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福建省福安一中2014届高三高考模拟理科数学试卷 Word版含答案 2doc



2014 年福安一中高三模拟考试卷

理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

2014.5.23

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

1. 已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若

a ? b.则实数m =
A.1 B. ?1 C. 3 D. ?3

2. 已知集合 A ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? a} ,若集合 A ? B 有且仅有一个元素,则实数 a 的取值 范围是 A.

??1,0?

B.

? ?1,0?

C. (?1, 0)

D.

??1,0?
D. 9

3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a5 等于 A. 25 B. 16 C. 11

4. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个菱形,则该几何体的体积为 A.

3 3 3 2

B.

3 4

2 2 正视图

2 1 侧视图

C.

D.

3

5. 下列说法错误 的是 ..
A.“ sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件 2

俯视图 则 ab ? 0 ”

B. 命题“若 a ? 0 , 则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 , C.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 D.若命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题

6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x<0 时,
A.-2 B. ?

f(x)=3x, 则 f( log32 )的值为
D. 2 5

1 2

C.

1 2

7. 在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足 x ? m 的概率为6,则实数 m=
A.1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知直线 mx ? (1 ? n) y ? 1 ? 0(m ? 0, n ? 0) 和直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, 则 A. 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 4 2 D. 3 ? 2

1 1 ? 的最小值是 m n

9. 设 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点, 以 F1F2 为直 a2 b2

径的圆交双曲线的某条渐近线于 M、N 两点, 且满足 ? MAN=120o, 则该双曲线的离心率为 A.

7 3 3

B.

7 3

C.

21 3

D.

19 3

10.某同学在研究函数 f ( x) ? 形为 f ( x) ?

x2 ? 1 ? x2 ? 6 x ? 10 的性质时,受到两点间距离公式的启发,将 f ( x) 变
y

( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 1) 2 ,则 f ( x) 表示 | PA | ? | PB | (如图) ,下列关
A(0,1) x B(3,-1)

于函数 f ( x) 的描述: ① f ( x) 的图象是中心对称图形; ② f ( x) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x) 的值域为 [ 13, ??) ; ④方程 f [ f ( x)] ? 1 ? 10 有两个解. 则描述正确的是
O

P

A. ①②

B.

②③

C. ③④

D. ①④

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11、已知 i 为虚数单位,则

1 3 ? i =________ i

12. 运行右图所示框图的相应程序,若输入 a , b 的值 分别为

3 2 , 则输出 M 的值是______ 和 2 3
6

13. 若 ? x ? a ? 的展开式中 x3 的系数为 160 ,则

?1 x dx 的值为________
a

a

?x ? y ? 0 1 y ? 14. 已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 x ? ( ) 的最大值为_______. 2 ?x ? 1 ?
15. 在任意两个正整数间,定义某种运算(用 ? 表示运算符号) ,当 m 、 n 都是正偶数或都是正奇数时,

m ? n ? m ? n ,当 m 、 n 中其中一个为正偶数,另一个是正奇数时, m ? n ? m ? n ,则在上述定义中
集合 M ? 为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 2014 年第二届夏季青年奥林匹克运动会在中国的南京市举行, 组委会在南京某大学招募了 12 名男志 愿者和 18 名女志愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm),身高在 175 cm 以上(包

?? a, b ? | a ? b ? 12, a, b ? N ? 的元素的个数
*

括 175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担 任“礼仪小姐”. 男 9 9 8 7 6 4 1 8 5 2 0 1 15 16 17 18 19 1 2 7 7 2 4 3 0 4 1 女 8 9 9 5 8 5 6 9

(1) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2) 若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.

17. (本小题满分 13 分) 己知函数 f ( x)? 值和最大值;

3 six n

co x ?s

2

1 sx i?n 2

x ? ( , R (1) )当 x ? [ ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的最小 12 12

? 5?

c, (2) 设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a 、 f(C)=2, b、 且c ? 3, 若向量 m ? (1, a)

与向量 n ? (2, b) 共线,求 a , b 的值. 18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点的坐标为 F( 2 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 y=x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|; (3)设 P 是椭圆 C 上的任意一点, MN 是圆 D:x2+(y-3)2=1 的任意一条直径,求 PM PN 的最大值.

19. (本小题满分 13 分)
0 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90 ,平面 PAD ? 底面

ABCD , Q 为 AD 中点,M 是棱 PC 上的点, PD ? PA ? 2, BC ?

1 AD ? 1, CD ? 3 . 2

(1)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:

PA / / 平面 BMQ ;
(2) 求证:平面 PQB ? 底面 PAD ;

(3)若二面角 M-BQ-C 大小为 ? ,且 ? ? ? 20. (本小题共 14 分)

?? ? ? ,若 PM ? tMC ,试确定 t 的取值范围. , ?6 3? ?

已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? 1(a ? R) , g ( x) ? xe1? x . (1)求 g ( x) 的极值;
3 2 (2)设 a ? 2 ,函数 h( x) ? x ? x [ f ?( x) ?

m ] 在区间(2,3)上不是单调函数,求实数 m 的 2

取值范围; (3)当 a ? 0 时,若对任意的 x1 , x2 ? [3,4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 值.

1 恒成立,求 a 的最小 g ( x2 ) ? g ( x1 )

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则 按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题 号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分) 选修 4—2:矩阵与变换

? 2 ?a 1 ? ? ,B?? 3 已知: 矩阵 A ? ? ? 1 ?1 2? ?? ? 3

? b? 2? ? 3?

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求矩阵 A 的特征值和特征向量 (Ⅱ)若矩阵 A 与矩阵 B 为互逆矩阵,求 a , b (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? (Ⅰ)将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式 (Ⅱ)在极坐标系中,以极点为坐标原点,以极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系. 若曲线 C2 : ?

?
3

? x ? 3sin ? ( ? 为参数, a ? R )与 l 有一个公共点在 Y 轴上,求 a 的值 y ? a cos ? ?

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知集合 A ? x ? R / x ?1 ? x ? 2 ? 3 (Ⅰ)求 A 的解集; (Ⅱ)若 x ? A ,求 f ( x) ?

?

?

2x ? 2 ?

x ? 3 的值域

2014 年福安一中高三模拟考试
一、选择题: 1.C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 二、填空题: 11、2 三、解答题: 12. 2 13.

理科数学(参考答案)

7. C 8. B 9.C 10.B
15、15

7 3

14.

1 2

16. 解:(1)根据茎叶图可知,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = , 30 6 1 1 所以选中的“高个子”有 12× =2 人,“非高个子”有 18× =3 人.(3 分) 6 6 用事件 A 表示“至少有一名?高个子?被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有一名?高个子?被选中”,则 P(A)=1- C2 3 7 7 3 =1- = . 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 .(6 分) C2 10 10 10 5

(2)依题意,ξ 的取值为 0,1,2,3.
2 1 C3 14 C1 28 C2 12 C3 1 8 4C8 4C8 4 P(ξ=0)= 3 = , P(ξ=1)= 3 = , P(ξ=2)= 3 = , P(ξ=3)= 3 = .(8 分) C12 55 C12 55 C12 55 C12 55

因此,ξ的分布列如下: ξ 0 14 55 1 28 55 2 12 55 3 1 55 (10 分) 14 28 12 1 ∴Eξ=0× +1× +2× +3× =1.(13 分) 55 55 55 55 17.解: f ( x) ? ∵?

P

3 1 ? 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 …3 分 sin 2 x ? ? ? 6 2 2 2 2 2
?x? 5? ? ? 2? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 3 6 3

?
12

∴?

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 1 ? 2 6 2 6
3 ,最大值是 2 2
…………6 分

则 f ( x ) 的最小值是 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ?

?

π ) ? 1 ? 2 ,则 sin(2C - ) = 1 , 6 6

?
6

? 2C ?

?
6

?

? 11? ? ? , …8 分 ∴ 2C ? ? ,解得 C ? .…9 分 3 6 6 2
①…10 分

∵向量 m ? (1, a) 与向量 n ? (2, b) 共线,∴ b ? 2a ? 0 ,即 b ? 2a

由余弦定理得, c = a + b - 2abcos 由①②解得 a = 1,b = 2 . 18. 解: (1)设椭圆方程为

2

2

2

π ,即 a 2 + b2 - ab = 3 3



…………13 分

x2 y2 ? ? 1 则 c= 2 ,a= 2b , ∴b=c= 2 , a=2 a2 b2

x2 y2 ∴椭圆的方程为 ? ? 1 ……………………………………(3 分) 4 2
?y ? x ?1 4 2 ? ( 2 )由 ? x 2 得 3x2-4x-2=0 , ? ? 40 ? 0 ,设 A ( x1,y1 ) , B(x2,y2 ) , 则 x1+x2= , x1x2=y2 3 3 ?1 ? ? 2 ?4
∴|AB|= 1 ? 1? | x1 ? x 2 |?
2

4 2 4 5 2 ? ( ) 2 ? 4 ? (? ) ? …(8 分) 3 3 3
2

x y 2 2 (3)设 P(x0,y0),则 0 ? 0 ? 1 ∴ x 0 ? 4 ? 2 y 0 4 2

PM ? PN ? ( DM ? DP)( DN ? DP) ? ( DM ? DP)(? DM ? DP)
= DP ? DM
2 2

? x0 ? ( y 0 ? 3) 2 ? 1 ? 4 ? 2 y 0 ? ( y 0 ? 3) 2 ? 1

2

2

=-( y 0 ? 3) 2 ? 21 ………………………………(11 分) ∵y0∈[- 2 , 2 ] ∴当 y0=-

2 时, PM ? PN 取得最大值 10+6 2

19 题

∴ PM ? PN 的最大值是 10+6 2 …………………………(13 分)

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.

n?m ?? ? ? ? ? ? , ? ,? ? ?6 3? n m
即 t 的取值范围为 ?1,3? .

?1 3 ? ? ? , ? ,解得,1 ? t ? 3 , 3 ? t2 ? 2 2 ? t

21.(1)解:(Ⅰ)特征多项式 f(λ)=?

?λ-2 ? -1

?=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3, λ-2?

-1 ?

由 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=3. ??λ-2?x-y=0, 将 λ1=1 代入? 得 x+y=0,令 x=1,得 y=-1, ?-x+?λ-2?y=0, ? 1 ? 则特征值 λ1=1 对应的一个特征向量为? ?. ?-1? ?1? 当 λ2=3 时,得 x-y=0,特征值 λ2=3 对应的一个特征向量为? ?. ?1?

? 2 ?a 1 ? ? 3 (Ⅱ)因为 AB ? I ,即 ? ?? ? 1 2? ? ? 1 ? 3

1 ? ?2 b ? ?1 0? ? a ? ? 0 3 3 ? ? ,? 2? ? 2 0 1 ? ? ab ? ? 0 ? ? 3? 3 ?

解得 ?

? ? a ? 21 b?? ? 3 ?

(2)解:(Ⅰ)由图可知 3 ? ? sin(

?
3

? ? ) ,即

??

3 sin( ? ? ) 3

?

(Ⅱ)直线 l 的直角坐标为 y ? 3( x ? 2) ,与 y 轴的交点为 (0,?2 3) ,所以 a ? ?2 3 (3)解:(Ⅰ)由不等式几何意义可知 A 的解集为 {x / 0 ? x ? 3} (Ⅱ) f ( x) 的值域为 [2 2, 2 3]



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