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第3讲函数的奇偶性



第 3 讲 函数的奇偶性
【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本节复习时应结合具体实例和函数的图像, 理解函数的奇偶性的概念, 明确它们在研究 函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.奇函数、偶函数的

概念 图像关于原点对称的函数叫做奇函数. 图像关于 y 轴对称的函数叫做偶函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于原点对称. (2)考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f (x): 若 f (-x)=-f (x),则 f(x)为奇函数; 若 f (-x)=f (x),则 f(x)为偶函数; 若 f (-x)=-f (x)且 f(-x)=f (x),则 f (x)既是奇函数又是偶函数; 若 f (-x)≠-f (x)且 f(-x)≠f (x),则 f (x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 3.奇、偶函数的性质 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反(填“相同”、“相反”).

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f (0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1 ,D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法

判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)性质法. 双基自测 1.(北师大版教材习题改编)下列函数中,其中是偶函数的是( A.f (x)=x+ 1 C.f (x)= 2 x 解析 答案 1 x B.f (x)=x3 -2x D.f (x)=x +x
4 3

).

由奇、偶函数的定义知,A, B 为奇函数,C 为偶函数,D 为非奇非偶函数. C ).

2. (2011· 上海)下列函数中, 既是偶函数, 又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数为( A.y= x-2 解析 B.y=x-1 C.y=x2 1 D.y=x 3

函数为偶函数,则 f (-x)=f (x),故排除掉 B,D.C 选项中 y=x2 为偶函数,但在

(0,+∞)上单调递增,不满足题意.故选 A. 答案 A ).

3.“函数 f (x)为奇函数”是“f (0)=0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (2011· 南昌调研)若 f(x)=ax2 +bx+c(a≠0)是偶函数, 则 g(x)=ax3 +bx2 +cx 是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 解析 B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

).

由已知,得 b=0,

∴g(x)=ax3 +cx. ∴g(-x)=-(ax3 +cx)=-g(x). ∴g(x)为奇函数. 答案 A
2

5.已知 f (x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b=________. 解析 答案 1 1 依题意,得{a-1=-2a, b=0, ∴a= ,b=0,∴a+b= . 3 3 1 3

考向一 【例 1】?判断下列函数的奇偶性.

函数奇偶性的判断

(1)f (x)= x2 -1+ 1-x2 ; (2)f (x)=(x-1) 4-x2 (3)f (x)= . |x+3|-3 [审题视点] 先求函数的定义域,并判断是否关于原点对称,再由奇、偶函数的定义判 断. 解
2 (1)由{x -1≥0,

1+x ; 1-x

-x2 ≥0, 得 x=± 1,

∴f (x)的定义域为{-1,1}. 又 f (1)+f(-1)=0,f (1)-f (-1)=0, 即 f (x)=± f(-x). ∴f (x)既是奇函数又是偶函数.
?1+x (2)由? ≥0, ?1-x

-x≠0, 得-1≤x<1.

∵f (x)的定义域[-1,1)不关于原点对称, ∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数.
2 (3)由{4-x ≥0,

x+3|-3≠0, 得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f (x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f (x)= = = , |x+3|-3 ?x+3?-3 x ∴f (-x)=-f (x), ∴f (x)是奇函数. (1)首先考虑定义域是否关于原点对称,再根据 f (-x)=± f (x)判断,有时需要 先将函数进行化简. (2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x) +f( - x) = 0(奇函数)或 f(x)-f (-x)=0(偶函数))是否成立. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x)=x2 -|x|+1,x∈[-1,4]; (2)f (x)=log2 (x+ x2 +1). 解 (1)∵f (x)的定义域[-1,4]不关于原点对称,

∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)函数 f(x)的定义域为 R. ∵f (-x)=log2 (-x+ x2 +1)

=log2 ?

1 ? ? ? 2 ? x +1+x?

=log2 ( x2 +1+x)-1 =-log2 ( x2 +1+x) =-f (x). ∴f (x)为奇函数. 考向二 函数的奇偶性与单调性

【例 2】?(2012· 郑州模拟)(1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f (x)=x2 -x-1, 求 f (x)的解析式; ex a (2)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; a e (3)已知奇函数 f (x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足 f (1-m)+f (1- m2 )<0 的实数 m 的取值范围. [审题视点] (1)f (x)是一个分段函数, 当 x<0 时, 转化为 f (x)=-f(-x). (2)可用定义法, 也可以用特殊值代入,如 f (1)=f(-1),再验证.(3)可考虑 f(x)在[-2,2]上的单调性. 解 (1)∵f (x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f (0)=0,当 x<0 时,-x>0, 由已知 f (-x)=(-x)2 -(-x)-1=x2 +x-1=-f(x). ∴f (x)=-x -x+1.
2 ∴f (x)={x -x-1,x>0, 2

,x=0, -x2 -x+1,x<0.

(2)法一
2x

e-x a ex a ∵f (x)是 R 上的偶函数,∴f (-x)=f(x)在 R 上恒成立.即 + -x = + x,(a2 a e a e

-1)(e -1)=0,对任意的 x 恒成立,
2 ∴{a -1=0, a>0, 解得 a=1.

法二

∵f (x)是 R 上的偶函数,∴f(-1)=f(1),

11 e a ∴ ·+ae= + , ae a e 1? 1 1 ∴? ?a-a?e+e (a-a)=0, 1 1 ∴?a- ?(e2 -1)=0,∴a- =0. ? a? a 又 a>0,∴a=1. 经验证当 a=1 时,有 f(-x)=f (x).∴a=1. (3)∵f (x)的定义域为[-2,2],
2 ∴有{-2≤1-m≤2, -2≤1-m ≤2, 解得-1≤m≤ 3. ①

又 f (x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,

∴在[-2,2]上递减, ∴f (1-m)<-f (1-m )=f (m -1)?1-m>m -1, 即-2<m<1. ② 综合①②,可知-1≤m<1. (1)奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于 y 轴对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反. 1? 【训练 2】 已知偶函数 f (x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的 取值范围是( ).
2 2 2

1 2 A. ? , ? ?3 3? 解析

1 2 B.? , ? ?3 3?

1 2 C.? , ? ?2 3?

1 2 D.? , ? ?2 3?

1? f (x)是偶函数,其图像关于 y 轴对称,又 f(x)在[0,+∞)上递增,∴f (2x-1)<f? ?3?

1 1 2 ?|2x-1|< ? <x< . 故选 A. 3 3 3 答案 A 考向三 函数的奇偶性与周期性

【例 3】 ?设 f (x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f (x+2)=-f(x), 当 x∈[0,2] 时,f (x)=2x-x2 . (1)求证:f (x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f (x)的解析式; (3)计算 f(0)+f (1)+f (2)+?+f(2 011). [审题视点] ①根据周期函数的定义证明; ②由函数的周期性与奇偶性综合解题; ③函数 周期性的应用. (1)证明 ∵f (x+2)=-f(x),∴f (x+4)=-f(x+2)=f (x).

∴f (x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2], ∴f (4-x)=2(4-x)-(4-x)2 =-x2 +6x-8, 又 f (4-x)=f (-x)=-f (x), ∴-f (x)=-x +6x-8, 即 f (x)=x2 -6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f (0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f (3)=-1.
2

又 f (x)是周期为 4 的周期函数, ∴f (0)+f (1)+f (2)+f(3)=f(4)+f (5)+f (6)+f(7) =?=f (2 008) +f(2 009)+f (2 010)+f (2 011)=0, ∴f (0)+f (1)+f (2)+?+f(2 011) =0. 判断函数的周期性只需证明 f (x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数, 且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是近年高考考查的重点问题. 【训练 3】 已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数,则( ).

A.f (-25)<f (11)<f (80) B.f (80)<f (11)<f (-25) C.f (11)<f (80)<f (-25) D.f (-25)<f (80)<f(11) 解析 由函数 f (x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数,可以推知 f (x)在[-2,2]上递增,又

f (x-4)=-f (x)?f(x-8)=-f (x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f (-1),f (11)= f (3)=-f (3-4)=f (1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f (11). 答案 D

规范解答 2——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题

【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区 别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起 命制试题., 【解决方案】 根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f ?-x?与 f?x?的相等或 相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为 f ?x+T?与 f?x?的关系,它们 都与 f ?x?有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到. 函数的奇偶 性体现的是一种对称关系, 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律, 因 此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实 现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 沈阳模拟)设 f (x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x+2) =-f (x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f (x)的单调增(或减)区间. 第(1)问,先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f (x)的图像关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图像,由图像易 求面积;

第(3)问,由图像观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f (x)得, f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f(x), 所以 f (x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分)

∴f (π)=f (-1×4+π)=f(π-4)=-f (4-π) =-(4-π)=π-4.(4 分)

(2)由 f (x)是奇函数与 f (x+2)=-f(x),得:f [(x-1)+2]=-f (x-1)=f [-(x-1)],即 f (1 +x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f (x)=x,且 f (x)的图像关于原点成中心对称,则 f (x)的图像如图所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S,则 1 ? S=4S△OAB =4×? ?2×2×1?=4.(10 分) (3) 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [4k - 1,4k + 1](k ∈Z) , 单 调 递 减 区 间 [4k + 1,4k + 3](k ∈Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性 将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 1 【试一试】 (2011· 潍坊模拟)设偶函数 f (x)对任意 x∈R, 都有 f (x+3)=- , 且当 x∈[- f ?x? 3,-2]时,f(x)=4x,则 f(107.5) =( A.10 解析 B. 1 10 ). D.- 1 10

C.-10

1 由于 f(x+3)=- ,所以 f (x+6)=f(x),即函数 f (x)的周期等于 6,又因为函数 f ?x?

1 1 f (x) 是偶函数,于是 f (107.5)=f (6×17 + 5.5)=f (5.5) =f(3 + 2.5) =- =- =- f ?2.5? f ?-2.5? 1 1 = . 4×?-2.5? 10 答案 B



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