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201404 上海市 静安区 初三数学二模试卷及答案


静安区 2013 学年第二学期教学质量调研 九年级数学
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本调研卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的 主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1.当 a ? ?2 时, ( a ? 2) 2 等于 (A) a ? 2 (B) a ? 2 (C) 2 ? a (D) ? a ? 2 2014.4

(满分 150 分,100 分钟完成)

2.如果 a ? b ,那么下列不等式中一定正确的是 (A) a ? 2b ? ?b (B) a 2 ? ab (C) ab ? b 2 (D) a 2 ? b 2

3.已知函数 y ? (k ? 1) x ? k ? 2 ( k 为常数),如果 y 随着 x 的增大而减小,那么 k 的取值范围是 (A) k ? 1 (B) k ? 1 (C) k ? 2 (D) k ? 2

4.某校九年级 200 名学生在第一学期的期末考试中数学成绩(分数都是整数)分布如下表: 分数段 频率 75~89 0.1 90~104 0.15 105~119 0.25 120~134 0.35 135~149 0.15

表中每组数据含最小值和最大值,在最低分为 75 分与最高分为 149 分之间的每个分数都有 学生,那么下列关于这 200 名学生成绩的说法中一定正确的是 (A)中位数在 105~119 分数段 (C)中位数在 120~134 分数段 (B)中位数是 119.5 分 (D)众数在 120~134 分数段

5.如图,将△ ABC 沿直线 AB 翻折后得到△ ABC1 ,再将△ ABC 绕点 A 旋转后得到△ AB2C2 , 对于下列两个结论:①“△ ABC1 能绕一点旋转后与△ AB2C2 重合” ; ②“△ ABC1 能沿一直线翻折后与△ AB2C2 重合”的正确性是 (A)结论①、②都正确 (C)结论①正确、②错误 (B)结论①、②都错误 (D)结论①错误、②正确 A C C2 B2 (第 5 题图) C1 B

6.如果四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且 AO=CO,那么下列条 件中 不 能 . . 判断四边形 ABCD 为平行四边形的是 (A)OB=OD (B)AB//CD (C)AB=CD

(D)∠ADB=∠DBC

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二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.数 25 的平方根是 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . .

8.分解因式: x 2 ? 2 x ? 1 ?

9.如果二次根式 3 ? 2 x 有意义,那么 x 的取值范围是 10.关于 x 的方程 x 2 ? mx ? m 2 ? 1 ? 0 根的情况是 ▲

11.如果抛物线 y ? a( x ? 1) 2 ? h 经过点 A(0,4) 、B(2,m) ,那么 m 的值是

12.某小组 8 位学生一次数学测试的分数为 121,123,123,124,126,127,128,128,那么 这个小组测试分数的标准差是 ▲ .

13.从 3 位男同学和 2 位女同学中任选 2 人参加志愿者活动,所选 2 人中恰好是一位男同学和 一位女同学的概率是 ▲ . A D B (第 14 题图) C

14.如图,在△ABC 中,点 D 在边 AC 上,AD=2CD, 如果 B A ? a , BD ? b ,那么 BC ? ▲ .

15.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点,点 F 在边 BC 上,AF 与 DE 相交于点 G,如果∠AFB=110° ,那么∠CGF 的度数是 ▲ .

16. 将关于 x 的一元二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 变形为 x 2 ? ? px ? q , 就可将 x 2 表示为关于 x 的一 次多项式, 从而达到 “降次” 的目的, 我们称这样的方法为 “降次法” . 已知 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 可用“降次法”求得 x 4 ? 3x ? 1 的值是 ▲ .

17.如果⊙O1 与⊙O2 相交于点 A、B,⊙O1 的半径是 5,点 O1 到 AB 的距离为 3,那么⊙O2 的 半径 r 的取值范围是 ▲ . A E B C F (第 18 题图) D G

18.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,点 E、F、G 分别在 边 AB、BC、CD 上,四边形 AEFG 是正方形,如果∠B= 60° , AD=1,那么 BC 的长是 ▲ .

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三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分)[将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 19. (本题满分 10 分) 化简: ( x 2 ? 1)( x 2 ? 1) ? x ?1 ? x ,并求当 x ? 3 ? 1 时的值.
1 1

20. (本题满分 10 分) 解方程:

3x x2 ? 1 ? ? 4. x x2 ? 1

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 已知:如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC,垂足为 E,对角线 BD= 4, tan ?CBD ? 求: (1)边 AB 的长; (2)∠ABE 的正弦值. B E 22. (本题满分 10 分) A

1 . 2

D C (第 21 题图)

小丽购买了 6 支水笔和 3 本练习本,共用 21 元;小明购买了 12 支水笔和 5 本练习本,共 用 39 元.已知水笔与练习本的单价分别相同,求水笔与练习本的单价.

23. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 5 分) 已知:如图,在△ ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点,DF⊥AC,DF 与 CE 相交于点 F,AF 的延长线与 BD 相交于点 G. (1)求证: AD 2 ? DG ? BD ; (2)联结 CG,求证:∠ECB=∠DCG. E F G B (第 23 题图) C D A

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24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 4 分) 已知⊙O 的半径为 3,⊙P 与⊙O 相切于点 A,经过点 A 的直线与⊙O、⊙P 分别交于点 B、 C, cos ?BAO ?

1 ,设⊙P 的半径为 x ,线段 OC 的长为 y . 3

(1)求 AB 的长; (2)如图,当⊙P 与⊙O 外切时,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当∠OCA=∠OPC 时,求⊙P 的半径. B

P

A

O

C

(第 24 题图) 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 6 分) 如图,反比例函数的图像经过点 A(–2,5)和点 B(–5,p) ,□ABCD 的顶点 C、D 分 别在 y 轴的负半轴、 x 轴的正半轴上,二次函数的图像经过点 A、C、D. (1) 求直线 AB 的表达式; (2) 求点 C、D 的坐标; (3)如果点 E 在第四象限的二次函数图像上, 且∠DCE=∠BDO,求点 E 的坐标. B A y

O

D E

x

C (第 25 题图)

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静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 2014.4.10 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.D; 2.A; 3.B; 4.B; 5.D; 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7. ? 5 ; 12. 6 ; 8. ( x ? 1 ? 2 )( x ? 1 ? 2 ) ; 13. ; 9. x ?

6.C.

3 ; 2

10.没有实数根;

11.4;

3 1 14. b ? a ; 15.40? ; 16. 1 ; 17.r ? 4 ; 18.2 ? 3 . 2 2 三、 (本大题共 7 题, 第 19~22 题每题 10 分, 第 23、 24 题每题 12 分, 第 25 题 14 分, 满分 78 分)
19.解:原式= x ? 1 ?

3 5

1 ? x ??????????????????????????(4 分) x 1 1? x = ?1? ?????????????????????????? (2 分) x x
1? 3 ?1 3 ?1 ? ? 3 ( 3 ? 1) ( 3 ? 1)( 3 ? 1) ? 3 ?3 .???????(4 分) 2

当 x ? 3 ? 1 时,原式=

20.解:设 y ?

x2 ? 1 ,????????????????????????????(1 分) x 3 得: ? y ? 4 ,???????????????????????????(1 分) y
????????????????????????? (1 分) y2 ? 4 y ? 3 ? 0 ,

y1 ? 1, y2 ? 3. ??????????????????????????(2 分)

x2 ? 1 ? 1, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,此方程没有数解.???????(2 分) x x2 ? 1 3? 5 当 y ? 3 时, .?????????(2 分) ? 3, x 2 ? 3x ? 1 ? 0 , x ? x 2 3? 5 经检验 x ? 都是原方程的根,????????????????(1 分) 2 3? 5 所以原方程的根是 x ? . 2 21.解:(1) 联结 AC,AC 与 BD 相交于点 O,??????????????????(1 分) 1 ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,BO= BD ? 2 .????????(1 分) 2
当 y ? 1 时, ∵Rt△BOC 中, tan ?CBD ?
OC 1 ? ,???????????????(1 分) OB 2

∴OC=1,???????????????????????????? (1 分) ∴AB=BC= BO 2 ? OC 2 ? 12 ? 2 2 ? 5 . ?????????????? (1 分)

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1 (2)∵AE⊥BC,∴ S菱形ABCD =BC ? AE= BD ? AC ,????????????(2 分) 2 1 ∵AC=2OC=2,∴ 5 AE= ? 2 ? 4 ,????????????????(1 分) 2 4 ∴ AE= ,???????????????????????????(1 分) 5 AE 4 ∴ sin ?ABE ? ? .??????????????????????(1 分) AB 5

22.解:设水笔与练习本的单价分别为 x 元、 y 元,????????????????(1 分)

?6 x ? 3 y ? 21, ∴? ??????????????????????????? (4 分) ?12 x ? 5 y ? 39, ? x ? 2, 解得 ? ?????????????????????????????(4 分) ? y ? 3.
答:水笔与练习本的单价分别是 2 元与 3 元.????????????????(1 分)

23.证明: (1)∵AB=AC,AD=

1 1 AC , AE= AB, ∴AD=AE,??????????(1 分) 2 2

∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE.????????????????(1 分) ∴∠ABD=∠ACE, ????????????????????????? (1 分) ∵DF⊥AC, AD=CD, ∴AF=CF, ?????????????????? (1 分) ∴∠GAD=∠ACE,∴∠GAD=∠ABD.???????????????(1 分) ∵∠GDA=∠ADB,∴△GDA∽△ADB.????????????????(1 分) ∴

AD DG ,∴ AD 2 ? DG ? BD .?????????????????(1 分) ? DB AD AD DG CD DG ,AD=CD,∴ .???????????????(1 分) ? ? DB AD DB CD

(2)∵

∵∠CDG=∠BDC, ∴△DCG∽△DBC. ???????????????? (1 分) ∴∠DBC=∠DCG. ????????????????????????? (1 分) ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.????????????????????(1 分) ∵∠ABD=∠ACE,∴∠ECB=∠DBC=∠DCG.????????????(1 分)

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24.解: (1)在⊙O 中,作 OD⊥AB,垂足为 D,?????????????????(1 分) 在 Rt△OAD 中,cos ?BAO ? ∴AD=

AD 1 ??????????????? (1 分) ? , OA 3

1 AO=1. ∴AB=2AD=2.??????????????????(1 分) 3

(2)联结 OB、PA、PC, ∵⊙P 与⊙O 相切于点 A,∴点 P、A、O 在一直线上.????????(1 分) ∵PC=PA,OA=OB,∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,∴PC//OB.???(1 分)

AC PA PA ? AB 2 x ,∴AC ? . ??????????????? (1 分) ? ? AB AO AC 3 2 ∵ OD2 ? OA2 ? AD 2 ? 32 ? 12 ? 8 ,CD=AD+AC= x ? 1 , 3


2 ∴OC= OD2 ? CD2 ? ( x ? 1)2 ? 8 ,???????????????(1 分) 3
∴y?

1 4 x 2 ? 12 x ? 81 ,定义域为 x ? 0 .?????????????(1 分) 3

(3) 当⊙P 与⊙O 外切时,∵∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,

OA OC ,∴ OC 2 ? OA ? OP ,????????(1 分) ? OC OP 1 15 ∴ (4 x 2 ? 12 x ? 81) ? 3(3 ? x ) ,∴ x1 ? 0 (不符合题意,舍去) x2 ? , 9 4 15 ∴这时⊙P 的半径为 .?????????????????????(1 分) 4 2x 9 27 27 ∴ ,∴这时⊙P 的半径为 .???????????(1 分) ? ,x? 3 2 4 4 15 27 ∴⊙P 的半径为 或 . 4 4
∴△OAC∽△OCP.∴

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25.解: (1)设反比例函数的解析式为 y ?

k .∵它图像经过点 A(–2,5)和点 B(–5,p) , x 10 k ∴5= ,∴ k ? ?10 ,∴反比例函数的解析式为 y ? ? .????????(1 分) x ?2 10 ∴p?? .??????????????(1 分) ? 2 ,∴点 B 的坐标为(–5,2) ?5
?5 ? ?2m ? n, 设直线 AB 的表达式为 y ? mx ? n , 则? ???????????? (1 分) ?2 ? ?5m ? n, ?m ? 1, ∴? ∴直线 AB 的表达式为 y ? x ? 7 .???????????????(1 分) ?n ? 7.

(2)由□ABCD 中,AB//CD,设 CD 的表达式为 y ? x ? c ,??????????(1 分) ∴C(0,c) ,D(–c,0) ,??????????????????????(1 分) ∵CD=AB,∴ CD 2 ? AB 2 ∴ c 2 ? c 2 ? ( ?5 ? 2) 2 ? (2 ? 5) 2 ,????????(1 分) ∴c=–3,∴点 C、D 的坐标分别是(0,–3) 、 (3,0) .?????????(1 分)

?5 ? 4a ? 2b ? 3, (3)设二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,? ?????????(1 分) ?0 ? 9a ? 3b ? 3, ?a ? 1, ∴? ?b ? ?2.
∴二次函数的解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 3 . ?????????? (1 分)

作 EF⊥ y 轴,BG⊥ y 轴,垂足分别为 F、G.∵OC=OD,BG=CG, ∴∠BCG=∠OCD=∠ODC=45 ? .∴∠BCD=90? , ∵∠DCE=∠BDO,∴∠ECF=∠BDC.?????????????????(1 分)

∴tan∠ECF=tan∠BDC=

(0 ? 5) 2 ? (3 ? 2) 2 5 BC ? ? .??????????(1 分) CD (3 ? 0) 2 ? (0 ? 3) 2 3

设 CF=3t,则 EF=5t,OF=3–3t,∴点 E(5t,3t–3) ,?????????(1 分) ∴ 3t ? 3 ? 25t 2 ? 10t ? 3 , t1 ? 0(舍去) , t2 ?

13 36 13 .∴点 E( , ? ).???(1 分) 25 5 25

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