9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何中的向量方法(二)



3.2 立体几何中的向量方法 (二)

例1 在60 的二面角的棱上有两个点A、B,AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB,已知AB=4cm, AC=6cm,BD=8cm,求CD的长。
解2:由已知 CA ? AB,AB ? BD得
CA? AB ? AB? BD ? 0
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

>


BD ? 180? ? 60? ? 120? 又 CA,

? ?? ? ??

? ? CD ? CA ? AB ? BD ? ? 所以 ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ??
? ?? 2 ? ?? 2

2

2

CD ? CA ? AB? BD
2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? CA ? AB ? BD ? 2 CA? AB ? 2 AB? DB? 2 CA? BD
2 2 2 ? ? 6 ? 4 ? 8 ? 2 ? 6 ? 8 ? cos 120 ? 68 ? ?? ?   CD ? 2 17

? ??

答:CD的长为 2 17 cm。

例2.

余弦; 角的余弦.

解: (1) 建系如图,

,,
S

z
y

,,

???? ? ???? ? AD ? n? ? 6 . ? cos ? AD, n ?? ???? 3 | AD | ? | n | 6 ? 二面角的余弦为 . 3

x

解 2:

? SA ? 面ABCD ? BC ? SA
又 BC ? AB ? BC ? 面SAB

F

? AD // BC ? AD ? 面SAB

E

? ?SAB 是?SDC在面SAB上的射影

5 3 2 1 5 ? ? , ? SD ? 1 ? ? , SC ? 2 ? 1 ? 3 , DF ? 4 2 1 4 4 2 1 5 S 6 ? SAB 2 DC ? 1 ? ? ,? cos? ? ? ? 4 2 S ?SDC 3 1 2

S ?SAB 设所求二面角为 ? ,则 cos? ? S ?SDC

2

3?

2

z
y
(2)法1:由题意知:
SA 为平面 ABCD 的法向量 , ??? ? 且 SA ? (0,, 0 ? 1) ,SC ? (1, 1, ? 1) ,
6 3 SA ? SC ? ? cos ? SA, SC ?? ? sin ? SA, SC ? ? . 3 | SA | ? | SC | 3 6 角的余弦为: . 3

x

(2)法2:

6 角的余弦为: . 3

例3.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1, 侧棱长为2,E、F、G分别CC1、DD1、AA1中点。 ①求证:A1F⊥面BEF; z ②求证:GC1?? 面BEF; ③求直线A1B与面BEF所成的角. 解: 建立空间直角坐标系如图,则 B(1,0,0),E(1,1,1), F(0,1,1), C1(1,1,2), G(0,0,1), A1(0,0,2), ① A1F ? (0, 1, ? 1) , EF ? (?1, 0, 0) ,

BE ? (0, 1, 1),
x ? A1F ? BE ? 1 ? 1 ? 0, A1F ? EF ? 0,

y

? A1F ? BE , A1F ? EF ,

? BE ? EF ? E , ∴ A1F⊥面BEF .



∵ G(0,0,1),C1 (1,1,2),

z

? GC1 ? (1, 1, 1), 而 (?1)EF ? (?1)EB ? ?(?1, 0, 0) ? (0, 1, 1) ? (1, 1, 1) ? GC1 ? (?1)EF ? (?1)EB
y
x

? BE ? EF ? E ,

? GC1 // 面BEF,且C1 ? 面BEF, ? GC1 // 面BEF .
③ 由 A1F⊥面BEF 得,A1B在平面BEF 上的射影为BF,

∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF 所成的角.

10 由已知 A1F ? 2 ,A1B ? 5 ,? sin?A1BF ? , 5 10 ? ?A1BF ? arcsin . 5

例4.Rt△ABC中, AC=BC=1,∠BCA=90? ,现将△ABC沿着平面 ABC的法向量平移到△A1B1C1位置, 已知 AA1=2,P、Q分别 是A1B1和A1A的中点. (1)求BQ的长; (2)求异面直线BA1与CB1的夹角; C1 B1 (3)求证:AB1⊥C1P. A1 P 解.(1)如图,以C点为原点建立直角坐标系,则
C(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C1(0,0,2), A1(1,0,2), B1(0,1,2),
Q C A B

1, 2) , Q(1,0,1), P ( 1 , 1, , 0) . ? BQ ? (1,-1,1), CB1 ? (0,1,2),C1 P ? ( 1 2 2 2 2

? BQ ? 12 ? ( ?1)2 ? 12 ? 3 .

? 1, 2),CB1 ? (0, (2) ? BA1 ? (1, 1, 2),
? BA1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 6 , CB1 ? 5 ,

BA1 ? CB1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 3,

BA1 ? CB1 30 3 ? cos ? BA1 , CB1 ?? . ? 10 | BA1 || CB1 | 30
故异面直线BA1 与CB1所成角的大小为 arccos

30 . 10

1, C1 P ? ( 1 , 0) , 1, 2), (3) ? AB1 ? (?1, 2 2 AB1 ? C1 P ? ? 1 ? 1 ? 0 ? 0 , 2 2

? AB1 ? C1P .
即 AB1⊥C1P.

1. 如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互 相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE, ∠AEF=45°. (1)求证:EF⊥平面BCE ; (2)设线段CD的中点为P,在直线AE上是否存在一点M, 使得PM//平面BCE ?若存在,请指出点M的位置, 并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (3)求二面角F-BD-A的大小。 解(1)证明:∵平面ABEF⊥平面ABCD, 且 BC⊥AB, 平面ABEF∩平面ABCD =AB, E
∴BC⊥平面ABEF, ∴ BC⊥EF. ∵△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, F ∴∠AEB=45°. 又 ∠AEF=45°, ∴∠EFB=45°+45°=90°, 即 EF⊥BE,
M A D P C B

∵ BC∩BE=B, ∴ EF⊥平面BCE.

(2)存在点M,当M为线段AE的中点时,PM∥平面BCE. // PC, 则 MN ? // 1 AB ? 取BE的中点N,连接CN,MN, 2 ∴ PMNC为平行四边形, ∴ PM∥CN. ∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,∴ PM∥平面BCE. 得 EA⊥平面ABCD. (3)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD, 作FG⊥AB,交BA的延长线于G, 则 FG∥EA , ∴ FG⊥平面ABCD. 作 GH⊥BD于G, 连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH. 因此 ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE, ∠AEF=45°, ∴ ∠AFE=90°, ∠FAG=45°.
F
M E N

设 AB=1, 则 AE=1, AF ? 2 , 2 A G FG=AF· sin∠FAG ? 1 , 2 D HP 在Rt△BGH中,∠GBH=45°, BG=AB+AG ? 1 ? 1 ? 3 .
2 2

B

C

2?3 2, GH=BG· sin∠GBH ? 3 ? 2 2 4

E N B A D
HP

2, F FG ? ? 在Rt△FGH中,tan∠FHG 3 GH 2. 故二面角F-BD-A的大小为 arctan G 3

M

C

解2( :1)∵△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,∴ AE⊥AB , AE ? 平面ABEF, 又平面ABEF⊥平面ABCD, 平面ABEF∩平面ABCD =AB, ∴AE⊥平面ABCD, ∴AE⊥AD. 因此 AD,AB,AE两两垂直, 则 AE=1, 设AB=1, 建系如图, B(0,1,0),D(1,0,0), E(0,0,1),C(1,1,0). ∵ FA=FE, ∠AEF=45°, ∴ ∠AFE=90°,
F

z

E

M

B
A D

y
P C

x

???? ???? ???? 1 1 1 1 ? F (0 ,? , ) , EF ? (0, ? , ? ), BE ? (0, ?1,1), BC ? (1, 0, 0) , 2 2 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 1 ? EF ? BE ? 0 ? ? ? 0, EF ? BC ? 0. 2 2 ∴ EF⊥BE,EF⊥BC.

∵ BC∩BE=B, ∴ EF⊥平面BCE.

(2) ? M (0 ,0 , 1 ) , P(1 , 1 ,0), 2 2 ? PM ? (?1 , 1 , 1 ) , 2 2 ???? ???? 1 1 1 1 PM ? EF ? ( ?1, ? , ) ? (0, ? , ? )= 0. F 2 2 2 2 ∴ PM⊥FE,
又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内, 故 PM∥平面BCE. (3)设 n ? ( x, y, z ) 为面BDF的法向量,
???? 3 1 BD ? (1 ,?1 , 0) , BF ? (0, ? , ) , 2 2 ? ??? ? ?x ? y ? 0 ? ? n ? BD ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ??? ? n1 ? (1,1,3). 1 ? y ? z ? 0 ? ? ? n ? BF ? 0 ? 2 2
D

z
E

M

B
A P C

y

x

取平面ABD的一个法向量 n2 ? (0,0,1).

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 3 3 11 ?? ? ?? ? cos n1 , n2 ? ? ? . 11 11 ? 1 | n1 | ? | n2 |

z
E

故二面角F-BD-A的大小为 arccos

3 11 . 11

F

M

B
A D

y
P C

x

2.CD是直角三角形ABC斜边上的高,BD=2AD,将△ACD绕 CD旋转到△A′CD,使二面角A′—CD—B为60°。 (1)求证:BA′⊥面A′CD; (2)求异面直线A′C与BD所成角的余弦。 C 解: (1)证明: ? BD ? 2 AD ? BD ? 2 A? D
? 二面角 A? — CD — B为 60?, CD ? 面A? BD ,
? ?BDA?为二面角 A? — CD — B的平面角 , A A ? ?BDA? ? 60?.
2 2

在三角形 A? BD中, 令A? D ? 1 , 则 BD ? 2,

D
E A′ A′

B B

由余弦定理得: A? B ? 3, ? A? B ? A? D ? BD2, ? A' B ? A? D , 又 A? B ? CD , ? A? B ? 面A?CD.

则A? BDE是平行四边形 . ( 2 )过D点作DE ? // A? B,

? ?CA? E为A?C与BD所成角, 由( 1 )知 AD ? 1 , BD ? 2 , A? B ? 3, 在Rt?ABC中, CD 2 ? AD ? BD ? CD ? 2 , CE ? 5 , CA' ? 3 , 由余弦定理得:cos ?CA? E ? 3 . 6

2.CD是直角三角形ABC斜边上的高,BD=2AD,将△ACD绕 CD旋转到△A′CD,使二面角A′—CD—B为60°。 (1)求证:BA′⊥面A′CD; (2)求异面直线A′C与BD所成角的余弦。 z 解: (2)建系如图, 设 AD=1, 则 BD=2, C 在Rt?ABC中, CD 2 ? AD ? BD ? CD ? 2 ,

C(0 , 0 , 2 ), B(0 , 2 , 0), D(0 , 0 , 0),
A' ( 3 , 1 , 0), BD ? (0 , ? 2 , 0), 2 2 A' C ? ( ? 3 , ? 1 , 2 ), 2 2
A D B A′

y

x

? cos ? A' C , BD ? ? A' C ? BD ? 1 ? 3 . 6 | A' C || BD | 2 3

3.在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点, 满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折 起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结 A1B、A1P(如图2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP; (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小; (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示)

图1

图2

D

图1

图2

解: 不妨设正三角形的边长为3,则 (I)在图1中,取BE的中点D,连结DF, ∵ AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴ AF=AD=2, 而∠A=60°,
∴ EF⊥AD. 且 AE=DE=1, ∴ △ADF为正三角形, 在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴ ∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角, 由题设知此二面角为直二面角, ∴ A1E⊥面BEF, 即 A1E⊥面BEP.

z

D

y 图1 x

解: (Ⅱ)建系如图, 则 A1 (0 , 0 , 1) , B( 2 , 0 , 0) ,

E (0 , 0 , 0) , P(1 , 3 , 0) ,

A1 E ? (0 , 0 , ? 1) , A1 B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1 , 3 , 0) , 设 n ? ( x, y,1) 为面A1PB的法向量, 则
? ?2 x ? 1 ? 0 ? n ? A1 B ? 0 1 , 3 ,1). ? n ? ( ?? ? 2 6 ? x ? 3 y ? 0 ? ? ? n ? BP ? 0

z

D

y x

A1 E ? (0 , 0 , ? 1) , n ? ( 1 , 3 ,1) , | n |? 2 6 A E?n ?? 3 , ? cos ? A1 E , n ? ? 1 2 | A1 E || n |
故直线A1E与平面A1BP所成的角为60°.

4, 3

z

D

y x 解: (Ⅲ) A1 (0 , 0 , 1) , E (0 , 0 , 0) , P(1 , 3 , 0) , F (0 , 3 , 0) , 设 m ? ( x, y,1)为面A1PF的法向量, 则

? ? 3y ?1 ? 0 ? n ? A1 F ? 0 ?( x , y , 1) ? (0 , 3 , ? 1) ? 0 ?? ?? ? ? ?x ? 0 ?( x , y , 1) ? (1 , 0 , 0) ? 0 ? n ? FP ? 0
? m ? ( 0, 3 ,1). 又面A1PB的法向量 n ? ( 1 , 3 ,1). 3 2 6

z

D

y x

n ? ( 1 , 3 ,1) , m ? ( 0, 3 ,1) , | m | ? 2 6 3

4 ?|n| , 3

? cos ? n , m ? ? n ? m ? 7 , | n || m | 8
故二面角B-A1P-F的大小为 ? ? arccos7 . 8

4.

???? ? ??? ? ? AC1 ? CD ? ?9 ? 9? ? 0 ,

课后作业
1. 教辅课时作业第36页 3.2.2 2. 教辅第78页~80页 3. 预习教材第105页~107页

教辅第80页~82页



更多相关文章:
3.2 立体几何中的向量方法(二)
问题导入 回顾用平面向量解决平面几何问题的“三部曲” ,结合一节课用向量方法解决空间线 面关系的步骤,你能否总结出用空间向量解决立体几何问题的步骤? 2. ...
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。教案系列课题:3.2 76- 课时) 课题 3.2 立体几何中的向量方法 (第 76-79 课时)...
选修2-1-3.2立体几何中的向量方法(导学案)
3.2 立体几何中的向量方法(导学案) 【学习目标】 1.在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念,为进一步运用打好基础; 2.学会由直线的方向向量和平面的...
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离_数学_高中教育_教育专区。高中数学§ 3.2 立体几何中的向量方法(三) ...
立体几何中的向量方法随堂练习(含答案)
立体几何中的向量方法 (时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013...[2013· 合肥调研]已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的...
3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角
3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人民教育数学2-2选修课件金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com §3.2.3 立体...
【教案】3.2立体几何中的向量方法
【教案】3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 向量法解决空间角问题(习题课) (1) 、三维目标 1.知识与能力:向量运算在几何计算中的应用...
高中数学《立体几何中的向量方法》教案1 新人教A版选修2-1
高中数学《立体几何中的向量方法》教案1 新人教A版选修2-1 简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注隐藏>> 第一课时: ...
解决立体几何中空间角的向量方法(教案)
(1)会求直线的方向向量、平面的法向量. (2)掌握空间向量的数量积及其坐标运算. (3)能用向量方法立体几何中异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小....
更多相关标签:
立体几何中的向量方法    立体几何的向量方法    立体几何向量方法    立体几何向量方法评课    空间向量与立体几何    向量法解立体几何    立体几何向量法    空间向量解决立体几何    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图