?7 2 2 故所求的方程为 x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0
七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。

y2 ? 1 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程。 例 7. 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x ? 2 解:设 P 1 ( x1 ,y1 ) , P 2 ( x2 ,y2 ) ,则
2

? 2 y12 x ? ?1 ? ? 1 2 ? 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? 2 ?
<2>-<1>得

?1? ?2?

( y 2 ? y1 )( y1 ? y 2 ) 2 y2 ? y1 2( x1 ? x 2 ) 即 ? x2 ? x1 y1 ? y 2 设 P1P2 的中点为 M ( x0 ,y0 ) ,则 y ? y1 2 x0 k P1 P2 ? 2 ? x2 ? x1 y0 y0 ? 1 又 k AM ? ,而 P1、A、M、P2 共线 x0 ? 2 y ? 1 2 x0 ? ? k P1 P2 ? k AM ,即 0 x0 ? 2 y0 ( x 2 ? x1 )( x1 ? x 2 ) ?

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? P1 P2 中点 M 的轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0
解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识 点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识 . 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点 , 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生 在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作直角梯形

AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点,建立如图
所示的直角坐标系. (1)写出直线

A?B? 的方程;
'

(2)计算出点 P、Q 的坐标;

(3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图,
'

看出 A , B 点的坐标.
‘ ?? 1, B 1 ? t ?,于是

'

(1 ) 显然 A

?1,1 ? t ? ,

直线

A?B?

的方程为 y ? ?tx ? 1 ; (2)由方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, 2t 1? t 2 , ); 解出 P ( 0,1) 、 Q ( 1? t 2 1? t 2 ? y ? ?tx ? 1,
1? 0 1 ?? , 0?t t
1? t2 ?0 2 1? t2 1 1 ? t ? ? ? . 2 2t t t (1 ? t ) ?t 1? t2

(3) k PT ?

k QT

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2

已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q, 且与 x 轴、 y 轴分别交于 R、 S, a2 b2

求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 讲解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2, 得 化简后,得关于 x 的一元二次方程

b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 .

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a k ? b ? m .
2 2 2 2



在直线方程

y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

李老师作品
m y ? ? x?? , k?? , ? ? k x ? ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) , 由已知,得 解得? ? ? y ? m. ?m ? y. ? ? ? ?
代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 2 2
2 2

即为所求顶点 P 的轨迹方程.

x

y

方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 2 2

2

2

x

y

例 3 已知双曲线

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 2 3 a b

3 . 2
(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 值. 讲 解 : ∵ ( 1 )

y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的

c 2 3 ? , 原 点 到 直 线 a 3
3 . 2 .

AB :

x y ? ?1 的 距 离 a b

d ?

ab a ?b
2 2

? 3.

ab ? c

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1. 3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 .

x0 ?

y ?1 x1 ? x2 15k 5 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , k BE ? 0 ?? . 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k x0 k


? x0 ? ky0 ? k ? 0,

15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=±

7.

为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2 的最大 值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程.

讲解: (1)设 | PF 1 |? r 1 ,| PF 2

|? r2 ,| F1F2 |? 2c ,

对 ?PF 1 F2 , 由余弦定理, 得

李老师作品
2 r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e ? 0 , r ? r 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( 1 2 ) 2 2

cos ?F1 PF2 ?

解出

e?

2 . 2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 椭圆方程为

y ? k ( x ? c) ??????①


x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由 e ? 2 . a2 b2 2

a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .

于是椭圆方程可转化为 将①代入②,消去

x2 ? 2 y2 ? 2 c2 ? 0??????②
x 2 ? 2k 2 ( x ? c) 2 ? 2c 2 ? 0 , (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 .

y得

整理为 x 的一元二次方程,得

2 2c 1 ? k 2 , 2 2c(1 ? k 2 ) , | AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 也可这样求解: AB 边上的高 h ?| F F | sin ?BF F ? 2c ? | k | , 1 2 1 2 1 1? k 2 S ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 | 2 1 1? k 2 |k| S ? 2 2c( ) 2c 2 1 ? 2k 2 1 ? k 2 ? c? | k | ? | x1 ? x2 |
则 x1、x2 是上述方程的两根.且 | x2 ? x1 |?

? 2 2c 2

1? k 2 | k | k 2? k 4 2 ? 2 2 c ? 2 2c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4

2

1 1 4? 4 k ? k2

? 2c .2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得

y??

2 1 c,| AB |? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 2
a 2 ? 12 2

由①②知 S 的最大值为

2c 2

由题意得 2c 2 =12
x2 12 2 ?

所以 c 2 ? 6 2 ? b 2
y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为: x

? my ? c ????①

(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 2 2

a

b

由e ?

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ??② . 2

把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy ? c 2 ? 0 于是 y1 , y 2 是上述方程的两根.

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y 1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m2 | y2 ? y1 |
? 2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

? 1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m2 ? 2

李老师作品
AB 边上的高 h ?

2c 1 ? m2

,

2 1 ? m2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2c ? 2 2c 2 2 2 2 2 2 m ?2 (m ? 2) 2 ? 2 2c 1? m

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

? 2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例5

已知直线

y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中 a2 b2

点在直线 l : x ? 2 y

? 0 上.(1)求此椭圆的离心率;
2

(2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x

? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

? y ? ? x ? 1, ? 讲解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 y2 ? ?1 ? 2 b2 ?a
(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ,
根据韦达定理,得



x1 ? x2 ?

2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , 1 2 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2
).

a2 b2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 , a ? b2 a2 ? b2
由已知得

a2 2b 2 ? ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 ,故椭圆的离心率为 2 2 2 2 a ?b a ?b
.

e?

2 2

(2)由(1)知 b

? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0),

设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y

? 0 的对称

点为 ( x0 , y 0 ),则

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, 解得 x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5

由已知得

3 4 x2 y2 2 2 x0 ? y0 ? 4,? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 4,? b 2 ? 4 ,故所求的椭圆方程为 ? ?1 5 5 8 4

.

李老师作品
2

例6

已知⊙M: x

? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
,求直线 MQ 的方程; (2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方

(1)如果 | 程.

AB |?

4 2 3

讲解:(1)由 |

AB |?

4 2 3

,可得

| MP |? | MA | 2 ?(

| AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? , 2 3 3

由 射 影 定 理 , 得

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3,

在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,故 a ? 5或a ? ? 5 ,
所以直线 AB 方程是 2x ?

5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
2 y?2 ? , (*) ?a x

(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y ), Q(a,0), 由点 M,P,Q 在一直线上,得 由射影定理得 | MB |
2

?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**)
7 1 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( y ? 2). 4 16

把(*)及(**)消去 a,并注意到

适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

例7

如图,在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 2

。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2,

曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间,设

? 的取值范围.
2 2 ? 2 2 ? ( ) 2 ? 2 2 ∴动点 2 2
x2 ? y2 ? 1 2
.

DM ? ? ,试确定实数 DN
C

讲 解 : ( 1 ) 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 ∵ | PA |+| PB |=| CA |+| CB | P 的轨迹是椭圆∵ a ?

y=

2, b ? 1, c ? 1 ∴曲
A O B

线 E 的方程是

( 2 )设直线 L 的方程为

y ? kx ? 2 ,

代入曲线 E 的方程

x 2 ? 2 y 2 ? 2 ,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 设 M1( x1, y1 ),

N ( x2 , y2 ) ,



李老师作品

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 2k ? 1 ? 6 ? x1 x 2 ? 2 . ? 2k ? 1 ?
i) L 与 y 轴重合时, ?

① ② ③

?

| DM | 1 ? | DN | 3
由①得

ii) L 与 y 轴不重合时,

3 k2 ? . 2

又∵ ?

?

x DM x D ? x M ? ? 1 DN x D ? x N x2

,

∵ x2

? x1 ? 0,



x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 ,

( x ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 64k 2 32 1 ? ? ∴ ? ? ? 2 ? ? ? ? 2∵ 2 1 x1 ? x 2 6(2k ? 1) x1 ? x2 x2 x1 ? 3(2 ? 2 ) k
而k
2

?

3 , 2

∴6

? 3( 2 ?

1 ) ? 8. ∴ 4 ? k2

32 3(2 ? 1 ) k2

?

16 , 3



4???

1

?

?2?

16 , 3

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 10 ? 1 2??? ? , ?? ? ? 2, ? 3 ? ? 1 10 ? ?? ? , ? ? 3 ?

?

1 ?1 ? ? ? ? 1. ∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 3 ?3 ?

.

值得读者注意的是,直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线 l 过抛物线 且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点. y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,

(1)求证: 4 x1 x2 分线.

? p 2 ;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x x ? P .若 l 不垂直于 1 2 2 4

讲解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2

2 2 x 轴 , 可 设 y ? k ( x ? P ) , 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得 x 2 ? P(1 ? 2 P ) x ? P ? 0, 则x x ? P . 综 上 可 知 1 2 2

2

k

4

4

4x1 x2 ? p 2 .
2 2 2 2 (2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为 y ? c ? d ? ? c ? d ( x ? c ? d )

2p

2p

2

2p

4p

李老师作品
假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得
2 2

2

2p

2

4p

(c ? d )(2 p 2 ? c 2 ? d 2 ) ? 0 ? p ? 0

2 ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 . 这时 l ? 的方程为 y=0,从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点.

而 l 与抛物线有两个不同的交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考 试题的生长点,复课切忌忘掉课本!



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