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2017届高三数学一轮复习 专题突破训练 导数及其应用 理



2017 届高三数学一轮复习 专题突破训练 导数及其应用
一、选择、填空题 1、(2015 年全国 I 卷)设函数 f ( x ) = e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得

f ( x0 ) 0,则 a 的取值范围是( )

2、(2014 年全国 I 卷)已知函数 f (

x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则
3 2

a 的取值范围为
A .(2,+∞) B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

3、(2013年全国I卷)若函数 f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x ) 的 最大值是______. 4、(佛山市 2015 届高三二模)不可能把直线 y ? A. y ? ?

3 x ? b 作为切线的曲线是( 2
D. y ? e
x



1 x

B. y ? sin x

C. y ? ln x

5、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义: 设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ' '( x) 是 f '( x) 的导数,若方程 f ' '( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称 点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的 “拐点” . 某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有 “拐点” , 任何一个三次函数都有对称中心, 且 “拐点” 就是对称中心。 设函数 g ( x ) ? 则g? A.1

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 3 2 12

? 1 ? ? 2 ? ? 2014 ? ?? g? ? ? ?? ? g ? ?? ( ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
B. 2016 C. 2015

) D. 2014
3

6、(茂名市 2015 届高三二模)已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点(1,3), 则 b 的值为 .
3 2

7、(潮州市 2015 届高三上期末)曲线 y ? ? x ? 3x 在点 x ? 1 处的切线方程为 8、(深圳市 2015 届高三上期末)设 P 是函数 y ? ln x 图象上的动点,则点 P 到直线 y ? x 的距离的 最小值为

9、 (河北保定 2015 届高三 11 月模拟)设点 P 是函数 y=﹣ (x+1)图象上异于原点的动点,且该 图象在点 P 处的切线的倾斜角为 θ ,则 θ 的取值范围是( ) A.θ ∈( ,π ] B. θ ∈( , ] C. θ ∈( , ] D. θ ∈(
'



]

10、(冀州中学 2015 届高三上学期第一次月考)设函数 f ? x ? 的导函数为 f 有 f ? x? ? f
'

? x ? ,对任意 x? R 都

? x ? 成立,则



) B. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3?

A. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3? C. 3 f ? ln2? ? 2 f ? ln3?

D. 3 f ? ln2 ? 与 2 f ? ln3? 的大小不确定
3 2

11、(开封市 2015 届高三上学期定位考试模拟)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3 x 在 x ? ?1 处取得 极值,若过点 A ? 0,16 ? 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,则切线方程是 A. 9 x ? y ? 16 ? 0 B. 9 x ? y ? 16 ? 0 C. x ? 9 y ? 16 ? 0 D. x ? 9 y ? 16 ? 0

12、 (洛阳市 2015 届高三上学期期中考试)设 f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f′(x) , x x 若 f(x)+f′(x)>1,f(0)=2015,则不等式 e f(x)>e +2014(其中 e 为自然对数的底数) 的解集为( ) A. (2014,+∞) B. (﹣∞,0)∪(2014,+∞) C. (﹣∞,0)∪(0,+∞) D. (0,+∞)

二、解答题
3 1、(2015 年全国 I 卷)已知函数 f(x)= x ? ax ?

1 , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? (x ? 0)

,讨论 h

(x)零点的个数

2、(2014 年全国 I 卷)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

x 3、(2013 年全国 I 卷)已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b , g ( x) = e (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲
2

线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2

(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。

4、(佛山市 2015 届高三二模)设常数 a>0, ? ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) ? ? ( x ? a)3 . (1) 若函数 f ( x ) 恰有两个零点,求 ? 的值; (2) 若 g (? ) 是函数 f ( x ) 的极大值,求 g (? ) 的取值范围.

5、(广州市 2015 届高三二模)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? 底数).

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的 x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;
?b b (2)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图象 C

?

?

?

?

的切线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .

6、(华南师大附中 2015 届高三三模)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)m=1 时,求方程 f (x) = g(x)的实根;

x ln x 和 g ( x) ? m( x ? 1) (m ? R) . x ?1

(Ⅱ)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围;
1007

(Ⅲ)求证:

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 . ?1

7、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) =

x?a . x ? 2a

4? 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式; (1)记 f ( x) 在区间 ?0,
(2)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂 直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 8、(茂名市 2015 届高三二模)设函数 f ? x ? ? ln x, (1)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间;

g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? .

(2) 设 Ax 线段 AB 的中点为 C ? x0 , y0 ? , , ?y ? y? ? 是函数 y ? f ? x? 图象上任意不同的两点, 1 , 1 Bx 2, 2 直线 AB 的斜率为 k . 证明: k ? f ? ? x0 ? ;

(3)设 F ? x ? ? f ? x ? ?

b ?b ? 0 ? ,对任意 x1, x2 ?? 0,2?, x1 ? x2 ,都有 x ?1

F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? ?1 ,求实数 b 的取值范围. x1 ? x2
9、(梅州市 2015 届高三一模)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 2

(1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1 , x2 。 ①求 b 的取值范围;②求证: x1 x2 ? e2

x 10、(汕头市 2015 届高三二模)已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? log a 1 ? a 。

?

?

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的单调性, (2)当 a ? e ( e 是自然对数的底数)时,设 h ? x ? ? 1 ? e 极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h(x)的极值。 11 、(深圳市 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

?

f ? x?

?? x

2

? m ? 1? ,若函数 h(x)的

b ,对任意的 x ? (0 , ? ?) ,满足 x

f ( x) ? f (

1 ) ? 0, x

其中 a , b 为常数. (1)若 f ( x) 的图像在 x ? 1 处切线过点 (0 , ? 5) ,求 a 的值;

a2 ) ? 0; 2 (3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.
(2)已知 0 ? a ? 1 ,求证: f ( 12、(珠海市2015届高三二模)已知函数 (1)求函数 f (x)的极值; (2)若函数存在两个不同的零点 .

13、(江门市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 1 ( a ? R 是常数).

⑴ 设 a ? ?3 , x ? x1 、 x ? x2 是 函 数 y ? f ( x) 的 极 值 点 , 试 证 明 曲 线 y ? f ( x) 关 于 点

M(

x1 ? x2 x ? x2 , f( 1 ) ) 对称; 2 2 ⑵是否存在常数 a ,使得 ?x ? [ ? 1 , 5 ] , | f ( x) |? 33 恒成立?若存在,求常数 a 的值或取值范
(注:曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称是指,对于曲线 y ? f ( x) 上任意一点 P ,若点 P 关于 M 的对

围;若不存在,请说明理由. 称点为 Q ,则 Q 在曲线 y ? f ( x) 上.)

14、 (揭阳市 2015 届高三上期末)若实数 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m . (1)若 x ? 3 比 1 更接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个正数 a 、 b ,试判断 ( (3)当 a ? 2 且 x ? 1 时,证明:

a ? b 2 a 2 ? b2 ) 与 哪一个更接近 ab ?并说明理由; 2 2

e 比 x ? a 更接近 ln x . x
x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

15、(清远市 2015 届高三上期末)设函数 f ( x) ?

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①若 b 是正实数,求使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立的 b 取值范围; ②证明:不等式.

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)

n

k

1

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】D 【解析】
x 试题分析:设 g ( x) = e (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在直线

y ? ax ? a 的下方.
因为 g ?( x) ? e (2 x ? 1) ,所以当 x ? ?
x

1 1 1 时, g ?( x ) <0,当 x ? ? 时, g ?( x ) >0,所以当 x ? ? 2 2 2

时, [ g ( x)]max = -2e

?

1 2



当 x ? 0 时, g (0) =-1, g (1) ? 3e ? 0 ,直线 y ? ax ? a 恒过(1,0)斜率且 a ,故 ?a ? g (0) ? ?1 ,

且 g (?1) ? ?3e?1 ? ?a ? a ,解得

3 ≤ a <1,故选 D. 2e

考点:导数的综合应用 2、【答案】:B
2 【解析 1】:由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 B
3 2 【解析 2】:由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3? ?

1 x

1 x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 y ? ?t ? 3t x

3 2 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t ) ? ?t ? 3t , f ?(t ) ? ?3t ? 3 ,由 f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 ,

t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; , t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 B
3、【解析】由 f ( x ) 图像关于直线 x =-2 对称,则
2 2 0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3) ][(?3) ? 3a ? b] , 2 2 0= f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5) ][(?5) ? 5a ? b] ,解得 a =8, b =15,

∴ f ( x ) = (1 ? x )( x ? 8x ? 15) ,
2 2

∴ f ?( x ) = ?2x( x2 ? 8x ? 15) ? (1 ? x2 )(2x ? 8) = ?4( x3 ? 6 x2 ? 7 x ? 2) = ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0, ∴ f ( x ) 在(-∞, ?2 ? 5 )单调递增,在( ?2 ? 5 ,-2)单调递减,在(-2, ?2 ? 5 )单 调 递 增 , 在 ( ?2 ? 5 , + ∞ ) 单 调 递 减 , 故 当

x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时 取 极 大 值 ,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
4、对于 B 选项: f ' ( x) ? cos x 的最大值为 1,所以 y ? sin x 不存在斜率为

3 的切线。 2 1 , 2

? x) ? 0,即2 x ?1 ? 0 , 5、 【解析】 依题意得:g 由 g( 可得 x ? ( ? x) ? x2 ? x ? 3, ? g( ? x) ? 2x ?1,
而 g ? ? ? 1 ,即函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ,即 g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 ,

?1? ?2?

?1 ? ?2 ?

所以 g ?

? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? ? 2, ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
2014 ? 2 ? 2014 ,故选 D. 2

所以所求为 6、3

7、 3 x ? y ? 1 ? 0

8、

2 2
(x+1)的导数 y′=﹣( =﹣ , (当且仅当 ,又 0≤θ <π , (x+1) )=﹣ 取等号) ,

解答: 解:∵函数 y=﹣ =﹣( + )≤﹣2

∴y′∈(﹣ ∴ <θ

],∴tanθ .故选 C.

10、【答案解析】A 解析:设 h( x ) ? 在 x ? R 上恒成立,所以 h( x ) ?

e x f ?( x) ? e x f ( x) f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? h ( x ) ? ? ?0 ,则 ex e2 x ex

f ( x) 是 R 上 的减函数,所以 h(ln 2) ? h(ln 3) ,即 ex

f (ln 2) f (ln 3) ? ln 3 ? 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) ,故选 A. eln 2 e 2 11、【答案解析】C 解析:解:(I) f ? ? x ? =3ax +2ax-3,
∵函数 f(x)在 x=±1 处取得极值,

?3a ? 2b ? 3 ? 0 3 f ? ?1? ? f ? ? ?1? ? 0 ,即 ? ,解得 a=1,b=0.曲线 f(x)=x -3x,点(0,-16)不在 ?3a ? 2b ? 3 ? 0
曲线上.设切点为 P(s,t),则 t=s -3s.f′(s)=3(s -1),因此切线方程为:y-t=3(s -1) (x-s).∵点(0,-16)在切线上,∴-16-(s -3s)=3(s -1)(0-s), 化为 s =8,解得 s=2,∴切点为 P(2,2),故曲线方程为:9x-y-16=0. 12、解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣1], ∵f(x)+f′(x)>1,∴f(x)+f′(x)﹣1>0,∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上单调递增, x x ∵e f(x)>e +2014,∴g(x)>2014, 0 0 又∵g(0)=e f(0)﹣e =2015﹣1=2014, ∴g(x)>g(0) ,∴x>0 故选:D. 点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调 性是解题的关键,属于中档题. 二、解答题
x x 3 3 2 3 2 2

3 3 5 3 5 ; (Ⅱ)当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 4 4 4 4 4 5 3 时, h( x) 有两个零点;当 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4
1、 【答案】 (Ⅰ) a ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组, 解出切点坐标与对应的 a 值; (Ⅱ) 根据对数函数的图像与性质将 x 分为 x ? 1, x ? 1,0 ? x ? 1 研究 h( x) 的零点个数,若零点不容易求 解,则对 a 再分类讨论. 试题解析:(Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ( x0 ,0) ,则 f ( x0 ) ? 0 , f ?( x0 ) ? 0 ,即

1 ? 3 1 3 ? x0 ? ax0 ? ? 0 ,解得 x0 ? , a ? . 4 ? 2 4 ?3x 2 ? a ? 0 ? 0
因此,当 a ?

3 时, x 轴是曲线 y ? f ( x) 的切线. 4

??5 分

(Ⅱ)当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,从而 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ? g ( x) ? 0 , ∴ h( x) 在(1,+∞)无零点.

5 5 , 则 f (1) ? a ? ? 0 ,h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? g (1) ? 0 ,故 x =1 是 h( x) 4 4 5 5 的零点;若 a ? ? ,则 f (1) ? a ? ? 0 , h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? f (1) ? 0 ,故 x =1 不是 h( x) 的 4 4
当 x =1 时, 若a ? ? 零点. 当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x ) 在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若 a ? ?3 或 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 3x2 ? a 在(0,1)无零点,故 f ( x ) 在(0,1)单调,而 f (0) ?

1 , 4

5 f (1) ? a ? ,所以当 a ? ?3 时, f ( x) 在(0,1)有一个零点;当 a ? 0 时, f ( x) 在(0,1)无 4
零点. (ⅱ)若 ?3 ? a ? 0 ,则 f ( x ) 在(0, ?

a a a )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故当 x = ? 3 3 3

时, f ( x ) 取的最小值,最小值为 f ( ?

a 1 a 2a ? ? . )= 3 3 4 3



若 f( ?

3 a ) >0,即 ? < a <0, f ( x) 在(0,1)无零点. 4 3 3 a ) =0,即 a ? ? ,则 f ( x) 在(0,1)有唯一零点; 4 3



若 f( ?



若 f( ?

a ?? 即 ?3? a ) <0, 3

3 1 5 5 3 , 由于 f (0) ? , f (1) ? a ? , 所以当 ? ? a ? ? 时, 4 4 4 4 4

5 f ( x) 在(0,1)有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1)有一个零点.?10 分 4 3 5 3 5 综上,当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有两个零点;当 4 4 4 4 5 3 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. ??12 分 4 4
考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 2、【解析】:(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? , f ?( x) ? ae ln x ?
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ??,故 a ? 1, b ? 2

?????6 分

2 2e x ?1 ?x (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x) ? e ln x ? ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? e x
x

设函数?? g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? 0, ? ??时, g ?( x) ? 0 ??,当

? ?

1? e?

?1 ? ? 1? ?1 ? x ? ? , ?? ? ??时, g ?( x) ? 0 ??,故 g ( x) ??在?? ? 0, ? 单调递减,在?? ? , ?? ? 单调 ?e ? ? e? ?e ?
递增,从而?? g ( x) 在 ? 0, ??? ???的最小值为 ? g( ) ? ? . 设函数?? h( x) ? xe
?x

1 e

1 e

?????8 分

?

2 ,则 h?( x) ? e? x ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? ??时, h?( x) ? 0 ??,当 e

x ? ?1, ?? ? ??时, h?( x) ? 0 ??,故 h( x) ??在?? ? 0,1? 单调递增,在?? ?1, ?? ? 单调递减,
从而?? h( x) g ( x) 在 ? 0, ??? ???的最小值为? h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ?????12 分

1 e

3、【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函 数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】(Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = e x (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;??4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x x 2 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1, ??) 时, F ( x) >
2

0 ,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) ,而

F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,
∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立,
2 x 2 (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. 4、
2

5、(1)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .??????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即a ?

2x

? x ? 1?

2

??????????????????????????2 分

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x 1 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立,所以 a ? . 1 2 x? ?2 2 x ?
故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????????4 分 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

?1 ?2

? ?

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .???????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即 ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,??????????????????2 分
2

设 g ? x ? ? ax ? 2 ? a ?1? x ? a ,
2

当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意. 当 a ? 0 时,需满足 ?

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 2 a ? 1 ? 4 a ? 0 ? 当 a ? 0 时,需满足 ? 或 或 g 1 ? 0, ? ? ? ? ? ? g ?1? ? 0, ? ? ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
1 或 a ? 1, 2 1 所以 a ? . 2
解得 a ?

综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .????????????4 分 (2)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g ? ? x ? ? e .
x x
?b b 过点 P b, e , Q ?b, e 作曲线 C 的切线方程为:

?1 ?2

? ?

?

?

?

?

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb , l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ????????????????????6 分 ?b ?b ? ? y ? e ? x ? b? ? e ,

消去 y ,解得 x0 ?

b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①??????????7 分

下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 e ? t ,??????????????????????8 分
b

因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t . 所以 x0 ?

?t
?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

.???????????????????9 分

2 2 设 h ? t ? ? t +1 ln t ? t ? 1

?

?

? ?t ? 1? ,

1 ?t ? 1? .??????????????????10 分 t 1 令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? ? t ? 1? , t 1 则 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 . t 1 1 当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ? 2 ? 0 ,所以 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,???????11 分 t t
则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ? 所以函数 u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,?????????????????12 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .????????????????????13 分

2 因为当 t ? 1 时, t ? 1 ? 0 ,

所以 x0

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0 .????????????????14 分

方法二:由①得 x0 ? 设e
?2 b

b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

?1.

? t ,???????????????????????????8 分
2b ,???????????????????????????????9 分 ln t

因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b . 于是 ?1 ? 所以 x0 ?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .?????????????????10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

1 1 x ?1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,??????11 分 2 2 x ?1 ln t t ? 1 ? ? f ?1? ? 0 , 所以 f ? t ? ? 2 t ?1 ln t t ? 1 ? 即 . ????????????????????????????12 分 2 t ?1 2 1? t ? ? 0 ,?????????????????????????????13 分 即 ln t 1 ? t 已知 b ? 0 ,
由(1)知当 a ? 所以 x0 ? b ?

? 2 1? t ? ? ? ? 0 .????????????????????????14 分 ? ln t 1 ? t ?
x ln x ? x ?1 x ?1

6、解:(Ⅰ)m=1 时, f ( x) ? g ( x)即

而 x > 0,所以方程即为 ln x ? x ?

1 ?0 x

??????1 分

1 3 ?[( x ? )2 ? ] 1 1 1 ? x2 ? x ?1 2 4 ?0, 令 h( x) ? ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2 x2
而 h(1)=0,故方程 f(x)=g(x)有惟一的实根 x=1. ??????4 分

1 (Ⅱ) ?x ?[1, ??), f ( x) ? g ( x),即ln x ? m( x ? ) , x 1 设 F ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), F ( x) ? 0 x

F '( x) ?

1 1 ?mx2 ? x ? m ????????????????6 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0 ,则 F '( x) ? 0 , F ( x) ? F (1) ? 0 ,这与题设 F ( x) ? 0 矛盾?7 分

②若 m ? 0 ,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ?
1 时, F '( x) ? 0 , 2

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,即不等式成立???????????????????8 分 当0? m?
1 时,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 有两正实根,设两根为 x1 , x2 , 2
1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), 2m x2 ? 1 ? 1 ? 4m2 ? (1, ??) 2m

( x1 ? x2 ) x1 ?

当 x ? (1, x2 ), F '( x) ? 0, F ( x) 单调递增, F ( x) ? F (1) ? 0 与题设矛盾, 综上所述, m ?
1 。 2

所以,实数 m 的取值范围是 ? , ?? ? -------------10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 不妨令 x ? 所以 ln
1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立. 2 x 2

?1 ?2

? ?

2k ? 1 ? 1,(k ? N? ) , 2k ? 1

2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 4k , ? ( ? )? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1 4k ,(k ? N? ) ??????????????11 分 4k 2 ? 1

ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?

4 ? ?ln 3 ? ln1 ? 4 ? 12 ? 1 ? 4? 2 ? ????????????????12 分 ?ln 5 ? ln 3 ? 4 ? 22 ? 1 ? 4? n ? ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得
ln(2n ? 1) ? ?
i ?1 n

4i (n ? N? ) . 4i ? 1
2

1007

取 n=1007,即得

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 ??????????????14 分 ?1

7、解:(1)当 0 ? x ? a 时, f ( x ) = 当 x ? a 时, f ( x ) =

x?a . x ? 2a

a?x ; x ? 2a
???????2 分

因此,当 x ? (0, a) 时, f '( x) =

?3a <0, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减; ??3 分 ? x ? 2a ? 2

当 x ? (a, ??) 时, f '( x) =

3a >0, f ( x ) 在 (a, ??) 上单调递增.???4 分 ? x ? 2a ? 2
1 . ???????5 分 2

①若 a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减, g (a ) = f (0) =

②若 0 ? a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 所以 g (a ) = max{ f (0) , f (4) } .

1 4?a a ?1 ? ? , 2 4 ? 2a 2 ? a 4?a 故当 0 ? a ? 1 时, g (a ) = f (4) = ; 4 ? 2a 1 当 1 ? a ? 4 时, g (a ) = f (0) = . 2
而 f (0) - f (4) =

???????6 分

???????8 分

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a g ( a ) 综上所述, =? ? 1 , a ? 1. ? ?2

???????9 分

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,故不满足要求.????10 分 当 0 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 若存在 x1 , x2 ∈ (0, 4) ( x1 < x2 ),使曲线 y= f ( x ) 在 ? x1,f ( x1 ) ? , ? x2,f ( x2 ) ? 两点处的切线互 相垂直,则 x1 ∈ (0, a ) , x2 ∈ ( a, 4) ,且 f '( x1 ) ? f '( x2 ) =-1, 即

?3a 3a 3a ? ? ?1 ,亦即 x1 ? 2a = .(*) ???????11 分 2 2 ? x1 ? 2a ? ? x2 ? 2a ? x 2 ? 2a 3a ? 3a ? ,1? . ∈? x 2 ? 2 a ? 4 ? 2a ?

由 x1 ∈ (0, a ) , x2 ∈ ( a, 4) 得 x1 ? 2a ∈ (2a,3a) ,

故(*)成立等价于集合 A= (2a,3a) 与集合 B= ? 因为

? 3a ? ,1? 的交集非空. ? 4 ? 2a ?

3a 1 < 3a ,所以当且仅当 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 时,A∩B≠ ? .??13 分 4 ? 2a 2

综上所述,存在 a 使函数 f ( x ) 在区间(0,4)内的图象上存在两点, 在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是 ? 0, ? .

? ?

1? 2?

???????14 分

8、解:(1)当 a ? 1 时, g ? x ? ? x ?1 ? 2ln x ,定义域为 ?0,???

g?? x? ? 1?

2 x?2 ? x x

??????????????????????2 分

当 x ? ? 0,2? 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 2, ??? 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增, 综上, g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2, ??? ,单调递减区间为 ? 0, 2 ? ?????? 4 分 (2)证明: k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ,????????????????????5 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1

又 x0 ?

x1 ? x2 1 2 ,所以 f ? ? x0 ? ? ? ln x ?? ,????????????6 分 ? ? 2 x0 x1 ? x2 x ? x0

要证 k ? f ? ( x0 ) , 即证

ln x2 ? ln x1 2 , ? x2 ? x1 x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x ? x1 ? , 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证 ln x2 ? ln x1 ? ,即证 ln 2 ? x2 x1 x1 ? x2 ?1 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ? 2? , ?????????????????7 分 ? 1 ,即证: ln t ? t ?1 t ?1 x1

4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? ?1, ??? , t ?1 4 ? 2 ? t ? ?1, ?? ? ? , 事实上:设 k ? t ? ? ln t ? t ?1
也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 , 1 4 ? 则 k? ?t ? ? ? 2 2 t ? t ? 1?2 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2 2

所以 k ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 k ?t ? ? k ?1? ? 0 ,即结论成立. ???????9 分 (3)由题意得

F ? x1 ? ? x1 ? ? F ? x2 ? ? x2 ? F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? 1 ? 0 ,即 ? 0, x1 ? x2 x1 ? x2
b ?x, x ?1

若设 G ? x ? ? F ? x ? ? x ,则 G ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,??????????????10 分 ①当 x ??1, 2? 时, G ? x ? ? ln x ?

G? ? x ? ?

1 b ? ?1 ? 0, x ? x ? 1?2

? x ? 1? b?
x

2

1 2 ? ? x ? 1? ? x 2 ? 3x ? ? 3 在 ?1, 2? 恒成立, x
2

设 G1 ? x ? ? x ? 3 x ?

1 1 ? 3 ,则 G1? ? x ? ? 2 x ? 3 ? 2 , x x
27 , 2

当 x ??1, 2? 时, G1? ? x ? ? 0

?G1 ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递增, G1 ? x ? ? G1 ? 2 ? ?
?b ?

27 ?????????????????????????????????12 分 2 b ?x, ②当 x ? ? 0,1? 时, G ? x ? ? ? ln x ? x ?1

1 b G? ? x ? ? ? ? ?1 ? 0 , x ? x ? 1?2

? x ? 1? b??
x

2

1 2 ? ? x ? 1? ? x2 ? x ? ? 1 在 ? 0,1? 恒成立, x
1 1 ? 1 , G2? ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x

设 G2 ? x ? ? x ? x ?
2

即 G2 ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,故 G2 ? x ? ? G2 ?1? ? 0 ,

?b ? 0 ,
综上所述: b ?

27 . ????????????????????????????14 分 2

9、解 :(1)? g (2) ? 2,? a ? b ? 1.
1 ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ). 2

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) h?(x) ? ? ax ? (a ? 1)= ? , x x x
若 a ? 0 ,则函数 h( x) 在区间(0,1)上单调递增; 在区间(1,+ ? )上单调递减. 若 a ? 0 ,令 h?(x) ? 0 ,得 x1 ? ?

???? 1 分

??2 分

1 , x2 ? 1 . a

1?. 当 a ? ?1 时,则 0 ? ?
. 增;在区间( ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间( 0, ? )和(1,+ ? )上单调递 a a
??3 分

1 ,1)上单调递减. a

2 ?. 当 a ? ?1 时, h / ( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在区间(0,+ ? )单调递增. ??4 分

3?. 当 ? 1 ? a ? 0 时,则 ?
在区间(1, ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间(0,1)和( ? ,+ ? )上单调递增; a a

1 )上单调递减. a
??5 分

(综上所述略) (2)∵函数 g ( x) 是关于 x 的一次函数 , ∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ). ① 由 h(x) ? 0 ,得 b ? ∴ ? (x ) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x ) ? ? ,则 ? ?(x ) ? x x x2 .

??6 分

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 ∴当 x ? e 时, ? (x ) ? ? 取得最小值 ? . e x
又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时, ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时, ? (x) ? 0 .
1 ∴ b 的取值范围是( ? ,0). e

??7 分 ??8 分 ??9 分

② 由题意得 lnx1 ? bx1 ? 0,lnx2 ? bx2 ? 0 , ∴ lnx1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 0,lnx2 ? lnx1 ? b( x2 ? x1 ) ? 0 . ∴

ln x1 x2 x ?x ? 1 2. ln x2 ? ln x1 x2 ? x1
只需要证 ln x1 x2 ?

不妨设 x1 ? x 2 .要证 x1 x2 ? e 2 ,

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 , x2 ? x1
??10 分

即证 ln x2 ? ln x1 ?

2( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 ln

x2 2( x2 ? x1 ) ? . x1 x2 ? x1

设t ?

2(t ? 1) 4 x2 ? ln t ? ?2, (t ? 1) , F (t ) ? ln t ? x1 t ?1 t ?1

????11 分

1 4 (t ? 1)2 F ?(t ) ? ? ? ?0 , t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
∴函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调递增,而 F (1) ? 0 , 所以 F (t ) ? 0 ,即 ln t ? 10、

??12 分

2(t ? 1) 2 ,∴ x1 x2 ? e . t ?1

??14 分

11、解:(1)在 f ( x) ? f (

1 ) ? 0 中,取 x ? 1 ,得 f (1) ? 0 , x
??????????????1 分

又 f (1) ? ln 1 ? a ? b ? ?a ? b ,所以 b ? a .

a 1 1 从而 f ( x) ? ln x ? ax ? , f ?( x ) ? ? a (1 ? 2 ) , f ?(1) ? 1 ? 2a . x x x ? 5 ? f (1) ? 5, 又 f ?(1) ? 0 ?1 所以 1 ? 2a ? 5 , a ? ?2 . ????????????????????????3 分 2 2 3 a a a 2 2 a3 ? ? ? 2 ln a ? ? ? ln 2 . (2) f ( ) ? ln 2 2 2 a a 2 2 2 3x 2 ? 3x 4 ? 4( x ? 1) 2 x3 ? ? ln 2 ,则 g ( x) ? ? 2 ? ? 令 g ( x) ? 2 ln x ? ? . x 2 x x 2 2 x2
所以, x ? (0, 1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, ?????????????5 分

1 故 x ? (0, 1) 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ? ? ln 2 ? 1 ? ln e ? 0 . 2 2 a 所以, 0 ? a ? 1 时, f ( ) ? 0 . ????????????????????7 分 2

1 1 ? ax2 ? x ? a (3) f ?( x) ? ? a(1 ? 2 ) ? . x x x2
①当 a ? 0 时,在 (0, ? ?) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增, 所以, f ( x) 至多只有一个零点,不合题意; ②当 a ? ????????????????8 分

1 时,在 (1, ? ?) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减, 2
??????????????10 分

所以, f ( x) 也至多只有一个零点,不合题意; ③当 0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? 1. ? 1 , x2 ? 2 2a 2a

此时, f ( x) 在 (0 , x1 ) 上递减, ( x1 , x2 ) 上递增, ( x2 , ? ?) 上递减, 所以, f ( x) 至多有三个零点. ??????????????????????12 分

因为 f ( x) 在 ( x1 , 1) 上递增,所以 f ( x1 ) ? f (1) ? 0 . 又因为 f ( 又 f(

a2 a2 ) ? 0 ,所以 ?x0 ? ( , x1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 . ???????????13 分 2 2

1 ) ? ? f ( x0 ) ? 0 , f (1) ? 0 , x0 1 . x0
1 ) . ??????14 分 2

所以 f ( x) 恰有三个不同的零点: x0 , 1 ,

综上所述,当 f ( x) 存在三个不同的零点时, a 的取值范围是 (0 ,

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点,二次方程根的分 布等知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化 思想. 12、

13、证明与求解:⑴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 , f / ( x) ? 3x 2 ? 6 x ??1 分 解 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ??2 分,

x1 ? x2 x ? x2 , f( 1 ) ) 即 M (1 , ? 3 ) ??3 分 2 2 3 2 曲 线 y ? f ( x) 上 任 意 一 点 P( x0 , x0 ? 3x0 ? 1) 关 于 M 对 称 的 点 为 M(
Q(2 ? x0 , ? x0 ? 3x0 ? 5 ) ??4 分
3 2

直接计算知, f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ) 3 ? 3(2 ? x0 ) 2 ? 1 ? ? x0 ? 3x0 ? 5 ,点 Q 在曲线 y ? f ( x) 上,所以,曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称??5 分 ⑵(方法一) | f ( x) |? 33 即 | x 3 ? ax 2 ? 1 |? 33 , ? 33 ? x 3 ? ax 2 ? 1 ? 33 ??6 分
x ? 0 时,不等式恒成立??7 分;

3

2

32 ? x 3 34 ? x 3 ? a ? ??8 分 x2 x2 64 32 ? x 3 32 34 ? x 3 34 / ? ? x ? g ( x ) ? ? ? x ? 2 , g 1 ( x ) ? ?1 ? 3 作 g 1 ( x) ? ? , 2 2 2 2 x x x x x 68 / / / g 2 ( x ) ? ?1 ? 3 ??9 分,解 g1 ( x) ? 0 、 g 2 ( x) ? 0 得 x1 ? 4 、 x2 ? ?3 68 ??10 分 x (4 , 5 ] [ ? 1 , 0) (0 , 4) x 4
x ? 0 时,不等式等价于 ?



g1 ( x)
g1 ( x)

/

- ↘ + ↗

+ ↗ - ↘

0 极大值 -

- ↘ - ↘

g 2 ( x)
g 2 ( x)
??12 分

/

g1 (?1) ? ?31 ,g1 (4) ? ?6 ,g1 ( x) ? ?

32 ? x 3 在 [?1 , 0) ? (0 , 5] 的最大值为 ? 6 ;g 2 (?) ? 35 , x2

g 2 (5) ? ?

34 ? x 3 91 91 , g 2 ( x) ? 在 [?1 , 0) ? (0 , 5] 的最小值为 ? ??13 分 2 25 25 x

综上所述, a 的取值范围为 [?6 , ?

91 ] ??14 分 25

(方法二) f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax , a ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 1 不符合题意,∴ a ? 0 ,解 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? ?

2a ??6 分 3 2a 当 x2 ? ? ?[?1 , 5] 时, f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 ?? 7 分, | f ( x) |? 33 当且仅当 3

2a ? 2a 15 3 ? ?? 3 ? 5或 ? 3 ? ?1 ?a ? ? 2 或a ? 2 ? ? ? ??8 分,即 ?| a ? 2 |? 33 ??9 分,解集为空集 ? ??10 分 ?| f (0) |? 33 ?| f ( ?1) |? 33 ?| 25a ? 124 |? 33 ? ? ?| f (5) |? 33 ? ?
当 x2 ? ?

2a ?[?1 , 5] f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 、 x2 ??11 分, | f ( x) |? 33 当且仅当 3

2a ? ?? 1 ? ? 3 ? 5 3 ? 15 ? ? ?a? ? 2 2 ?| f (0) |? 33 ? ? 2a 91 ? ? 4 a 3 ? 1 |? 33 ? ? 13 分 , 解 集 为 [?6 , ? ] , ?| f ( ? ) |? 33 ? ? 12 分 , 即 ?| 3 25 ? ? 27 | a ? 2 | ? 33 ?| f ( ?1) |? 33 ? ? ?| 25a ? 124 |? 33 ? ?| f (5) |? 33 ? ?
∵ [?6 , ?

91 91 91 ] ? ? ? [?6 , ? ] ,∴ a 的取值范围为 [?6 , ? ] ??14 分 25 25 25

14、解:(1)依题意可得 | x 2 ? 3|? 1 ------------------------------------------------1 分

? ?1 ? x 2 ? 3 ? 1 ? ?2 ? x ? ? 2 或 2 ? x ? 2
∴ x 的取值范围为 [?2, ? 2] ?[ 2, 2].---------------------------------------------3 分 (2)解法一:∵ | (

a?b 2 a 2 ? b2 ( a ? b) ( a ? b) 2 ) ? ab | ? | ? ab | ?| |?| | ---------------5 分 2 2 4 2

2

?

( a ? b) 2 ( a ? b) 2 ( a ? b) 2 ? ?? ? 0, ---------------------------------------------6 分 4 2 4 a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab |?| ? ab |, 2 2

即| (

∴(

a ? b 2 a 2 ? b2 ) 比 更接近 ab ;--------------------------------------------------7 分 2 2 a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab, ? ab ,------------------4 分 2 2

【解法二:∵对任意两个正数 a、b,有 (

a?b 2 a 2 ? b2 a ? b 2 a 2 ? b2 (a ? b ) 2 ) ? ab | ? | ? ab |? ( ) ? ?? ? 0, ∴| ( 2 2 2 2 4
即| (

a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab |?| ? ab |, ------------------------------------------------6 分 2 2

∴(

a ? b 2 a 2 ? b2 ) 比 更接近 ab ;-------------------------------------------------7 分】 2 2

(3)令 p ( x) ?

e ? ln x, q( x) ? x ? a ? ln x, x

则 p ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,且 p(e) ? 0,

由 q?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , 得当 x ? 1 时, q?( x) ? 0, x x

∴ q( x) 在 [1, ??) 上单调递增,且当 x ? 1 时,有 q( x) ? q(1) ? 0. -----------------------8 分 ①当 1 ? x ? e 时,∵ p ( x) ≥0, a ? 2 , ∴ | p( x) | ? | q( x) |? ∴

e e ? ln x ? ( x ? a ? ln x) ? ? x ? a ? e ? 1 ? 2 ? 0. x x

e 比 x ? a 更接近 ln x .--------------------------------------------------------10 分 x

②当 x ? e 时, 解法一:∵ p ( x) <0, q( x) ? 0. ,

e e ? ( x ? a ? ln x) ? 2 ln x ? ? x ? a ? 2 ln x ? x ? 2. ----------12 分 x x 2 2? x . 当 x ? e 时, f ?( x) ? 0. 令 f ( x) ? 2ln x ? x ? 2, 则 f ?( x) ? ? 1 ? x x
∴ | p ( x) | ? | q ( x) |? ln x ? ∴ f ( x ) 在区间 (e, ??) 单调递减,当 x ? e 时, f ( x) ? f (e) ? ?e ? 0. ------------------13 分 综上可知,当 x ? 1 时, | ∴

e e ? ln x | ? | x ? a ? ln x |? 0. 即 | ? ln x |?| x ? a ? ln x | . x x

e 比 x ? a 更接近 ln x .--------------------------------------------------------14 分 x

【解法二:当 x ? e 时,∵ p ( x) <0, q( x) ? 0. ∴ | p( x) | ? | q( x) |? ln x ? 令 f ( x) ? 2 ln x ?

e e ? ( x ? a ? ln x) ? 2 ln x ? ? x ? a. -----------------------11 分 x x

e 2 e x2 ? 2x ? e ? x ? a ,则 f ?( x) ? ? 1 ? 2 ? ? . x x x x2

令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ? e , x2 ? 1 ? 1 ? e , ∵x?e
2

∴ x2 ? 1 ? 1 ? e 不合舍去,-------------------------------------------12 分 ∴ e ?1 ? 1 ? e ∴ x1 ? e

∵ (e ? 1) ? 1 ? e,

∵当 e ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0. 当 x ? x1 时, f ?( x) ? 0. ∴ f ( x ) 在区间 (e, x1 ) 单调递增,在 ( x1 , ??) 单调递减,又 e ? x1 ? 3 ∴当 x ? e 时, f ( x) ? f ( x1 ) ? 2ln x1 ? 综上可知,当 x ? 1 时, |

e ? x1 ? a ? 2ln 3 ? e ? 2 ? 0. ------------------13 分 x1

e e ? ln x | ? | x ? a ? ln x |? 0. 即 | ? ln x |?| x ? a ? ln x | . x x



e 比 x ? a 更接近 ln x .-------------------------------------------------------14 分】 x
1

15、解:(1)由已知得: f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

a , 1? x

???1 分

又∵函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 ∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?
1
2

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0

??2 分

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

f ?( x) ?

?1 ? x ?

?

1 ?x ???3 分 ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴,当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;???4 分(或者列表) ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 ???5 分

1 ? b ???6 分 1? x 1 ?b ? 0 (i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ? 1? x
(2)①由已知得: g ?( x ) ? ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ???7 分 (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;?8 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ?

1 1 ? 1 ? ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 当 x ? ?0, ? 1? 时, g ?( x) ? 0 , 1? x b ? b ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0,

? 1 ? ? 1 ? 上为增函数, ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;9 分 综上所述, b 的取值范围是 ?1,??? . ②由以上得:

???10 分 ???11 分

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) , 1? x

取x?

1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 得: 1? n n n n

???12 分

令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

???13 分

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n
1 . 2


因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)

n

k

1

???14 分



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