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高中数学【Word版题库】2.2 函数的单调性与最值



2.2 函数的单调性与最值
一、填空题 1.函数 f(x)=log2(x2-4x-5)的单调增区间为________. 解析 由题意知 x2-4x-5>0,解得 x<-1 或 x>5,即函数 f(x)=log2(x2-4x- 5)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),根据外层函数为单调增函数,而内层函 数 u=x2-4x-5=(x-2)2-9 在(5,+∞)上单调递增,所以所求函数的单调增 区间为(5,+∞). 答案 (5,+∞) 2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是________.(填所有正确的编号) 2 2 ①y=-x+1;②y= x;③y=x -4x+5;④y= .

x

解析 y=-x+1 在 R 上递减;y= x在 R+上递增;y=x2-4x+5 在(-∞,2] 2 上递减,在[2,+∞)上递增,y= 在 R+上递减.

x

答案 ② 3.定义在 R 的奇函数 f(x)单调递增,且对任意实数 a,b 满足 f(a)+f(b-1) =0,则 a+b=________. 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x) ∴f(a)=-f(b-1)=f(1-b) 又∵f(x)单调递增 ∴a=1-b 即 a+b=1. 答案 1 4.若函数 f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2 在区间(-∞,1]上是减函数,则 a 的取 值范围是________. 解析 因为 f(x)是二次函数且开口向上, 所以要使 f(x)在(-∞,1]上是单调递减函数, 则必有-

a2-4a+1
2

≥1,即 a2-4a+3≤0,解得 1≤a≤3.

答案 [1,3] 5.下列函数:①y=x3;②y=|x|+1;③y=-x2+1;④y=2-|x|,既是偶函数 又在(0,+∞)单调递增的函数序号是________. 解析 y=x3 是奇函数,y=-x2+1 与 y=2-|x|在(0,+∞)上是减函数.

答案 ② 6.已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,不等 式 f(1-x)+f(1-x2)<0 的解集为________. 解析 由 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, 及 f(1-x)+f(1-x2)<0 得 f(1-x)<-f(1-x2). 所以 f(1-x)<f(x2-1).又因为 f(x)在(-1,1)上是减函数,

?-1<1-x<1, 所以?-1<1-x <1,解得0<x<1. ?1-x>x -1.
2 2

故原不等式的解集为(0,1). 答案 (0,1) 7.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,y=f(x)是减函数, 若|x1|<|x2|,则结论:①f(x1)-f(x2)<0;②f(x1)-f(x2)>0;③f(x1)+f(x2) <0;④f(x1)+f(x2)>0 中成立的是________(填所有正确的编号). 解析 由题意,得 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(x1)=f(|x1|),f(x2)=

f(|x2|),从而由 0≤|x1|<|x2|,得 f(|x1|)<f(|x2|),即 f(x1)<f(x2),f(x1)
-f(x2)<0,只能①是正确的. 答案 ① 8.设 a=log 5 4? b ? ( log 5 3) 2 ? c ? log 4 5? 则 a,b,c 的大小关系是_____. 解析 因为 0<log 5 3 ? log 5 4 ? 1 ? log 4 5? 所以 b<a<c. 答案 b<a<c 9.如果对于函数 f(x)的定义域内任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)≤f(x2)且存在两个不相等的自变量 m1,m2,使得 f(m1)=f(m2),则称为 定义域上的不严格的增函数.已知函数 g(x)的定义域、值域分别为 A,B,A= {1,2,3},B? A 且 g(x)为定义域 A 上的不严格的增函数,那么这样的函数 g(x) 共有________个. 解析 分 B 中元素为 1 个,2 个,3 个讨论.B 中只有一个元素,此时各有一个 函数;B 有两个元素,此时各有两个函数;B 有 3 个元素时,不合题意.因此共

有 3+6=9 个函数. 答案 9 10.已知函数 f(x)=1- 1-x2,x∈[0,1],对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、

x2,给出下列结论:
①(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0;②x2f(x1)<x1f(x2);③f(x2)-f(x1)>x2-x1;④

f? x1? +f? x2?
2

?x1+x2? ?. >f? ? 2 ?

其中正确结论的序号是________. 解析 函数 f(x)=1- 1-x ,x∈[0,1]的图象如图所示,命题①可等价为
2

?x2-x1>0 ? ?f? x2? <f?

x1?

,即 f(x)在 x∈[0,1]上是单调递增函数,结合图象可知,

命题①错误; 对于命题②, 作差即可知其正确; 命题③可变形为

f? x2? -f? x1? x2-x1

>1,不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率,由图象知斜率不都 大于 1,命题③错误;对于命题④,因为图象是凹函数,满足

f? x1? +f? x2?
2



f?

?x1+x2? ?,所以命题④正确. ? 2 ?

答案 ②④ 11. 若 函 数 f(x)=a|x-b|+2 在 [0? ??) 上 为 增 函 数 , 则 实 数 a,b 的 取 值 范 围 为 .

解析 由 f(x)=a|x-b|+2 知其图象关于 x=b 对称,且在 [0? ??) 上为增函数,所以
b ? 0? a ? 0 .

答案 b ? 0? a ? 0 12.设 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0] 上是增函数,给出下列关于函数 y=f(x)的判断: ①y=f(x)是周期函数; y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; y=f(x)在[0,1] ② ③

?1? 上是增函数;④f? ?=0.其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的 ?2? 序号都填上). 解析 ①由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即①正确.②由

f(1-x)=-f(-x)=-f(x)=f(1+x)知②正确. ③由偶函数在[-1,0]与[0,1]
1 ?1? 上具有相反的单调性知③不正确.④在 f(x+1)=-f(x)中令 x=- ,得 f? ?= 2 ?2? ? 1? ?1? ?1? -f?- ?=-f? ?,所以 f? ?=0. ? 2? ?2? ?2? 答案 ①②④
-x ?e -2,x≤0, 13.已知函数 f(x)=? ?2ax-1,x>0

(a 是常数且 a>0).对于下列命题:

①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ?1 ? ③若 f(x)>0 在? ,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ?2 ? ?x1+x2? ?< ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? ? 2 ?

f? x1? +f? x2?
2

.

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号). 解析 (数形结合法)根据题意可画出草图, 由图象可知,①显然正确;函数 f(x)在 R 上不 ?1 ? 是单调函数,故②错误;若 f(x)>0 在? ,+∞? ?2 ? 1 上恒成立,则 2a× -1>0,a>1,故③正确; 2 由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0,x2<0 ?x1+x2? f? ?< 且 x1≠x2,恒有 f? ? 2 ? 故④正确. 答案 ①③④

x1? +f? x2?
2

成立,

【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解,此题充分体现了数形结 合法的直观性与便捷性. 二、解答题 14.已知 t 为常数,函数 y=| x2 ? 2 x ? t |在区间 [0? 3] 上的最大值为 2,求 t 的值. 解析 显然函数 y=| x2 ? 2 x ? t |的最大值只能在 x=1 或 x=3 时取到, 若在 x=1 时取到,则|1-2-t|=2,得 t=1 或 t=-3. t=1,x=3 时,y=2;t=-3,x=3 时,y=6(舍去); 若在 x=3 时取到,则|9-6-t|=2,得 t=1 或 t=5. t=1,x=1 时,y=2;t=5,x=1 时,y=6(舍去),所以 t=1. 15. 设函数 f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1)若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解析 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即 b=a+1. 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,∴a>0 且 Δ =b2-4a≤0 恒成立,即 a>0 且 (a-1)2≤0 恒成立, ∴a=1,b=2. (2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在 x∈[-2,2]时是单调函数, k-2? ? ?k-2 ? ,+∞?. ?或[-2,2]? ? ∴[-2,2]? ?-∞, 2 ? ? ? 2 ? k-2 k-2 ∴2≤ 或 ≤-2,解得 k≥6 或 k≤-2, 2 2 即实数 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 16.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 2 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解析 (1)证明 法一 ∵函数 f(x)对于任意 x,∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), y

∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0,

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵x>0 时,f(x)<0,

而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二 设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2) ∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 17.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2) =f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围. 解析 (1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,令 x1=x2=-1,有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解 得 f(-1)=0 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x),即 f(-x)=f(x). 所以 f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 所以 f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)① 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以①等价于不等式组: ?? 3x+1? ? ?? 3x+1? ? ? 2x-6? 2x-6? >0, ≤64, ?? 3x+1? ? 或? ?-? 3x+1? ? 2x-6? 2x-6? <0, ≤64.

?x>3或x<-1, ? 3 ? 7 ?-3≤x≤5, ?

?-1<x<3, 或? 3 ?x∈R,

7 1 1 所以 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 故 x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 1 18. 在区间 D 上, 如果函数 f(x)为增函数, 而函数 f(x)为减函数, 则称函数 f(x)

x

为“弱增函数”,已知函数 f(x)=1-

1 . 1+x

(1)判断函数 f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”;

1 (2)设 x1,x2∈[0,+∞),且 x1≠x2,证明:|f(x1)-f(x2)|< |x1-x2|; 2 (3)当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤ 范围. 1 ? 1 1 ? ?= 解析 (1) 显然 f(x)在区间(0,1)上为增函数,因为 f(x)= · ?1- x x ? 1+x? 1 1 ≤1-bx 恒成立,求实数 a,b 的取值 1+x

x

·

1+x-1 1 = · x 1+x 1+x?

x
1+x+1?

1 1 = ,所以 f(x)为减函数,因此 f(x)是“弱增”函数. x 1+x+ 1+x (2) 证 明 1 ? ? 1 | 1+x2- 1+x1| - ? = |f(x1) - f(x2)| = ? = 1+x2? ? 1+x1 | 1+x1 1+x2| .

|x1-x2| 1+x1· 1+x2·? 1+x1+ 1+x2?

因为 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,所以 1+x1· 1+x2·( 1+x1+ 1+x2)>2, 1 所以|f(x1)-f(x2)|< |x1-x2|. 2

(3) 当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤

1 ≤1-bx 恒成立.所以当 x=0 时,不 1+x

?a≥1f? ? x 等式显然成立,当 x∈(0,1]时,等于? 1 ?b≤xf? ?
为减函数,1-

x? , x?

1 恒成立由(1)知 f(x)

x

2 1 1 1 2 ≤ f(x)< ,所以 a≥ 且 b≤1- . 2 x 2 2 2



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